De stelling van Bayes wordt gebruikt om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te bepalen. Het is vernoemd naar een Engelse statisticus, Thomas Bayes die deze formule in 1763 ontdekte. De stelling van Bayes is een zeer belangrijke stelling in de wiskunde, die de basis legde voor een unieke statistische gevolgtrekkingsbenadering genaamd de De gevolgtrekking van Bayes. Het wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te bepalen, op basis van voorafgaande kennis van omstandigheden die mogelijk verband houden met die gebeurtenis.

Bijvoorbeeld, als we de waarschijnlijkheid willen bepalen dat een willekeurig getrokken witte knikker uit de eerste zak komt, gegeven het feit dat er al een witte knikker is getrokken, en er zijn drie zakken met elk wat witte en zwarte knikkers, dan kunnen we de stelling van Bayes gebruiken.

Dit artikel onderzoekt de stelling van Bayes, inclusief de verklaring, het bewijs, de afleiding en de formule van de stelling, evenals de toepassingen ervan met verschillende voorbeelden.

YouTube-video's downloaden met vlc

Wat is de stelling van Bayes?

De stelling van Bayes (ook bekend als de regel van Bayes of de wet van Bayes) wordt gebruikt om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van gebeurtenis A te bepalen wanneer gebeurtenis B al heeft plaatsgevonden.

De algemene verklaring van de stelling van Bayes is: De voorwaardelijke waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A, gegeven het optreden van een andere gebeurtenis B, is gelijk aan het product van de gebeurtenis van B, gegeven A, en de waarschijnlijkheid van A gedeeld door de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B. d.w.z.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

waar,

• VADER) En P(B) zijn de kansen op gebeurtenissen A en B
• P(A|B) is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A wanneer gebeurtenis B plaatsvindt
• P(B|A) is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B wanneer A gebeurt

Rekening: De stelling van Bayes voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid

Verklaring van de stelling van Bayes

De stelling van Bayes voor n reeks gebeurtenissen wordt gedefinieerd als:

Laat E₁, EN₂,…, EN_Neen reeks gebeurtenissen zijn die verband houden met de voorbeeldruimte S, waarin alle gebeurtenissen E₁, EN₂,…, EN_Neen kans van optreden hebben die niet gelijk is aan nul. Alle evenementen E₁, EN₂,…, E vormt een partitie van S. Laat A een gebeurtenis uit ruimte S zijn waarvoor we de waarschijnlijkheid moeten vinden, dan geldt volgens de stelling van Bayes:

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

voor k = 1, 2, 3, …., n

Formule van de stelling van Bayes

Voor twee gebeurtenissen A en B wordt de formule voor de stelling van Bayes gegeven door: (de onderstaande afbeelding geeft de formule van de stelling van Bayes weer)

De stellingformule van Bayes

waar,

• VADER) En P(B) zijn de kansen op gebeurtenissen A en B, ook is P(B) nooit gelijk aan nul.
• P(A|B) is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A wanneer gebeurtenis B plaatsvindt
• P(B|A) is de waarschijnlijkheid van gebeurtenis B wanneer A gebeurt

Afleiding van de stelling van Bayes

Het bewijs van de stelling van Bayes wordt gegeven als, volgens de voorwaardelijke waarschijnlijkheidsformule:

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Vervolgens krijgen we, door de vermenigvuldigingsregel van de waarschijnlijkheid te gebruiken

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Nu, volgens de totale waarschijnlijkheidsstelling,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Vervanging van de waarde van P(E_i∩A) en P(A) uit eq (ii) en eq(iii) in eq(i) krijgen we,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

De stelling van Bayes staat ook wel bekend als de formule voor de waarschijnlijkheid van oorzaken . Zoals we weten is de E _i ‘s zijn een partitie van de monsterruimte S, en op elk gegeven moment slechts één van de gebeurtenissen E _i komt voor. We concluderen dus dat de formule van de stelling van Bayes de waarschijnlijkheid geeft van een bepaalde E_i, gegeven de gebeurtenis A heeft plaatsgevonden.

