Transponeren van een matrix is een veelgebruikte methode die wordt gebruikt voor matrixtransformatie in lineaire algebra. Transponeren van een matrix wordt verkregen door de rijen en kolommen van de gegeven matrix om te wisselen of omgekeerd. Transpositie van een matrix kan worden gebruikt om de adjunct en de inverse van de matrices te verkrijgen.

Voordat we meer te weten komen over de details van de transpositie van een matrix, gaan we eerst kijken naar Wat is een matrix?. Een matrix is ​​niets anders dan de weergave van de set gegevens in het rechthoekige array-formaat. In een matrix zijn gegevens gerangschikt in specifieke rijen en kolommen. In de wiskunde bestaan ​​verschillende typen matrices, die worden gepresenteerd in de volgorde van rijen × kolommen. Laten we een voorbeeld nemen van de matrix van orde 3 × 2 (zeg A).

EEN =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

In dit artikel zullen we meer te weten komen de transpositie van een matrix, de typen, eigenschappen, symbolen en volgorde ervan, hoe je de transpositie van een matrix kunt vinden, en voorbeelden ervan.

Inhoudsopgave

• Wat is een matrix?
• Soorten matrixen
• Wat is transponeren van een matrix?
• Symbool van transponeermatrix | Transponeer notatie
• Volgorde van transponeermatrix
• Hoe vind je de transpositie van een matrix?
• Transponeren van rij- en kolommatrix
• Transponeren van horizontale en verticale matrices
• Transponeren van een symmetrische matrix
• Transponeren van een diagonale matrix
• Transponeren van een getransponeerde matrix
• Transponeren van een vierkante matrix
• Transponeren van een 3 × 3-matrix
• Determinant van de transpositie van een matrix
• Transponeren van een matrixeigenschappen

Wat is een matrix?

Een rechthoekige reeks cijfers, symbolen of tekens die aan een bepaalde rij en kolom zijn toegewezen, wordt een matrix genoemd. De cijfers, symbolen of tekens in de matrix worden elementen van de matrix genoemd. Het aantal rijen en kolommen in een matrix bepaalt de volgorde van de matrix. Als een matrix ‘A’ bijvoorbeeld ‘i’-rijen en ‘j’-kolommen bevat, wordt de matrix weergegeven door [A]i⨯j. Hier bepaalt i⨯j de volgorde van de matrix. Laten we een voorbeeld van een matrix bekijken.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

In het bovenstaande voorbeeld zijn er drie rijen en twee kolommen, dus de volgorde van de matrix is ​​3⨯2.

Soorten matrixen

Er zijn verschillende soorten matrices op basis van het aantal rijen en kolommen die ze hebben en ook vanwege de specifieke kenmerken die ze vertonen. Laten we er een paar bekijken

• Rijmatrix: Een matrix waarin er slechts één rij is en geen kolom, wordt een rijmatrix genoemd.
• Kolommatrix: Een matrix waarin er slechts één kolom en nu een rij is, wordt een kolommatrix genoemd.
• Horizontale matrix: Een matrix waarin het aantal rijen kleiner is dan het aantal kolommen, wordt een horizontale matrix genoemd.
• Verticale matrix: Een matrix waarin het aantal kolommen kleiner is dan het aantal rijen wordt een verticale matrix genoemd.
• Rechthoekige matrix: Een matrix waarin het aantal rijen en kolommen ongelijk is, wordt een rechthoekige matrix genoemd.
• Vierkante matrix: Een matrix waarin het aantal rijen en kolommen hetzelfde is, wordt een vierkante matrix genoemd.
• Diagonale matrix: Een vierkante matrix waarin de niet-diagonale elementen nul zijn, wordt een diagonale matrix genoemd.
• Nulmatrix: Een matrix waarvan alle elementen nul zijn, wordt een nulmatrix genoemd.
• Eenheidsmatrix: Een diagonale matrix waarvan alle diagonale elementen 1 zijn, wordt een eenheidsmatrix genoemd.
• Symmetrische matrix: Er wordt gezegd dat een vierkante matrix symmetrisch is als de transponering van de oorspronkelijke matrix gelijk is aan de oorspronkelijke matrix. d.w.z. (A^T) = EEN.
• Scheef-symmetrisch: Een scheef-symmetrische (of antisymmetrische of antimetrische[1]) matrix is ​​een vierkante matrix waarvan de transponering gelijk is aan de negatieve waarde ervan. (A^T) = -A.

Lees ook , Soorten matrixen

Wat is transponeren van een matrix?

Transponeren van een matrix is ​​een matrix die wordt verkregen door de rijen en kolommen van de gegeven matrix om te wisselen of omgekeerd, dat wil zeggen dat voor de gegeven matrix de elementen in rijen worden uitgewisseld met de elementen in kolommen. Voor elke gegeven matrix A wordt de transpositie ervan aangegeven als A^T, of A^T.

