Normale verdeling: Normale verdeling is de meest voorkomende of normale vorm van verdeling van willekeurige variabelen, vandaar de naam normale verdeling. Het wordt ook wel genoemd Gaussische verdeling in Statistiek of Waarschijnlijkheid. We gebruiken deze verdeling om een ​​groot aantal willekeurige variabelen weer te geven.

Laten we er meer over leren Normale verdeling in detail, inclusief de formule, kenmerken en voorbeelden.

Inhoudsopgave

• Wat is normale verdeling?
• Voorbeelden van normale verdelingen
• Normale verdelingsformule
• Normale verdelingscurve
• Normale verdeling Standaardafwijking
• Normale verdelingsgrafiek
• Normale verdelingstabel
• Eigenschappen van normale verdeling
• Normale verdeling in de statistiek
• Normale distributieproblemen en oplossingen

Wat is normale verdeling?

We definiëren Normale Verdeling als de kansdichtheidsfunctie van elke continue willekeurige variabele voor elk gegeven systeem. Stel dat we voor het definiëren van de normale verdeling f(x) nemen als de kansdichtheidsfunctie voor elke willekeurige variabele X.

Ook is de functie geïntegreerd tussen het interval (x, {x + dx}) en dan,

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

We zien dat de curve die wordt gevolgd door de bovenste waarden van de normale verdeling de vorm heeft van een bel, daarom wordt de normale verdeling ook wel de Bel-curve .

Rekening: Python – Normale verdeling in de statistiek

Voorbeelden van normale verdelingen

We kunnen een normale verdeling tekenen voor verschillende soorten gegevens, waaronder:

• Verdeling van de lengte van mensen
• Verdeling van fouten bij elke meting
• Verdeling van de bloeddruk van elke patiënt, enz.

Normale verdelingsformule

De formule voor de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie van normale verdeling (Gaussiaanse verdeling) is hieronder toegevoegd,

waar,

• x is Willekeurige variabele
• µ is Gemeen
• σ is Standaardafwijking

Normale verdelingscurve

In elke Normale verdeling, willekeurige variabelen zijn die variabelen die onbekende waarden aannemen die verband houden met de verdeling en die over het algemeen gebonden zijn aan een bereik.

Een voorbeeld van de willekeurige variabele is: neem a verdeling van de lengte van leerlingen in een klas, dan kan de willekeurige variabele hierin elke waarde aannemen geval, maar wordt begrensd door een grens van 2 ft tot 6 ft, aangezien dit doorgaans fysiek wordt gedwongen.

• Bereik van elk De normale verdeling kan oneindig zijn. In dit geval zeggen we dat de normale verdeling geen last heeft van het bereik ervan. In dit geval wordt het bereik uitgebreid van –∞ tot + ∞.
• Bell Curve bestaat nog steeds, in dat geval alle variabelen in dat bereik worden continue variabele genoemd en hun verdeling wordt normale verdeling genoemd, omdat alle waarden over het algemeen gesloten zijn, afgestemd op de gemiddelde waarde.
• De grafiek of de curve daarvoor wordt de normale distributiecurve of normale distributiegrafiek genoemd.

Normale verdeling Standaardafwijking

We weten dat het gemiddelde van alle gegevens die zijn uitgespreid, aangezien een grafiek ons ​​helpt de lijn van de symmetrie van de grafiek te vinden, terwijl de standaarddeviatie ons vertelt hoe ver de gegevens aan weerszijden van de gemiddelde waarde zijn verspreid. Bij kleinere waarden van de standaarddeviatie komen de waarden in de grafiek dichter bij elkaar en wordt de grafiek smaller. Terwijl voor hogere waarden van de standaarddeviatie de waarden in de grafiek meer verspreid zijn en de grafiek breder wordt.

Empirische regel van standaarddeviatie

Over het algemeen heeft de normale verdeling een positieve standaardafwijking en verdeelt de standaardafwijking het gebied van de normale curve in kleinere delen en elk deel definieert het percentage gegevens dat in een specifiek gebied valt. Dit wordt de empirische regel van standaardafwijking in normale verdeling genoemd. .

