Waarschijnlijkheidsformules zijn belangrijke wiskundige hulpmiddelen die worden gebruikt bij het berekenen van de waarschijnlijkheid. Voordat we de waarschijnlijkheidsformules kennen, moeten we het concept van waarschijnlijkheid in het kort begrijpen. De mogelijkheid dat een willekeurige gebeurtenis plaatsvindt, wordt bepaald door de waarschijnlijkheid. Een waarschijnlijkheid is een kans op een voorspelling. De toepassingen ervan strekken zich uit over verschillende domeinen, waaronder gamingstrategieën, het maken van voorspellingen op basis van waarschijnlijkheid in het bedrijfsleven en het evoluerende veld van kunstmatige intelligentie.

In dit artikel leren we de betekenis en definitie van de waarschijnlijkheidsformule en hoe we deze formules kunnen gebruiken bij het berekenen van de waarschijnlijkheid. We zien ook verschillende termen die verband houden met waarschijnlijkheid en verschillende formules om wiskundige problemen eenvoudig op te lossen.

Inhoudsopgave

• Wat is de waarschijnlijkheidsformule?
• Termen gerelateerd aan de waarschijnlijkheidsformule
• Gebeurtenissen in waarschijnlijkheidsformule
• Verschillende waarschijnlijkheidsformules
• Voorbeelden van waarschijnlijkheidsformule

Wat is de waarschijnlijkheidsformule?

Waarschijnlijkheidsformules worden gebruikt bij het bepalen van de mogelijkheden van een gebeurtenis door het aantal gunstige uitkomsten te delen door het totale aantal mogelijke uitkomsten. Door deze formule te gebruiken, kunnen we de waarschijnlijkheid van een specifieke gebeurtenis schatten.

Wiskundig gezien kunnen we deze formule schrijven als:

P(A) = Aantal gunstige uitkomsten / Totaal aantal mogelijke uitkomsten

Waarschijnlijkheidsformule berekent de verhouding tussen gunstige uitkomsten en de gehele reeks mogelijke uitkomsten. De waarschijnlijkheidswaarde ligt binnen een bereik van 0 tot 1, wat betekent dat gunstige uitkomsten de totale uitkomsten niet kunnen overtreffen, en dat de negatieve waarde van gunstige uitkomsten niet mogelijk is.

Leren,

• Waarschijnlijkheid in wiskunde
• Waarschijnlijkheids theorie

Hoe de waarschijnlijkheid berekenen?

Waarschijnlijkheid van een gebeurtenis = (aantal gunstige uitkomsten) / (totaal aantal mogelijke uitkomsten voor de gebeurtenis)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Hier duidt P(A) de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A aan, waarbij n(E) het aantal gunstige uitkomsten is, en n(S) het totale aantal mogelijke uitkomsten voor de gebeurtenis.

Wanneer we de complementaire gebeurtenis beschouwen, weergegeven als P(A’), die het niet optreden van gebeurtenis A aangeeft, dan zal de formule zijn:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’) is het tegenovergestelde van gebeurtenis A, wat aangeeft dat gebeurtenis P(A) plaatsvindt of dat het complement P(A’) plaatsvindt.

Daarom kunnen we nu zeggen; P(A) + P(A’) = 1

Leren,

• Gebeurtenissen in waarschijnlijkheid
• Soorten gebeurtenissen in waarschijnlijkheid

Termen gerelateerd aan de waarschijnlijkheidsformule

Enkele van de meest voorkomende termen met betrekking tot de waarschijnlijkheidsformule zijn:

• Experiment: Een experiment is een actie of procedure die wordt uitgevoerd om een ​​bepaald resultaat te genereren.

• Voorbeeldruimte: De Sample Space omvat de volledige potentiële uitkomsten die uit een experiment voortkomen. Als u bijvoorbeeld een munt opgooit, bevat het voorbeeldveld {kop, staart}.

