Eigenwaarden en Eigenvectoren zijn de scalaire en vectorgrootheden die ermee gepaard gaan Matrix gebruikt voor lineaire transformatie. De vector die niet verandert, zelfs niet na het toepassen van transformaties, wordt de Eigenvector genoemd en de scalaire waarde die aan Eigenvectoren is gekoppeld, wordt genoemd Eigenwaarden . Eigenvectoren zijn de vectoren die geassocieerd zijn met een reeks lineaire vergelijkingen. Voor een matrix worden eigenvectoren ook wel karakteristieke vectoren genoemd, en we kunnen de eigenvector alleen van vierkante matrices vinden. Eigenvectoren zijn zeer nuttig bij het oplossen van verschillende problemen met matrices en differentiaalvergelijkingen.

In dit artikel zullen we leren over eigenwaarden, eigenvectoren voor matrices en andere met voorbeelden.

Inhoudsopgave

• Wat zijn eigenwaarden?
• Wat zijn eigenvectoren?
• Eigenvectorvergelijking
• Wat zijn eigenwaarden en eigenvectoren?
• Hoe vind je een eigenvector?
• Soorten eigenvector
• Rechtse eigenvector
• Linker Eigenvector
• Eigenvectoren van een vierkante matrix
• Eigenvector van een 2 × 2 matrix
• Eigenvector van een 3 × 3-matrix
• Eigenruimte
• Toepassingen van eigenwaarden
• Diagonaliseer de matrix met behulp van eigenwaarden en eigenvectoren
• Opgeloste voorbeelden van eigenvectoren
• Veelgestelde vragen over eigenvectoren

Wat zijn eigenwaarden?

Eigenwaarden zijn de scalaire waarden die geassocieerd zijn met de eigenvectoren in lineaire transformatie. Het woord ‘Eigen’ is van Duitse oorsprong en betekent ‘karakteristiek’. Dit is dus de karakteristieke waarde die de factor aangeeft waarmee eigenvectoren in hun richting worden uitgerekt. Er is geen sprake van een verandering in de richting van de vector, behalve wanneer de eigenwaarde negatief is. Als de eigenwaarde negatief is, is de richting gewoon omgekeerd. De vergelijking voor de eigenwaarde wordt gegeven door

Uit = λv

Waar,

• A is de matrix,
• v is geassocieerde eigenvector, en
• λ is scalaire eigenwaarde.

Wat zijn eigenvectoren?

Eigenvectoren voor vierkante matrices worden gedefinieerd als vectorwaarden die niet nul zijn en die, wanneer ze worden vermenigvuldigd met de vierkante matrices, de scaler een veelvoud van de vector geven, dat wil zeggen dat we een eigenvector voor matrix A definiëren als v als deze de voorwaarde specificeert, Uit = λv

Het schaalveelvoud λ in het bovenstaande geval wordt de eigenwaarde van de vierkante matrix genoemd. We moeten altijd eerst de eigenwaarden van de vierkante matrix vinden voordat we de eigenvectoren van de matrix vinden.

Voor elke vierkante matrix, A van orde n × n, is de eigenvector de kolommatrix van orde n × 1. Als we de eigenvector van matrix A vinden met Av = λv, wordt v hierin de rechter eigenvector van matrix A genoemd en wordt altijd naar de rechterkant vermenigvuldigd, aangezien matrixvermenigvuldiging niet commutatief van aard is. Over het algemeen is het zo dat wanneer we de eigenvector vinden, deze altijd de juiste eigenvector is.

We kunnen ook de linker eigenvector van de vierkante matrix A vinden door de relatie te gebruiken, vA = vl

Hier is v de linker eigenvector en wordt deze altijd naar de linkerkant vermenigvuldigd. Als matrix A van orde n × n is, dan is v een kolommatrix van orde 1 × n.

Eigenvectorvergelijking

De Eigenvectorvergelijking is de vergelijking die wordt gebruikt om de eigenvector van een vierkante matrix te vinden. De eigenvectorvergelijking is,

10 van 100,00

Uit = λv

Waar,

• A is de gegeven vierkante matrix,
• in is de eigenvector van matrix A, en
• l is elke scaler veelvoud.

