Covariantiematrix is een type matrix dat wordt gebruikt om de covariantiewaarden tussen twee items in een willekeurige vector te beschrijven. Het staat ook bekend als de variantie-covariantiematrix omdat de variantie van elk element wordt weergegeven langs de hoofddiagonaal van de matrix en de covariantie wordt weergegeven onder de niet-diagonale elementen. Een covariantiematrix is gewoonlijk een vierkante matrix. Het is ook positief semi-definitief en symmetrisch. Deze matrix is handig als het gaat om stochastische modellering en Principal Component Analysis.
Wat is covariantiematrix?
De variantie -covariantiematrix is a vierkante matrix met diagonale elementen die de variantie vertegenwoordigen en de niet-diagonale componenten die covariantie uitdrukken. De covariantie van een variabele kan elke reële waarde aannemen: positief, negatief of nul. Een positieve covariantie suggereert dat de twee variabelen een positieve relatie hebben, terwijl een negatieve covariantie aangeeft dat dit niet het geval is. Als twee elementen niet samen variëren, hebben ze een covariantie van nul.
Kom meer te weten, Diagonale matrix
Voorbeeld van een covariantiematrix
Laten we zeggen dat er 2 datasets zijn X = [10, 5] en Y = [3, 9]. De variantie van set X = 12,5 en de variantie van set Y = 18. De covariantie tussen beide variabelen is -15. De covariantiematrix is als volgt:
tekenreeks subtekenreeks java
Covariantiematrixformule
De algemene vorm van een covariantiematrix wordt als volgt gegeven:
waar,
- Steekproefvariantie: waar (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} - Voorbeeld Covarinace: de (x1, En1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Bevolkingsvariantie: waar (xN) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Populatiecovariantie: de (xN, EnN) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
Hier, M is het gemiddelde van de bevolking
N is Aantal observaties
X i is de waarneming in gegevensset x
Laten we het formaat van de covariantiematrix van 2 ⨯ 2 en 3 ⨯ 3 bekijken
2 ⨯ 2 Covariantiematrix
Dat weten we in een 2 ⨯ 2 Matrix er zijn twee rijen en twee kolommen. Daarom kan de 2 ⨯ 2 covariantiematrix worden uitgedrukt als
3 ⨯ 3 Covariantiematrix
In een 3⨯3-matrix zijn er 3 rijen en 3 kolommen. We weten dat in een covariantiematrix de diagonale elementen variantie zijn en de niet-diagonale elementen covariantie. Daarom kan een 3⨯3 covariantiematrix worden gegeven als
Hoe vind ik de covariantiematrix?
De afmetingen van een covariantiematrix worden bepaald door het aantal variabelen in een gegeven dataset. Als er slechts twee variabelen in een set zitten, zou de covariantiematrix twee rijen en twee kolommen hebben. Op dezelfde manier, als een dataset drie variabelen heeft, zou de covariantiematrix drie rijen en drie kolommen hebben.
De gegevens hebben betrekking op cijfers die zijn behaald door Anna, Caroline en Laura in Psychologie en Geschiedenis. Maak een covariantiematrix.
| Student | Psychologie(X) | Geschiedenis(Y) |
|---|---|---|
| Anna | 80 | 70 |
| Carolien | 63 | twintig |
| Laura | 100 | vijftig |
De volgende stappen moeten worden gevolgd:
Stap 1: Zoek het gemiddelde van variabele X. Tel alle waarnemingen in variabele X bij elkaar op en deel de verkregen som door het aantal termen. Dus (80 + 63 + 100)/3 = 81.
invoegsoort
Stap 2: Trek het gemiddelde van alle waarnemingen af. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
Stap 3: Neem de kwadraten van de hierboven verkregen verschillen en tel ze vervolgens bij elkaar op. Dus (80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2.
Stap 4: Zoek de variantie van X door de in stap 3 verkregen waarde te delen door 1 minder dan het totale aantal waarnemingen. var(X) = [(80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2] / (3 – 1) = 343.
Stap 5: Herhaal op dezelfde manier stap 1 tot en met 4 om de variantie van Y te berekenen. Var(Y) = 633.
Stap 6: Kies een paar variabelen.
Stap 7: Trek het gemiddelde van de eerste variabele (X) af van alle waarnemingen; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
Stap 8: Herhaal hetzelfde voor variabele Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).
Stap 9: Vermenigvuldig de overeenkomstige termen: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).
Stap 10: Vind de covariantie door deze waarden op te tellen en te delen door (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.
Stap 11: Gebruik de algemene formule voor de covariantiematrix om de termen te ordenen. De matrix wordt:
Eigenschappen van covariantiematrix
De eigenschappen van de covariantiematrix worden hieronder vermeld:
- Een covariantiematrix is altijd vierkant, wat impliceert dat het aantal rijen in een covariantiematrix altijd gelijk is aan het aantal kolommen erin.