Termen gerelateerd aan de stelling van Bayes

Laten we, nadat we de stelling van Bayes in detail hebben geleerd, enkele belangrijke termen begrijpen die verband houden met de concepten die we in formule en afleiding hebben behandeld.

• Hypotheses: Gebeurtenissen die plaatsvinden in de monsterruimte EN ₁ , EN ₂ ,… EN _N worden de hypothesen genoemd

• Priori-waarschijnlijkheid: Priori Probability is de aanvankelijke waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt voordat er rekening wordt gehouden met nieuwe gegevens. P(E_i) is de priori waarschijnlijkheid van hypothese E_i.

• Posterieure waarschijnlijkheid: Posterieure waarschijnlijkheid is de bijgewerkte waarschijnlijkheid van een gebeurtenis na overweging van nieuwe informatie. Waarschijnlijkheid P(E_i|A) wordt beschouwd als de posterieure waarschijnlijkheid van hypothese E_i.

Voorwaardelijke waarschijnlijkheid

• De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A gebaseerd op het optreden van een andere gebeurtenis B wordt genoemd voorwaardelijke waarschijnlijkheid .
• Het wordt aangeduid als P(A|B) en vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid van A wanneer gebeurtenis B al heeft plaatsgevonden.

Gezamenlijke waarschijnlijkheid

Wanneer de waarschijnlijkheid wordt gemeten dat nog twee gebeurtenissen tegelijkertijd en tegelijkertijd plaatsvinden, wordt deze gemarkeerd als gezamenlijke waarschijnlijkheid. Voor twee gebeurtenissen A en B wordt dit aangegeven met de gezamenlijke waarschijnlijkheid: P(A∩B).

Willekeurige variabelen

Variabelen met een reële waarde waarvan de mogelijke waarden worden bepaald door willekeurige experimenten, worden willekeurige variabelen genoemd. De waarschijnlijkheid dat dergelijke variabelen worden gevonden, is de experimentele waarschijnlijkheid.

Toepassingen van de stellingen van Bayes

Bayesiaanse gevolgtrekking is erg belangrijk en heeft toepassing gevonden in verschillende activiteiten, waaronder geneeskunde, wetenschap, filosofie, techniek, sport, recht, enz., en Bayesiaanse gevolgtrekking is rechtstreeks afgeleid van de stelling van Bayes.

Voorbeeld: Het theorema van Bayes definieert de nauwkeurigheid van de medische test door rekening te houden met hoe waarschijnlijk het is dat iemand een ziekte krijgt en wat de algehele nauwkeurigheid van de test is.

Verschil tussen voorwaardelijke waarschijnlijkheid en de stelling van Bayes

Het verschil tussen voorwaardelijke waarschijnlijkheid en de stelling van Bayes kan worden begrepen met behulp van de onderstaande tabel:

Stelling van totale waarschijnlijkheid

Laat E₁, EN₂, . . ., EN_Nzijn wederzijds uitsluitende en uitputtende gebeurtenissen die verband houden met een willekeurig experiment en laten E een gebeurtenis zijn die optreedt bij een bepaalde E_i. Bewijs dat dan

P(E) = ^N ∑ _ik=1 PLAS _i ). P(E _J )

Bewijs:

Laat S de monsterruimte zijn. Dan,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Eén en E_i∩E_J= ∅ voor ik ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_N)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_N)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩E_N)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_N)

{Daarom (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩E_N)} zijn paarsgewijze disjunct}

⇒ P(E) = P(E/E).₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_N). P(E_N) [door vermenigvuldigingsstelling]

⇒ P(E) =^N∑_ik=1PLAS_i). P(E_i)

Artikelen gerelateerd aan de stelling van Bayes

• Waarschijnlijkheidsverdeling
• De stelling van Bayes voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid
• Permutaties en combinaties
• Binomiale stelling

Conclusie – De stelling van Bayes

De Stelling van Bayes biedt een krachtig raamwerk voor het actualiseren van de waarschijnlijkheid van een hypothese op basis van nieuw bewijsmateriaal of informatie. Door voorkennis op te nemen en deze bij te werken met waargenomen gegevens, maakt de stelling van Bayes nauwkeurigere en geïnformeerde besluitvorming mogelijk op een breed scala aan gebieden, waaronder statistiek, machinaal leren, geneeskunde en financiën. De toepassingen variëren van medische diagnose en risicobeoordeling tot spamfiltering en natuurlijke taalverwerking.