Wat zijn eigenwaarden en eigenvectoren?

Als A een is vierkante matrix van orde n × n, dan kunnen we gemakkelijk de eigenvector van de vierkante matrix vinden door de hieronder besproken methode te volgen,

We weten dat de eigenvector wordt gegeven met behulp van de vergelijking Av = λv, voor de identiteitsmatrix van dezelfde orde als de orde van A, dwz n × n gebruiken we de volgende vergelijking,

(A-λI)v = 0

Door de bovenstaande vergelijking op te lossen, krijgen we verschillende waarden van λ als λ₁, l₂, ..., l_Ndeze waarden worden de eigenwaarden genoemd en we krijgen individuele eigenvectoren gerelateerd aan elke eigenwaarde.

Als we de bovenstaande vergelijking vereenvoudigen, krijgen we v, wat een kolommatrix is ​​van de orde n × 1 en v wordt geschreven als,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Hoe vind je een eigenvector?

De eigenvector van de volgende vierkante matrix kan eenvoudig worden berekend met behulp van de onderstaande stappen,

Stap 1: Vind de eigenwaarden van matrix A met behulp van de vergelijking det |(A – λI| =0, waarbij I de identiteitsmatrix is ​​van orde vergelijkbaar met matrix A

Stap 2: De waarde verkregen in stap 2 wordt genoemd als λ₁, l₂, l₃….

Stap 3: Zoek de eigenvector (X) die bij de eigenwaarde λ hoort₁met behulp van de vergelijking (A – λ₁ik) X = 0

Stap 4: Herhaal stap 3 om de eigenvector te vinden die is gekoppeld aan andere resterende eigenwaarden λ₂, l₃….

Als u deze stappen volgt, krijgt u de eigenvector gerelateerd aan de gegeven vierkante matrix.

Soorten eigenvector

De eigenvectoren berekend voor de vierkante matrix zijn van twee typen:

• Rechtse eigenvector
• Linker Eigenvector

Rechtse eigenvector

De eigenvector die vanaf de rechterkant wordt vermenigvuldigd met de gegeven vierkante matrix, wordt de rechter eigenvector genoemd. Het wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking,

VAN _R = λV _R

Waar,

• A krijgt een vierkante matrix van orde n×n,
• l is een van de eigenwaarden, en
• IN _R is de kolomvectormatrix

De waarde van V_Ris,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Linker Eigenvector

De eigenvector die vanaf de linkerkant wordt vermenigvuldigd met de gegeven vierkante matrix, wordt de linker eigenvector genoemd. Het wordt berekend met behulp van de volgende vergelijking,

IN _L EEN = V _L l

Waar,

• A krijgt een vierkante matrix van orde n×n,
• l is een van de eigenwaarden, en
• IN _L is de rijvectormatrix.

De waarde van V_Lis,

IN _L = [v ₁ , in ₂ , in ₃ ,…, in _N ]

Eigenvectoren van een vierkante matrix

We kunnen gemakkelijk de eigenvector vinden van vierkante matrices van de orde n × n. Laten we nu de volgende vierkante matrices vinden:

• Eigenvectoren van een 2 × 2 matrix
• Eigenvectoren van een 3 × 3-matrix.

Eigenvector van een 2 × 2 matrix

De eigenvector van de 2 × 2-matrix kan worden berekend met behulp van de bovengenoemde stappen. Een voorbeeld hiervan is,

Voorbeeld: Zoek de eigenwaarden en de eigenvector voor de matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Oplossing:

Als eigenwaarden worden weergegeven met λ en de eigenvector wordt weergegeven als v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Vervolgens wordt de eigenvector berekend met behulp van de vergelijking:

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 en λ = -1

De eigenwaarden zijn dus 6 en -1. Dan zijn de respectieve eigenvectoren,

automaten theorie

Voor λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Als we de bovenstaande vergelijking vereenvoudigen, krijgen we:

5a=2b

De vereiste eigenvector is,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Voor λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

door de bovenstaande vergelijking te vereenvoudigen krijgen we,

een = -b

De vereiste eigenvector is,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Dan zijn de eigenvectoren van de gegeven 2 × 2 matrixegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Dit zijn twee mogelijke eigenvectoren, maar veel van de overeenkomstige veelvouden van deze eigenvectoren kunnen ook als andere mogelijke eigenvectoren worden beschouwd.