Empirische regel stelt dat,

• 68% van de gegevens valt ongeveer binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde, d.w.z. het valt tussen { Gemiddelde – Eén standaarddeviatie, en Gemiddelde + Eén standaarddeviatie }
• 95% van de gegevens valt ongeveer binnen twee standaarddeviaties van het gemiddelde, d.w.z. ze vallen tussen { Gemiddelde – twee standaardafwijkingen, en gemiddelde + twee standaardafwijkingen }
• 99,7% van de gegevens valt ongeveer binnen een derde standaarddeviatie van het gemiddelde, d.w.z. het valt tussen { Gemiddelde – derde standaarddeviatie, en gemiddelde + derde standaarddeviatie }

Normale verdelingsgrafiek

Aan het studeren Uit de grafiek blijkt duidelijk dat we met behulp van de empirische regel de gegevens grofweg in drie delen verdelen. En daarom wordt de empirische regel ook wel de 68 – 95 – 99,7 regel genoemd.

Rekening: Wiskunde | Waarschijnlijkheidsverdeling Set 3 (normale verdeling)

Normale verdelingstabel

Normale verdelingstabel, ook wel normale verdeling Z-tabel genoemd, is de tabel met z-waarde voor normale verdeling. Deze normale verdeling Z-tabel wordt als volgt gegeven:

Java-prioriteitwachtrij

Eigenschappen van normale verdeling

Enkele belangrijke eigenschappen van normale verdeling zijn:

• Voor een normale verdeling van gegevens zijn gemiddelde, mediaan en modus gelijk (d.w.z. Gemiddelde = Mediaan = Modus).
• Het totale gebied onder de normale verdelingscurve is gelijk aan 1.
• Normaal verdeelde curve is symmetrisch in het midden langs het gemiddelde.
• In een normaal verdeelde curve bevindt zich precies de helft van de waarde rechts van de centrale waarde en precies de helft van de waarde aan de rechterkant van de centrale waarde.
• Normale verdeling wordt gedefinieerd met behulp van de waarden van het gemiddelde en de standaarddeviatie.

• De normale verdelingscurve is een unimodale curve, d.w.z. een curve met slechts één piek

Mensen bekijken ook:

• Poisson-distributie
• Binomiale verdeling
• Waarschijnlijkheidsverdeling

Normale verdeling in de statistiek

• Normale verdeling, ook wel Gaussiaanse verdeling genoemd , is een klokvormige curve die een groot aantal verschijnselen uit de echte wereld beschrijft . Het is een van de belangrijkste concepten in de statistiek, omdat het in veel studiegebieden opduikt.
• Klokvormige curve : Stel je een symmetrische bel voor waarbij het midden het hoogste punt is en de staarten aan weerszijden taps toelopen. Dat is de basisvorm van een normale verdeling. De meeste datapunten clusteren zich rond het centrum, en naarmate u zich verder van het centrum verwijdert, worden de datapunten minder frequent.
• Centrale tendens: Het midden van de belcurve vertegenwoordigt de centrale tendens van de gegevens, wat betekent dat het laat zien waar de meeste waarden geconcentreerd zijn. Dit kan het gemiddelde, de mediaan of de modus zijn, afhankelijk van de specifieke dataset.
• Verspreiding van gegevens: De breedte van de belcurve geeft aan hoe verspreid de gegevens zijn. Een bredere curve betekent dat de gegevenspunten meer verspreid zijn, terwijl een smallere curve aangeeft dat de gegevenspunten dichter bij elkaar liggen.
• Willekeurige variabelen: Normale verdeling wordt doorgaans gebruikt met continue willekeurige variabelen, die elke waarde binnen een specifiek bereik kunnen aannemen. Voorbeelden hiervan zijn lengtes, gewichten, IQ-scores of examencijfers.

Rekening : Normale verdeling in bedrijfsstatistieken

Normale distributieproblemen en oplossingen

Laten we enkele problemen met de normale verdeling oplossen

Voorbeeld 1: Zoek de kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling van de volgende gegevens. x = 2, μ = 3 en σ = 4.

Oplossing:

Gegeven,

• Variabele (x) = 2
• Gemiddelde = 3
• Standaardafwijking = 4

Met behulp van de formule van de waarschijnlijkheidsdichtheid van de normale verdeling

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Vereenvoudigen,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Voorbeeld 2: Als de waarde van de willekeurige variabele 4 is, het gemiddelde 4 en de standaarddeviatie 3, zoek dan de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie van de Gaussiaanse verdeling.