- Een covariantiematrix is altijd symmetrisch, wat impliceert dat de transponeren van een covariantiematrix is altijd gelijk aan de oorspronkelijke matrix.
- Een covariantiematrix is altijd positief en semi-definitief.
- De eigenwaarden van een covariantiematrix zijn altijd reëel en niet-negatief.
Lees verder,
- Soorten matrixen
- Matrix vermenigvuldiging
- Variantie en standaarddeviatie
Opgeloste voorbeelden van covariantiematrix
Voorbeeld 1: Hieronder staan de cijfers van 3 studenten Natuurkunde en Biologie:
Shreya Ghoshal eerste echtgenoot
| Student | Natuurkunde(X) | Biologie(Y) |
|---|---|---|
| A | 92 | 80 |
| B | 60 | 30 |
| C | 100 | 70 |
Bereken de covariantiematrix uit de bovenstaande gegevens.
Oplossing:
De voorbeeldcovariantiematrix wordt gegeven door
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .Hier, µX= 84, n = 3
var(x) = [(92 – 84)2+ (60 – 84)2+ (100 – 84)2] / (3 – 1) = 448
Dus, µEn= 60, n = 3
var(y) = [(80 – 60)2+ (30 – 60)2+ (70 – 60)2] / (3 – 1) = 700
Nu, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.
De populatiecovariantiematrix wordt gegeven als:
egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}
Voorbeeld 2. Maak de populatiecovariantiematrix op basis van de volgende tabel:
| Leeftijd | Aantal mensen |
|---|---|
| 29 | 68 |
| 26 | 60 |
| 30 | 58 |
| 35 | 40 |
Oplossing:
Populatievariantie wordt gegeven door
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .Hier, µX= 56,5, n = 4
var(x) = [(68 – 56,5)2+ (60 – 56,5)2+ (58 – 56,5)2+ (40 – 56,5)2] / 4 = 104,75
Dus, µEn= 30, n = 4
var(y) = [(29 – 30)2+ (26 – 30)2+ (30 – 30)2+ (35 – 30)2] / 4 = 10,5
Nu cov(x, y) =
frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4} cov(x, y) = -27
De populatiecovariantiematrix wordt gegeven als:
egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}
Voorbeeld 3. Interpreteer de volgende covariantiematrix:
download autocad 2019 engels mediafire
Oplossing:
- De diagonale elementen 60, 30 en 80 geven respectievelijk de variantie in datasets X, Y en Z aan. Y toont de laagste variantie, terwijl Z de hoogste variantie weergeeft.
- De covariantie voor X en Y is 32. Omdat dit een positief getal is, betekent dit dat wanneer X toeneemt (of afneemt), Y ook toeneemt (of afneemt).
- De covariantie voor X en Z is -4. Omdat het een negatief getal is, impliceert dit dat wanneer X toeneemt, Z afneemt en omgekeerd.
- De covariantie voor Y en Z is 0. Dit betekent dat er geen voorspelbare relatie bestaat tussen de twee datasets.
Voorbeeld 4. Zoek de voorbeeldcovariantiematrix voor de volgende gegevens:
| X | EN | MET |
|---|---|---|
| 75 | 10.5 | Vier vijf |
| 65 | 12.8 | 65 |
| 22 | 7.3 | 74 |
| vijftien | 2.1 | 76 |
| 18 | 9.2 | 56 |
Oplossing:
De voorbeeldcovariantiematrix wordt gegeven door
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .n = 5, mX= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3
MEn= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037
Java-vergelijkbare interfaceMMet= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5
cov(X, Y) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76 cov(X, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97 cov(Y, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87 De covariantiematrix wordt gegeven als:
egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}
Veelgestelde vragen over de covariantiematrix
1. Definieer de covariantiematrix
Een covariantiematrix is een type matrix dat wordt gebruikt om de covariantiewaarden tussen twee items in een willekeurige vector te beschrijven.
2. Wat is de formule voor de covariantiematrix?
De formule voor de covariantiematrix wordt gegeven als
left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight] Waar, Steekproefvariantie: waar (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
- Voorbeeld Covarinace: de (x1, En1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Bevolkingsvariantie: waar (xN) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Populatiecovariantie: de (xN, EnN) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
3. Wat is de algemene vorm van een 3 ⨯ 3 covariantiematrix?
De algemene vorm van een 3 ⨯ 3 covariantiematrix wordt als volgt gegeven:
egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}
4. Wat zijn de eigenschappen van de covariantiematrix?
Covariantiematrix is een vierkante matrix en is ook symmetrisch van aard, d.w.z. de transpositie van de originele matrix geeft de originele matrix zelf
5. Wat zijn de sectoren waar de Covariantiematrix kan worden gebruikt?
Covariantiematrix wordt gebruikt op het gebied van wiskunde, machinaal leren, financiën en economie. Covariantiematrix wordt gebruikt in Cholskey-decompositie om Monte Carlo-simulatie uit te voeren, die wordt gebruikt om wiskundige modellen te maken.