Eigenvector van een 3 × 3-matrix

De eigenvector van de 3 × 3-matrix kan worden berekend met behulp van de bovengenoemde stappen. Een voorbeeld hiervan is,

Voorbeeld: Zoek de eigenwaarden en de eigenvector voor de matrix A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Oplossing:

Als eigenwaarden worden weergegeven met λ en de eigenvector wordt weergegeven als v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Vervolgens wordt de eigenvector berekend met behulp van de vergelijking:

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Als we de bovenstaande determinant vereenvoudigen, krijgen we

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

Diana Maria Zwarter

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Voor λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Als we de bovenstaande vergelijking vereenvoudigen, krijgen we

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Laat b = k₁en c = k₂

een + k₁+ k₂= 0

een = -(k₁+ k₂)

De eigenvector is dus,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

het nemen van k₁= 1 en k₂= 0

de eigenvector is,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

het nemen van k₁= 0 en k₂= 1

de eigenvector is,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Voor λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Als we de bovenstaande vergelijking vereenvoudigen, krijgen we:

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Laat b = k₁en c = k₂, en k nemen₁= k₂= 1,

we krijgen,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

De eigenvector is dus,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenruimte

We definiëren de eigenruimte van een matrix als de verzameling van alle eigenvectoren van de matrix. Alle vectoren in de eigenruimte zijn lineair onafhankelijk van elkaar.

Om de Eigenruimte van de matrix te vinden, moeten we de volgende stappen volgen

Stap 1: Vind alle eigenwaarden van de gegeven vierkante matrix.

Stap 2: Zoek voor elke eigenwaarde de bijbehorende eigenvector.

Stap 3: Neem de verzameling van alle eigenvectoren (zeg A). De aldus gevormde resulterende verzameling wordt de eigenruimte van de volgende vector genoemd.

Uit het bovenstaande voorbeeld van de gegeven 3 × 3 matrix A is de aldus gevormde eigenruimte {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Toepassingen van eigenwaarden

Enkele veel voorkomende toepassingen van eigenwaarden zijn:

Lineaire algebra

Diagonalisering: Eigenwaarden worden gebruikt om matrices te diagonaliseren, berekeningen te vereenvoudigen en lineaire systemen efficiënter op te lossen.

Matrixmachtsverheffing: Eigenwaarden spelen een cruciale rol bij het berekenen van de machtsverheffing van een matrix.

Kwantummechanica

Schrödingervergelijking: Eigenwaarden van de Hamiltoniaanse operator komen overeen met de energieniveaus van kwantumsystemen en verschaffen informatie over mogelijke toestanden.

Trillingen en structurele analyse:

Mechanische trillingen: Eigenwaarden vertegenwoordigen de natuurlijke frequenties van trillingssystemen. Bij structurele analyse helpen ze de stabiliteit en het gedrag van constructies te begrijpen.

Statistieken

Covariantiematrix: In multivariate statistieken worden eigenwaarden gebruikt bij de analyse van covariantiematrices, die informatie verschaffen over de spreiding en oriëntatie van gegevens.

Computer beelden

Principal Component Analysis (PCA): Eigenwaarden worden in PCA gebruikt om de belangrijkste componenten van een dataset te vinden, waardoor de dimensionaliteit wordt verminderd terwijl essentiële informatie behouden blijft.

Controlesystemen

Systeemstabiliteit: Eigenwaarden van de systeemmatrix zijn van cruciaal belang bij het bepalen van de stabiliteit van een besturingssysteem. Stabiliteitsanalyse helpt ervoor te zorgen dat de systeemreactie begrensd is.