• Gunstig resultaat: Een gunstig Uitkomst is het resultaat dat aansluit bij de beoogde of verwachte conclusie. In het geval van het gooien van twee dobbelstenen zijn voorbeelden van gunstige uitkomsten die resulteren in een som van 4 (1,3), (2,2) en (3,1).

• Proces: Een proef is de uitvoering van een willekeurig experiment.

• Willekeurig experiment: A Willekeurig experiment wordt gekenmerkt door een goed gedefinieerde reeks mogelijke uitkomsten. Het voorbeeld van een willekeurig experiment is het opgooien van een munt, waarbij het resultaat kop of munt kan zijn. Dat betekent dat het resultaat onzeker zou zijn.

• Evenement: Een gebeurtenis geeft aan dat de totale uitkomsten afkomstig zijn van een willekeurig experiment.

• Even waarschijnlijke gebeurtenissen: Even waarschijnlijke gebeurtenissen zijn gebeurtenissen met een identieke waarschijnlijkheid van voorkomen. De uitkomst van de ene gebeurtenis heeft geen invloed op de uitkomst van een andere.

• Uitgebreide evenementen: Er is sprake van een exhaustieve gebeurtenis wanneer de verzameling van alle mogelijke uitkomsten de volledige steekproefruimte bestrijkt.

• Wederzijds exclusieve evenementen: Wederzijds exclusieve evenementen zijn die welke niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden. Als we bijvoorbeeld de munt opgooien, is het resultaat kop of munt, maar we kunnen niet beide tegelijk krijgen.

Gebeurtenissen in waarschijnlijkheidsformule

In de waarschijnlijkheidstheorie vertegenwoordigt een gebeurtenis een reeks mogelijke uitkomsten die zijn afgeleid van een experiment. Het vormt vaak een subset van de totale monsterruimte. Als we de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis E weergeven als P(E), zijn de volgende principes van toepassing:

Als gebeurtenis E onmogelijk is, dan is P(E) = 0.

Als gebeurtenis E zeker is, dan is P(E) = 1.

De waarschijnlijkheid P(E) ligt tussen 0 en 1.

Beschouw twee gebeurtenissen, A en B. De waarschijnlijkheid van gebeurtenis A, aangeduid als P(A), die groter is dan de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B, P(B).

Voor een bepaalde gebeurtenis E zal de waarschijnlijkheidsformule zijn:

P(E)= n(E)/ n(S)

tekenreeks in Java-formaat

Hier vertegenwoordigt n(E) het aantal uitkomsten dat gunstig is voor gebeurtenis E.

n(S) geeft het totale aantal uitkomsten binnen de steekproefruimte aan.

Verschillende waarschijnlijkheidsformules

De verschillende waarschijnlijkheidsformules worden hieronder besproken:

Klassieke waarschijnlijkheidsformule

P(A) = Aantal gunstige uitkomsten/Totaal aantal mogelijke uitkomsten

Formule voor optellingsregels

Wanneer we te maken hebben met een gebeurtenis die de vereniging is van twee afzonderlijke gebeurtenissen, bijvoorbeeld A en B, zal de waarschijnlijkheid van de vereniging zijn:

P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Gezamenlijke waarschijnlijkheidsformule

Het vertegenwoordigt de gemeenschappelijke elementen die de verschillende subsets vormen van zowel gebeurtenissen A als B. De formule kan worden uitgedrukt als:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Toevoegingsregel voor wederzijds exclusieve evenementen

Als gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten, wat betekent dat ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, is de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden gelijk aan de som van hun respectievelijke kansen.