Transponeren van een matrixdefinitie

Het transponeren van een matrix is ​​een wiskundige bewerking waarbij de rijen en kolommen van de oorspronkelijke matrix worden omgedraaid.

Vertegenwoordiging van transpositie van matrix

EEN = [een _(ij) ] _{m × n}
A ^T = [een _{(van de)} ] _{n × m}

hier presenteren i, j de positie van een matrixelement, respectievelijk rij- en kolomgewijs, zodat 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n.

Voorbeeld: voor elke gegeven matrix A van orde 2 × 3 de transpositie is?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Oplossing:

Transponeren van A

A^T=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Orde van A^Tis 3×2

Symbool van transponeermatrix | Transponeer notatie

Het transponeren van een matrix is ​​de bewerking waarbij de matrix over de hoofddiagonaal wordt gekanteld en de rijen met kolommen worden verwisseld. Transponeren van een matrix A wordt aangegeven met de notatie A’ of A^Tof A^T.

Volgorde van transponeermatrix

De volgorde van een matrix vertelt het totale aantal elementen dat een matrix bevat. Het vertegenwoordigt ook het aantal rijen en kolommen in een matrix. Horizontale waarden vertegenwoordigen de rijen van de matrix, en verticale waarden vertegenwoordigen de kolommen van de matrix. Voor elke matrix A_m×n, de volgorde is m×n, d.w.z. het heeft m rijen en n kolommen. Daarom is de transponering van matrix A A^Ten de volgorde ervan is n×m, d.w.z. het heeft n rijen en m kolommen.

Hoe vind je de transpositie van een matrix?

De transpositie van elke matrix kan eenvoudig worden gevonden door de waarden in de rijen te veranderen met de waarden in de kolommen. Laten we een voorbeeld nemen om dit in detail te begrijpen.

Voor elke matrix A₂₃, de volgorde is 2×3, wat betekent dat het 2 rijen en 3 kolommen heeft.

EEN = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

De getransponeerde van matrix A is A^Tvan de orde 3×2 met 3 rijen en 2 kolommen. In de getransponeerde matrix worden elementen van de eerste rij van de gegeven matrix gewijzigd met de eerste kolom van de getransponeerde matrix. Op dezelfde manier worden de elementen van de tweede rij van de gegeven matrix A verwisseld met de tweede kolom van de nieuwe matrix A^Tenzovoort totdat de hele matrix is ​​verwisseld.

emmer soort

A^T=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transponeren van rij- en kolommatrix

Een matrix met één enkele rij staat bekend als een rijmatrix, terwijl een matrix met één enkele kolom bekend staat als een kolommatrix. De transponering van een rijmatrix is ​​een kolommatrix en omgekeerd. Als P bijvoorbeeld een kolommatrix is ​​van orde 4 × 1, dan is de transponering ervan een rijmatrix van orde 1 × 4. Als Q een rijmatrix is ​​van orde 1 × 3, dan is de transponering ervan een kolommatrix van orde 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transponeren van horizontale en verticale matrices

Als het aantal rijen in een matrix kleiner is dan het aantal kolommen, dan staat de matrix bekend als een horizontale matrix, en als het aantal kolommen in een matrix kleiner is dan het aantal rijen, dan staat de matrix bekend als een verticale matrix. De transponering van een horizontale matrix is ​​een verticale matrix en omgekeerd. Als M bijvoorbeeld een horizontale matrix van orde 2 × 3 is, dan is de transpositie ervan een verticale matrix van orde 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transponeren van een symmetrische matrix

Een symmetrische matrix is ​​een speciaal soort patroon waarbij de getallen zo zijn gerangschikt dat ze elkaar spiegelen over de diagonale lijn van linksboven naar rechtsonder. Het transponeren van een matrix betekent het omdraaien van de matrix over deze diagonale lijn.

Bijvoorbeeld,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

De cijfers aan weerszijden van de diagonale lijn zijn hetzelfde: 2 ligt tegenover 2, 3 ligt tegenover 3, enzovoort. Als we nu de transpositie van deze matrix nemen, draaien we hem eenvoudigweg over de diagonale lijn. De getallen die oorspronkelijk in rijen stonden, worden dus kolommen en omgekeerd.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Hier zijn de oorspronkelijke matrix en de getransponeerde matrix precies hetzelfde. Dat komt omdat wanneer je een symmetrische matrix transponeert, je dezelfde matrix terugkrijgt! Dit is een speciale eigenschap van symmetrische matrices.