Door het Theorema van Bayes te begrijpen en toe te passen, kunnen we betere voorspellingen doen, onzekerheden inschatten en betekenisvolle inzichten uit gegevens halen, waardoor we uiteindelijk beter in staat zijn om weloverwogen beslissingen te nemen in complexe en onzekere situaties.

Controleer ook:

woordenboekinitialisatie c#

• De stelling van Bayes in datamining
• Stelling van Bayes in kunstmatige intelligentie
• De stelling van Bayes in machinaal leren

Voorbeelden van Bayes-stellingen

Voorbeeld 1: Een persoon heeft een baan aangenomen. De kansen op tijdige voltooiing van de klus, met en zonder regen, zijn respectievelijk 0,44 en 0,95. Als de kans dat het gaat regenen 0,45 is, bepaal dan de kans dat de klus op tijd klaar is.

Oplossing:

Laat E₁het geval is dat de mijnbouwklus op tijd zal worden voltooid en E₂het geval is dat het regent. We hebben,

P(A) = 0,45,

P(geen regen) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Door de vermenigvuldigingswet van de waarschijnlijkheid,

P(E₁) = 0,44, en P(E₂) = 0,95

Omdat de gebeurtenissen A en B partities vormen van de monsterruimte S, hebben we dat volgens de totale waarschijnlijkheidsstelling

P(E) = P(A) P(E).₁) + P(B) P(E.)₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

De kans dat de klus op tijd wordt afgerond is dus 0,7205

Voorbeeld 2: Er zijn drie urnen met daarin 3 witte en 2 zwarte ballen; 2 witte en 3 zwarte ballen; respectievelijk 1 zwarte en 4 witte ballen. Er is een gelijke kans dat elke urn wordt gekozen. Eén bal heeft een gelijke waarschijnlijkheid, willekeurig gekozen. Wat is de kans dat een witte bal wordt getrokken?

Oplossing:

Laat E₁, EN₂, en E₃zijn de gebeurtenissen bij het kiezen van respectievelijk de eerste, tweede en derde urn. Dan,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

naam stad in de VS

Laat E de gebeurtenis zijn dat een witte bal wordt getrokken. Dan,

PLAS₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Volgens de stelling van de totale waarschijnlijkheid hebben we dat

P(E) = P(E/E).₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Voorbeeld 3: Een kaart uit een pakje van 52 kaarten gaat verloren. Uit de resterende kaarten van het pakket worden twee kaarten getrokken, die beide harten blijken te zijn. Bereken de kans dat de verloren kaart een hart is.

Oplossing:

Laat E₁, EN₂, EN_3,en E₄Dit kunnen de gebeurtenissen zijn waarbij een kaart met respectievelijk harten, klaveren, schoppen en ruiten verloren gaat.

Dan P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Stel dat E de gebeurtenis is waarbij 2 harten worden getrokken uit de resterende 51 kaarten. Dan,

P(E|E₁) = kans op het trekken van 2 harten, gegeven dat er een hartenkaart ontbreekt

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12×11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = kans op het trekken van 2 klaveren, aangezien een klaverenkaart ontbreekt

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13×12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = kans op het trekken van 2 schoppen, aangezien er een hartenkaart ontbreekt

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = kans op het trekken van 2 ruiten, aangezien een kaart met ruiten ontbreekt

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Daarom,

P(E₁|E) = waarschijnlijkheid dat de verloren kaart een hart is, gegeven dat de 2 harten getrokken zijn uit de overige 51 kaarten

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

De vereiste waarschijnlijkheid is dus 0,22.