Diagonaliseer de matrix met behulp van eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en Eigenvectoren worden gebruikt om diagonale matrices te vinden. A diagonale matrix is een matrix die kan worden geschreven als,

A = XDX ^-1

gimp opslaan als jpeg

Waar,

• D is de matrix die wordt gevormd door de 1-en in de identiteitsmatrix te vervangen door eigenwaarden, en
• X is de matrix gevormd door eigenvectoren.

We kunnen het concept van een diagonale matrix begrijpen door het volgende voorbeeld te nemen.

Voorbeeld: diagonaliseer de matrix A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Oplossing:

We hebben de eigenwaarden en de eigenvectoren van A al opgelost = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

De eigenwaarden van de A zijn λ = 0, λ = 0 en λ = -8

De eigenvectoren van A zijnegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Dus,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

We kunnen de inverse van X gemakkelijk vinden als:

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Lees verder,

• Elementaire bewerking op matrices
• Identiteitsmatrix
• Inverse van een matrix

Opgeloste voorbeelden van eigenvectoren

Voorbeeld 1: Vind de eigenvectoren van de matrix A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Oplossing:

De eigenwaarden van de matrix worden gevonden met behulp van,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

De eigenwaarden zijn dus,

λ = 1, 1, 1

Omdat alle eigenwaarden gelijk zijn, hebben we drie identieke eigenvectoren. We zullen de eigenvectoren voor λ = 1 vinden, met behulp van (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

het oplossen van de bovenstaande vergelijking die we krijgen,

• een = K
• j = 0
• z = 0

Dan is de eigenvector,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Voorbeeld 2: Vind de eigenvectoren van de matrix A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Oplossing:

De eigenwaarden van de matrix worden gevonden met behulp van,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

De eigenwaarden zijn dus,

λ = 5,5

Omdat alle eigenwaarden gelijk zijn, hebben we drie identieke eigenvectoren. We zullen de eigenvectoren voor λ = 1 vinden met behulp van

arrays java

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Simpelweg het bovenstaande krijgen we:

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Dan is de eigenvector,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Veelgestelde vragen over eigenvectoren

Wat zijn eigenvectoren?

We definiëren de eigenvector van elke matrix als de vector die bij vermenigvuldiging met de matrix resulteert in het schaalveelvoud van de matrix.

Hoe Eigenvectoren vinden?

Eigenvector van elke matrix A wordt aangegeven met in . Eigenvector van de matrix wordt berekend door eerst de eigenwaarde van de matrix te vinden.

• De eigenwaarde van de matrix wordt gevonden met behulp van de formule |A-λI| = 0 waarbij λ de eigenwaarden geeft.
• Nadat we de eigenwaarde hadden gevonden, vonden we de eigenvector met de formule Av = λv, waarbij v de eigenvector geeft.

Wat is het verschil tussen Eigenwaarde en Eigenvector?

Voor elke vierkante matrix A worden de eigenwaarden weergegeven door λ en deze worden berekend met de formule |A – λI| = 0. Na het vinden van de eigenwaarde vinden we de eigenvector door Av = λv.

Wat is de diagonaliseerbare matrix?

Elke matrix die kan worden uitgedrukt als het product van de drie matrices als XDX^-1is een diagonaliseerbare matrix, hier wordt D de diagonale matrix genoemd.

Zijn eigenwaarden en eigenvectoren hetzelfde?

Nee, eigenwaarden en eigenvectoren zijn niet hetzelfde. Eigenwaarden zijn de scaler die wordt gebruikt om eigenvectoren te vinden, terwijl eigenvectoren de vectoren zijn die worden gebruikt om matrixvectortransformaties te vinden.

Kan Eigenvector een nulvector zijn?

We kunnen eigenwaarden nul hebben, maar de eigenvector kan nooit een nulvector zijn.

Wat is de eigenvectorformule?

De eigenvector van elke matrix wordt berekend met behulp van de formule:

Uit = λv

waar,
l is de eigenwaarde
in is de eigenvector