Transponeren van een diagonale matrix

Een diagonale matrix is ​​een patroon waarbij de getallen alleen langs de diagonale lijn van linksboven naar rechtsonder verschijnen, terwijl alle andere gegevens uit nullen bestaan. Het transponeren van een matrix betekent het omdraaien van de matrix over deze diagonale lijn.

Bijvoorbeeld,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Hier verschijnen de cijfers 2, 3 en 5 langs de diagonaal, terwijl alle andere vermeldingen nullen zijn. Omdat een diagonale matrix al symmetrisch is over zijn diagonaal, is de transponering van een diagonale matrix eenvoudigweg zichzelf:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transponeren van een getransponeerde matrix

Wanneer u een matrix transponeert, draait u deze feitelijk over de diagonale lijn. Het transponeren van een matrix die al is getransponeerd betekent dus dat deze wordt teruggedraaid naar de oorspronkelijke oriëntatie.

Bijvoorbeeld,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Als we nu de transpositie van deze getransponeerde matrix nemen:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transponeren van een vierkante matrix

Vierkante matrices zijn matrices met een gelijk aantal rijen en kolommen. voor elke vierkante matrix A_n×n, de transponering heeft dezelfde volgorde, dat wil zeggen de transponering van A, A^Theeft volgorde n × n. De rijen en kolommen worden verwisseld bij de transpositie van een vierkante matrix.

Transponeren van een 2 × 2 matrix

Voor elke 2 × 2 matrices A,

EEN =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

de transpositie is A^T,

A^T= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Voorbeeld: Vind de transponering van matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Oplossing:

Transponeren van de matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} is

A^T=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transponeren van een 3 × 3-matrix

Voor elke 3 × 3 matrices A,

EEN =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

de transpositie is A^T,

A^T= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Voorbeeld: Vind de transponering van matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Oplossing:

Transponeren van de matrix A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} is

A^T=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Determinant van de transpositie van een matrix

De determinant van de transpositie van een matrix A is gelijk aan de determinant van A zelf, dat wil zeggen voor elke vierkante matrix A

|EEN| = |Een ^T |

tekenreeks vergelijken met Java

Transponeren van een matrixeigenschappen

Laten we eens kijken naar de belangrijke eigenschappen van de transpositie van een matrix:

• Een vierkante matrix A van de orde n × n wordt een orthogonale matrix genoemd als AA^T= EEN^TA = I, waarbij I een identiteitsmatrix is ​​van orde n × n.
• Een vierkante matrix A van de orde n × n wordt een symmetrische matrix genoemd als de transponering ervan hetzelfde is als de oorspronkelijke matrix, dat wil zeggen A^T= EEN.
• Een vierkante matrix A van de orde n × n wordt een scheefsymmetrische matrix genoemd als de transpositie gelijk is aan het negatief van de oorspronkelijke matrix, dat wil zeggen A^T= –A.
• Dubbele transpositie van een matrix: Transpositie van de transpositiematrix is ​​de originele matrix zelf.

(A ^T ) ^T = EEN

• Transponeren van product van matrices: Dit pand zegt dat

(AB) ^T = B ^T A ^T

Bewijs:

Als matrices A en B respectievelijk de orde m × n en n × p hebben.

En

A^Ten B^Tzijn de transpositie van matrices A en B van respectievelijk de ordes n × m en p × n (uit de productregel van matrices).

Het impliceert dat als A = [a(ij)], en A^T= [c(van)]

Dan geldt [c(ji)] = [a(ij)]

En,

Als B = [b(jk)], en B^T= [d(kj)]

Dan geldt [d(kj)] = [b(jk)]

Nu kunnen we op basis van de productregel van matrices schrijven:

AB is m × p-matrix en (AB)^Tis p × m-matrix.

Ook B^Tis een p × n-matrix, en A^Tis een n × m-matrix.

Dit betekent dat,

(B^T)(A^T) is een p × m-matrix.

Daarom,

(AB)^Ten B^T)(A^T) zijn beide p × m matrices.

Nu kunnen we schrijven,

(k, ik)^eonderdeel van (AB)^T= (ik, k)^eonderdeel van AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)de element van (B ^T )(A ^T )

Daarom,

de elementen van (AB) ^T En (B ^T )(A ^T ) zijn gelijk.

Daarom,

(AB) ^T = (B ^T )(A ^T )

• Vermenigvuldiging met constante: Als een matrix wordt vermenigvuldigd met een scalaire waarde en de transpositie ervan wordt genomen, dan zal de resulterende matrix gelijk zijn aan de transponering van de oorspronkelijke matrix vermenigvuldigd met de scalaire waarde, dat wil zeggen (kA)^T= kA^T, waarbij k een scalaire waarde is.

Bewijs:

Laten we een matrix A = [a bekijken_ij]_{m × n}en een scalaire k.