P(A of B)=P(A)+P(B)

Complementaire regelformule

Als A een gebeurtenis is, wordt de waarschijnlijkheid van niet A uitgedrukt door een complementaire regel:

P(niet A) = 1 – P(A) of P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Sommige daarop gebaseerde waarschijnlijkheidsformules zijn als volgt:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Voorwaardelijke regelformule

In het geval dat het optreden van gebeurtenis A al bekend is, zal de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B plaatsvinden, ook wel voorwaardelijke waarschijnlijkheid genoemd. Het kan worden berekend met behulp van de formule:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Waarschijnlijkheid (voorwaardelijk) van gebeurtenis B wanneer gebeurtenis A heeft plaatsgevonden.

P (A/B): Waarschijnlijkheid (voorwaardelijk) van gebeurtenis A wanneer gebeurtenis B heeft plaatsgevonden.

Relatieve frequentieformule

De formule voor relatieve frequentie is gebaseerd op frequenties die worden waargenomen in gegevens uit de echte wereld. Deze formule wordt gegeven als

P(A) = Aantal keren dat gebeurtenis A plaatsvindt/Totaal aantal pogingen of observaties

Waarschijnlijkheidsformule met de vermenigvuldigingsregel

In situaties waarin een gebeurtenis het gelijktijdig optreden van twee andere gebeurtenissen vertegenwoordigt, aangeduid als gebeurtenissen A en B, kunnen de kansen dat beide gebeurtenissen tegelijkertijd plaatsvinden worden berekend met behulp van deze formules:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (bij onafhankelijke gebeurtenissen)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (in geval van afhankelijke gebeurtenissen)

Onsamenhangende gebeurtenis

Disjuncte gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die nooit tegelijkertijd plaatsvinden. Dit worden ook wel wederzijds exclusieve evenementen genoemd.

P(A∩B) = 0

De stelling van Bayes

De stelling van Bayes berekent de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A gegeven het optreden van gebeurtenis B. De stellingformule van Baye wordt gegeven als

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Leren, De stelling van Bayes

Afhankelijke waarschijnlijkheidsformule

Afhankelijke waarschijnlijkheid zijn gebeurtenissen die worden beïnvloed door het optreden van andere gebeurtenissen. De formule voor de afhankelijke waarschijnlijkheid is:

inkapseling in Java

P(B en A) = P(A)×P(B | A)

Onafhankelijke waarschijnlijkheidsformule

Onafhankelijke waarschijnlijkheid zijn gebeurtenissen die niet worden beïnvloed door het optreden van andere gebeurtenissen. De formule voor de onafhankelijke waarschijnlijkheid is:

P(A en B) = P(A)×P(B)

Binominale waarschijnlijkheidsformule

De binomiale waarschijnlijkheidsformule wordt gegeven als

P(x) = ^N C _X · P ^X (1 − p) ^n−x of P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^R (1 − p) ^n−r

Waar, n = Totaal aantal gebeurtenissen

r of x = Totaal aantal succesvolle evenementen.

p = Succeskans in een enkele proef.

^NC_R= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Kans op falen.

Leren, Binomiale verdeling

Normale waarschijnlijkheidsformule

De normale waarschijnlijkheidsformule wordt gegeven door:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Leren, Normale verdeling

Experimentele waarschijnlijkheidsformule

De formule voor de experimentele waarschijnlijkheid is;

Waarschijnlijkheid P(x) = Aantal keren dat een gebeurtenis plaatsvindt / Totaal aantal pogingen.

Theoretische waarschijnlijkheidsformule

De theoretische waarschijnlijkheidsformule is:

P(x) = Aantal gunstige uitkomsten/ Aantal mogelijke uitkomsten.

Standaardafwijkingswaarschijnlijkheidsformule

De standaardafwijkingswaarschijnlijkheidsformule wordt gegeven als

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoulli-waarschijnlijkheidsformule

Een willekeurige variabele X heeft een Bernoulli-verdeling met waarschijnlijkheid p, de formule is:

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1−x , voor x = 0, 1 en P(X = x) = 0 voor andere waarden van x

Hier is 0 mislukking en 1 succes.

