WAT IS EEN AANGRENZENDE MATRIX

In dit artikel gaan we de aangrenzende matrix en de representatie ervan bespreken.

welke maanden zijn q3

Definitie van de aangrenzende matrix

In de grafentheorie is een aangrenzende matrix een compacte manier om de eindige grafiekstructuur te beschrijven. Het is de 2D-matrix die wordt gebruikt om de associatie tussen de grafiekknooppunten in kaart te brengen.

Als een grafiek dat heeft N aantal hoekpunten, dan is de aangrenzende matrix van die grafiek n x n , en elke invoer van de matrix vertegenwoordigt het aantal randen van het ene hoekpunt naar het andere.

Een aangrenzende matrix wordt ook wel as genoemd verbindingsmatrix . Soms wordt het ook wel een Hoekpuntmatrix .

Aangrenzende matrixweergave

Als een ongerichte grafiek G uit n hoekpunten bestaat, dan is de aangrenzende matrix van een grafiek n x n matrix A = [aij] en gedefinieerd door -

A_ij= 1 {als er een pad bestaat vanuit V_iaan V_J}

A_ij= 0 {Anders}

Laten we eens kijken naar enkele belangrijke punten met betrekking tot de aangrenzende matrix.

sorteer hoop

Als er een rand bestaat tussen hoekpunt V_ien V_J, waarbij i een rij is en j een kolom, dan de waarde van a_ij= 1.
Als er geen rand is tussen hoekpunt V_ien V_J, dan is de waarde van a_ij= 0.
Als er geen zelflussen in de eenvoudige grafiek voorkomen, moet de hoekpuntmatrix (of aangrenzende matrix) nullen in de diagonaal hebben.
Een aangrenzende matrix is symmetrisch voor een ongerichte grafiek. Het specificeert dat de waarde in de i^erij en j^ekolom is gelijk aan de waarde in j^erij ik^e
Als de aangrenzende matrix met zichzelf wordt vermenigvuldigd, en als er een waarde anders dan nul aanwezig is op de i^erij en j^ekolom, dan is er de route vanaf V_iaan V_Jmet een lengte gelijk aan 2. De waarde die niet nul is in de aangrenzende matrix geeft aan dat het aantal verschillende paden aanwezig is.

Opmerking: In een aangrenzende matrix geeft 0 aan dat er geen verband bestaat tussen twee knooppunten, terwijl 1 aangeeft dat er wel een verband bestaat tussen twee knooppunten.

Hoe maak je een aangrenzende matrix?

Stel dat er een grafiek is G met N aantal hoekpunten, dan wordt de hoekpuntmatrix (of aangrenzende matrix) gegeven door -

EEN = een_elfA₁₂. . . . . A_1nA_eenentwintigA₂₂. . . . . A_2n. . . . . . . . . A_n1A_n2. . . . . A_n

Waar de een_ijis gelijk aan het aantal randen van het hoekpunt i tot j. Zoals hierboven vermeld, is de aangrenzende matrix symmetrisch voor een ongerichte grafiek, dus voor een ongerichte grafiek geldt a_ij= een_hee.

Als de grafieken eenvoudig zijn en er geen gewichten op de randen of meerdere randen staan, dan zijn de invoeren van de aangrenzende matrix 0 en 1. Als er geen zelflussen zijn, zijn de diagonale invoeren van de aangrenzende matrix 0.

Laten we nu de aangrenzende matrix bekijken voor een ongerichte grafiek en voor gerichte grafieken.

Aangrenzende matrix voor een ongerichte grafiek

In een ongerichte grafiek zijn randen niet geassocieerd met de richtingen die ermee gepaard gaan. Als er in een ongerichte graaf een rand bestaat tussen hoekpunt A en hoekpunt B, kunnen de hoekpunten zowel van A naar B als van B naar A worden overgebracht.

Laten we de onderstaande ongerichte grafiek bekijken en proberen de aangrenzende matrix ervan te construeren.

In de grafiek kunnen we zien dat er geen zelflus is, dus de diagonale ingangen van de aangrenzende matrix zullen 0 zijn. De aangrenzende matrix van de bovenstaande grafiek zal zijn:

Aangrenzende matrix voor een gerichte grafiek

In een gerichte graaf vormen randen een geordend paar. Randen vertegenwoordigen een specifiek pad van een bepaald hoekpunt A naar een ander hoekpunt B. Knooppunt A wordt het initiële knooppunt genoemd, terwijl knooppunt B het eindknooppunt wordt genoemd.

Laten we de onderstaande gerichte grafiek bekijken en proberen de aangrenzende matrix ervan te construeren.

In de bovenstaande grafiek kunnen we zien dat er geen zelflus is, dus de diagonale ingangen van de aangrenzende matrix zullen 0 zijn. De aangrenzende matrix van de bovenstaande grafiek zal zijn:

Eigenschappen van de aangrenzende matrix

Enkele eigenschappen van de aangrenzende matrix worden als volgt weergegeven:

Een aangrenzende matrix is een matrix die rijen en kolommen bevat die worden gebruikt om een eenvoudig gelabelde grafiek weer te geven met de getallen 0 en 1 in de positie van (V_I, IN_J), afhankelijk van de voorwaarde of de twee V_ien V_Jzijn aangrenzend.
Voor een gerichte graaf: als er een rand bestaat tussen hoekpunt i of V_inaar hoekpunt j of V_J, dan is de waarde van A[V_i][IN_J] = 1, anders is de waarde 0.
Voor een ongerichte graaf, als er een rand bestaat tussen hoekpunt i of V_inaar hoekpunt j of V_J, dan is de waarde van A[V_i][IN_J] = 1 en A[V_J][IN_i] = 1, anders is de waarde 0.

Laten we eens kijken naar enkele vragen over de aangrenzende matrix. De onderstaande vragen gaan over de gewogen ongerichte en gerichte grafieken.

c++ paar

OPMERKING: Er wordt gezegd dat een grafiek de gewogen grafiek is als aan elke rand een positief getal wordt toegewezen, dat het gewicht van de rand wordt genoemd.

Vraag 1 - Wat zal de aangrenzende matrix zijn voor de onderstaande ongerichte gewogen grafiek?

Oplossing - In de gegeven vraag is er geen zelflus, dus het is duidelijk dat de diagonale ingangen van de aangrenzende matrix voor de bovenstaande grafiek 0 zullen zijn. De bovenstaande grafiek is een gewogen, ongerichte grafiek. De gewichten op de randen van de grafiek worden weergegeven als de invoer van de aangrenzende matrix.

De aangrenzende matrix van de bovenstaande grafiek zal zijn -

Vraag 2 - Wat zal de aangrenzende matrix zijn voor de onderstaande gerichte gewogen grafiek?

Oplossing - In de gegeven vraag is er geen zelflus, dus het is duidelijk dat de diagonale ingangen van de aangrenzende matrix voor de bovenstaande grafiek 0 zullen zijn. De bovenstaande grafiek is een gewogen gerichte grafiek. De gewichten op de randen van de grafiek worden weergegeven als de invoer van de aangrenzende matrix.

Java-schakelaar