Oplossing:

Gegeven,

• Variabele (x) = 4
• Gemiddelde = 4
• Standaardafwijking = 3

Met behulp van de formule van de waarschijnlijkheidsdichtheid van de normale verdeling

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Vereenvoudigen,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Conclusie – Normale verdeling

De normale verdeling, ook wel de Gaussiaanse verdeling genoemd, is een fundamenteel concept in de statistiek en de kansrekening. Het wordt gekenmerkt door zijn klokvormige curve, die symmetrisch is en gecentreerd rond het gemiddelde. De eigenschappen van de normale verdeling, zoals het gemiddelde en de standaarddeviatie, spelen een cruciale rol in veel statistische analyses en toepassingen. Normale verdelingen worden veel gebruikt op gebieden als financiën, techniek, natuurwetenschappen en sociale wetenschappen om een ​​breed scala aan verschijnselen te modelleren en analyseren. Het begrijpen van de normale verdeling zorgt voor een betere interpretatie van gegevens, schatting van kansen en het nemen van weloverwogen beslissingen op basis van statistische gevolgtrekkingen.

Veelgestelde vragen over normale verdeling

Wat is normale verdeling?

In de statistiek is de normale verdeling een waarschijnlijkheidsverdeling die symmetrisch is ten opzichte van het gemiddelde, wat aantoont dat gegevens dichtbij het gemiddelde vaker voorkomen dan gegevens ver van het gemiddelde.

Waarom wordt normale verdeling normaal genoemd?

Normale verdeling, ook wel de Gaussiaanse verdeling genoemd, wordt Normaal genoemd omdat wordt aangetoond dat verschillende natuurlijke processen normaal gesproken de Gaussiaanse verdeling volgen en vandaar de naam Normale Verdeling.

Wat is een normale verdelingsgrafiek?

Een normale verdelingsgrafiek, ook wel Gaussiaanse verdeling of belcurve genoemd, is een specifiek type kansverdeling. Het wordt gekenmerkt door zijn symmetrische, klokvormige curve wanneer deze in een grafiek wordt uitgezet.

Wat is de Z-tabel met normale verdeling?

Z-tabel, ook wel standaardnormale verdelingstabel of Z-score-tabel genoemd, is een referentietabel die in statistieken wordt gebruikt om de kansen te vinden die verband houden met specifieke waarden in een standaard normale verdeling.

Wat zijn kenmerken van normale verdeling?

Eigenschappen van normale verdeling zijn,

interface versus abstracte klasse

• De normale verdelingscurve is symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde.
• Normale verdeling is unimodaal van aard, dat wil zeggen dat het een enkele piekwaarde heeft.
• De normale verdelingscurve is altijd klokvormig.
• Gemiddelde, modus en mediaan voor normale verdeling is altijd hetzelfde.
• Normale verdeling volgt empirische regel.

Wat is het gemiddelde van normale verdeling?

Gemiddelde (aangeduid als μ) vertegenwoordigt de centrale of gemiddelde waarde van gegevens. Het is ook het punt waarrond de gegevens symmetrisch verdeeld zijn.

Wat is standaarddeviatie van normale verdeling?

Standaarddeviatie (aangeduid als σ) meet de spreiding of spreiding van gegevenspunten in de distributie. Een kleinere σ geeft aan dat gegevenspunten dicht bij het gemiddelde liggen, terwijl een grotere σ meer spreiding aangeeft.

Wat is empirische regel (68-95-99.7 regel)?

Empirische regel voor normale distributietoestanden,

• Ongeveer 68% van de gegevens valt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.
• Ongeveer 95% valt binnen twee standaarddeviaties van het gemiddelde.
• Ongeveer 99,7% valt binnen drie standaarddeviaties van het gemiddelde.

Wat zijn toepassingen van normale verdeling?

Verschillende toepassingen van normale verdeling zijn,

• Voor het bestuderen van verschillende natuurlijke fenomenen
• Voor het bestuderen van financiële gegevens.
• In Sociale Wetenschappen voor het bestuderen en voorspellen van verschillende parameters, enz.

Wat zijn beperkingen van de normale verdeling?

Normale verdeling is een uiterst belangrijk statisch concept, maar heeft zelfs enkele beperkingen, zoals:

• De verschillende gegevensverdelingen volgen niet de normale verdeling en kunnen dus geen commentaar geven op deze gegevens.
• Te veel vertrouwen op de normale verdeling of de belcurve is geen goede manier om gegevens te voorspellen, omdat deze niet 100% nauwkeurig zijn, enz.