Leren, Bernoulli-distributie

Waarschijnlijkheidsformule Klasse 10

In klasse 10 moeten we de basiswaarschijnlijkheid bestuderen, zoals de kans op het opgooien van een munt, het opgooien van 2 munten, het opgooien van 3 munten, het gooien van een dobbelsteen, het gooien van twee dobbelstenen, de kans op het trekken van een kaart uit een goed geschud kaartspel. Al deze vragen kunnen met slechts één formule worden opgelost. De waarschijnlijkheidsformule klasse 10 wordt gegeven als

P(E) = n(E)/n(s)

Waar,

P(E) is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis

n(E) is het aantal pogingen waarin een gebeurtenis heeft plaatsgevonden

n(S) is het aantal monsterruimte

Waarschijnlijkheidsformule voor klasse 12

De verschillende formules die worden gebruikt in waarschijnlijkheidsklasse 12 worden hieronder weergegeven:

Controleer ook

• Waarschijnlijkheid van het gooien van munten
• Kaart waarschijnlijkheid
• Statistische formules

Voorbeelden van waarschijnlijkheidsformule

Voorbeeld 1: Selecteer willekeurig een kaart uit een standaard kaartspel. Wat is de kans dat je een kaart met een vrouwelijk gezicht trekt?

powershell met meerdere regels commentaar

Oplossing:

In een standaard kaartspel met 52 kaarten: Totaal mogelijke uitkomsten = 52

Het aantal gunstige gebeurtenissen (waarbij alleen koninginnen als vrouwelijke gezichten worden beschouwd) = 4

Daarom wordt de waarschijnlijkheid P(A) berekend met behulp van de formule:

P(A) = Aantal gunstige uitkomsten ÷ Totaal aantal uitkomsten

= 4/52

= 1/13.

Voorbeeld 2: Als de waarschijnlijkheid van gebeurtenis E, aangegeven als P(E)=0,35, wat is dan de waarschijnlijkheid van de complementaire gebeurtenis ‘niet E’?

Oplossing:

Gegeven dat P(E)=0,35, kunnen we de complementaire waarschijnlijkheidsformule gebruiken:

P(E) + P(niet E) = 1

De bekende waarde vervangen:

P(niet E) = 1 – P(E)

P(niet E) = 1 – 0,35

Daarom is P(niet E) = 0,65

Voorbeeld 3: Gevaarlijke branden zijn zeer zeldzaam (ongeveer 1%), maar de rook komt vrij vaak voor (ongeveer 20%) als gevolg van barbecues. Vind het gevaarlijke vuur wanneer 80% van de gevaarlijke branden rook produceert.

Oplossing:

Kans op gevaarlijke brand als er rook is volgens de stelling van Bayes:

P(Vuur|Rook) = {P(Vuur)P(RookVuur)}/P(Rook)

P(Vuur)=0,01(1%) en P(Rook|Vuur)= 0,80 (80%), we kunnen deze waarden vervangen:

P(Vuur | Rook)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Vuur | Rook)=0,018/0,30

(Vuur | Rook)= 0,06 = 6%.

Voorbeeld 4: In een zak zitten 2 groene lampen, 4 oranje lampen en 6 witte lampen. Als er willekeurig een lamp uit de zak wordt gekozen, wat is dan de kans dat je een groene of een witte lamp kiest?

java-waarde van enum

Oplossing:

Het totale aantal lampen in de zak is 2 groen + 4 oranje + 6 wit = 12 lampen

Aantal groene lampen = 2 en het aantal witte lampen = 6

Waarschijnlijkheid = (aantal groene lampen + aantal witte lampen) / totaal aantal lampen

Waarschijnlijkheid = (2+6)/12

Waarschijnlijkheid = 8/12

Waarschijnlijkheid = 2/3.

Oefenvragen over de waarschijnlijkheidsformule

Q1. Uit een verzameling knikkers in een zak (8 rode, 9 blauwe en 6 groene) worden twee knikkers willekeurig gekozen zonder vervanging. Wat is de kans dat beide geselecteerde knikkers blauw zijn?