Voorbeeld 4: Stel dat 15 mannen op de 300 mannen en 25 vrouwen op de 1000 goede redenaars zijn. Er wordt willekeurig een redenaar gekozen. Bereken de kans dat een mannelijk persoon wordt geselecteerd. Neem aan dat er evenveel mannen als vrouwen zijn.

Oplossing:

Gievn,

• Totaal mannen = 300
• Totaal vrouwen = 1000
• Goede redenaars onder mannen = 15
• Goede redenaars onder vrouwen = 25

Totaal aantal goede redenaars = 15 (van mannen) + 25 (van vrouwen) = 40

Waarschijnlijkheid van het selecteren van een mannelijke redenaar:

P (mannelijke redenaar) = aantal mannelijke redenaars / totaal aantal redenaars = 15/40

Voorbeeld 5: Het is bekend dat een man de leugens 1 op de 4 keer uitspreekt. Hij gooit een dobbelsteen en meldt dat het een zes is. Bereken de kans dat dit daadwerkelijk een zes is.

Oplossing:

In een worp met een dobbelsteen, laat

EN₁= geval van het krijgen van een zes,

EN₂= geval waarbij je geen zes krijgt en

E = gebeurtenis waarbij de man meldt dat het een zes is.

Vervolgens P(E₁) = 1/6, en P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = waarschijnlijkheid dat de man rapporteert dat zes plaatsvindt terwijl zes daadwerkelijk heeft plaatsgevonden

⇒ P(E|E₁) = waarschijnlijkheid dat de man de waarheid spreekt

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = waarschijnlijkheid dat de man meldt dat zes plaatsvindt terwijl zes niet daadwerkelijk heeft plaatsgevonden

⇒ P(E|E₂) = waarschijnlijkheid dat de man niet de waarheid spreekt

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Kans op een zes, aangezien de man meldt dat het een zes is

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [volgens de stelling van Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

De vereiste waarschijnlijkheid is dus 3/8.

Veelgestelde vragen over de stelling van Bayes

Wat is de stelling van Bayes?

De stelling van Bayes, zoals de naam doet vermoeden, is een wiskundige stelling die wordt gebruikt om de conditionaliteitswaarschijnlijkheid van een gebeurtenis te vinden. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zich in de toekomst zal voordoen. Het wordt berekend op basis van de eerdere uitkomsten van de gebeurtenissen.

Wanneer wordt de stelling van Bayes gebruikt?

De stelling van Bayes heeft een breed scala aan toepassingen, vooral op gebieden die zich bezighouden met het bijwerken van kansen op basis van nieuwe gegevens. Met de Bayes-regel kunt u de posterieure (of bijgewerkte) waarschijnlijkheid. Het wordt gebruikt om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van gebeurtenissen te berekenen.

Wat zijn enkele sleutelbegrippen om de stelling van Bayes te begrijpen?

Enkele van de belangrijkste termen zijn:

• Voorafgaande waarschijnlijkheid (P(A))
• Posterieure waarschijnlijkheid (P(A | B))
• Waarschijnlijkheid (P(B | A))
• Marginale waarschijnlijkheid (P(B))

Wanneer moet je de stelling van Bayes gebruiken?

De stelling van Bayes is van toepassing wanneer de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt gegeven; deze wordt gebruikt om de omgekeerde waarschijnlijkheid van de gebeurtenis te vinden.

svm

Hoe verschilt de stelling van Bayes van voorwaardelijke waarschijnlijkheid?

De stelling van Bayes wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te definiëren op basis van de eerdere omstandigheden van de gebeurtenis. Terwijl de stelling van Bayes voorwaardelijke waarschijnlijkheid gebruikt om de omgekeerde waarschijnlijkheid van de gebeurtenis te vinden.

Wat is de formule voor de stelling van Bayes?

De formule van de Bayes-stelling wordt hieronder uitgelegd,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)