Vraag 2. In een lade met daarin 6 zwarte pennen, 4 blauwe pennen en 7 rode pennen wordt willekeurig een pen getrokken. Wat is de kans dat de pen zwart of blauw is?

Q3. Trek één kaart uit een grondig geschud kaartspel van 52 kaarten en bepaal de waarschijnlijkheid dat de kaart:

• Wees een koning.
• Wees geen koning.

Q4. Volgens een onderzoek houdt 70% van de mensen van chocolade, en van die chocoladeliefhebbers houdt 60% ook van vanille. Hoe groot is de kans dat iemand van vanille houdt, gezien zijn voorliefde voor chocolade?

Vraag 5. Bepaal de kans dat je een oneven getal gooit als je een zeszijdige dobbelsteen gooit.

Waarschijnlijkheidsformule – Veelgestelde vragen

1. Wat is de betekenis van waarschijnlijkheid?

De mogelijkheid dat een willekeurige gebeurtenis plaatsvindt, wordt bepaald door de waarschijnlijkheid. Een waarschijnlijkheid is een kans op een voorspelling.

2. Wat is de betekenis van de waarschijnlijkheidsformule?

Waarschijnlijkheidsformules worden gebruikt bij het bepalen van de mogelijkheden van een gebeurtenis door het aantal gunstige uitkomsten te delen door het totale aantal mogelijke uitkomsten. De waarschijnlijkheidswaarde ligt binnen een bereik van 0 tot 1, wat betekent dat gunstige uitkomsten de totale uitkomsten niet kunnen overtreffen, en dat de negatieve waarde van gunstige uitkomsten niet mogelijk is.

3. Wat is de betekenis van de notatie U en ∩ in waarschijnlijkheid?

Het symbool U in waarschijnlijkheid geeft een uniforme verdeling aan. Aan de andere kant betekent het symbool ∩ het snijpunt van sets. In eenvoudiger bewoordingen is de kruising van twee sets de meest uitgebreide set en omvat alle elementen die door beide sets worden gedeeld.

4. Wat is de conventionele formule om de waarschijnlijkheid te berekenen?

De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis = (aantal gunstige uitkomsten) / (totaal aantal mogelijke uitkomsten voor de gebeurtenis)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Hier staat P(A) voor de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A, waarbij n(E) het aantal gunstige uitkomsten is, en n(S) het totale aantal mogelijke uitkomsten voor de gebeurtenis.

5. Wat is complementaire formule?

Als A een gebeurtenis is, wordt de waarschijnlijkheid van niet A uitgedrukt door een complementaire regel:

P(niet A) = 1 – P(A) of P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Wat is een disjuncte gebeurtenis?

Disjuncte gebeurtenissen zijn gebeurtenissen die nooit tegelijkertijd plaatsvinden. Dit worden ook wel wederzijds exclusieve evenementen genoemd.

P(A∩B) = 0.

7. Wat is de stelling van Bayes?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

De stelling van Bayes berekent de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A, gegeven het optreden van gebeurtenis B.

8. Wat is voorwaardelijke formule?

In het geval dat het optreden van gebeurtenis A al bekend is, zal de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B plaatsvinden, ook wel voorwaardelijke waarschijnlijkheid genoemd. Het kan worden berekend met behulp van de formule:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Waarschijnlijkheid (voorwaardelijk) van gebeurtenis B wanneer gebeurtenis A heeft plaatsgevonden.

P (A/B): Waarschijnlijkheid (voorwaardelijk) van gebeurtenis A wanneer gebeurtenis B heeft plaatsgevonden.

9. Wat zijn enkele praktijkvoorbeelden van waarschijnlijkheid?

Weervoorspelling, kaartspellen, politiek stemmen, dobbelspellen en het opgooien van een munt enz. zijn enkele voorbeelden van waarschijnlijkheid