De orde van de gegeven matrix A is m × n.

Als matrix A wordt vermenigvuldigd met de scalaire waarde k, dan worden alle elementen van de matrix vermenigvuldigd met deze scalaire constante k, maar de volgorde van matrix kA blijft hetzelfde, dat wil zeggen m x n.

Nu is de volgorde van de transpositie van de matrix kA, d.w.z. (kA)^Tzal n × m zijn.

Omdat de volgorde van matrix A m × n is, is de volgorde van zijn getransponeerde matrix, dat wil zeggen A^Tzal n × m zijn.

Als matrix A^Twordt vermenigvuldigd met de scalaire waarde k, en vervolgens met de orde van de matrix kA^Tzal ook n × m zijn.

Dus de volgorde van de matrices (kA)^Ten kA^Tis hetzelfde, dat wil zeggen n × m.

Laten we nu bewijzen dat de overeenkomstige elementen van (kA)^Ten kA^Tzijn gelijk.

Het (i,j)de element van (kA)^Tzal gelijk zijn aan het (j, i)de element van kA.

(ik, j)^eelement van (kA)^T= (j, ik)^eelement van kA

⇒ (ik, j)^eelement van (kA)^T= (ik, j)^eelement van kA^T

We zeggen dus dat de overeenkomstige elementen van (kA)^Ten kA^Tzijn gelijk.

Omdat de volgorde en overeenkomstige elementen van (kA)^Ten kA^Tzijn gelijk,

Daarom kunnen we dat concluderen (kA) ^T = kA ^T .

in tekenreeks in Java

• Transponeren van optelling van matrices: Dit pand zegt dat.

(A+B) ^T = EEN ^T + B ^T

Bewijs:

Hier zijn A en B twee ordematrices m × n

Laten, A = [a(ij)] En B = [b(ij)] van orde m × n .

Dus, (A+B) is ook van orde m × n Matrix

Ook, A ^T En B ^T zijn van orde n × m matrices.

Dus de Transponeren van matrix (A + B) of (A+B) ^T is een n × m Matrix.

Nu kunnen we zeggen: A ^T + B ^T is ook een n × m Matrix.

Nu, vanuit de transponeerregel,
(j, i)de element van (A+B) ^T = (ik, j)de element van (A+B)

= (ik, j)de element van A + (ik, j)de onderdeel van B
= (j, i)de onderdeel van A ^T + (j, i)de onderdeel van B ^T
= (j, i)de element van (A ^T + B ^T )

Daarom,

(A+B) ^T = EEN ^T + B ^T

• Als A een vierkante matrix van welke orde dan ook is en inverteerbaar is, dan is de inverse van zijn getransponeerde gelijk aan de getransponeerde van de inverse van de oorspronkelijke matrix, dat wil zeggen (A^T)^-1= (A^-1)^T.

Bewijs:

Java programmeert priemgetallen

Om te bewijzen dat (A^T)^-1= (A^-1)^T, laten we een niet-singuliere vierkante matrix A beschouwen.

RHS = (A^-1)^T

Vermenigvuldig nu (A^-1)^Tdoor A^T

= (A^-1)^T× A^T

Dat weten we (AB)^T= B^TA^T

Dus, (A^-1)^TA^T= (AA^-1)^T

We weten dat de AA^-1= I, waarbij I een identiteitsmatrix is.

Dus, (A^-1)^TA^T= ik^T

⇒ (A^-1)^TA^T= Ik (Aangezien, ik^T= ik)

⇒ (A^-1)^T= (A^T)^-1= LHS

Bewezen dus.

Daarom, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Mensen lezen ook:

• Adjunct van een matrix
• Determinant van een matrix
• Inverse van een matrix

Opgeloste voorbeelden van transponeren van een matrix

Voorbeeld 1: Vind de getransponeerde van de matrix A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Oplossing:

De getransponeerde van matrix A is A^T

A^T=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Voorbeeld 2: Voor matrices, A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} En B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Bewijs dat voor deze matrices de eigenschap (AB) geldt ^T = (B ^T )(A ^T )

Oplossing:

Hier zijn A en B 23 En 3×2 matrixen respectievelijk. Dus door de productregel van een matrix kunnen we hun product vinden en de uiteindelijke matrices zouden er uit kunnen zien 2×2 Matrix.

LHS

Nu,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Dus de transponering van matrix AB is,

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

RHS

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

En

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Dus,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Daarom,

(AB) ^T = B ^T A ^T

Voorbeeld 3: Controleer of (Q ^T ) ^T = Q of niet.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Oplossing:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Vandaar geverifieerd.

Voorbeeld 4: Controleer of de onderstaande matrix symmetrisch is of niet.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Oplossing:

We weten dat een vierkante matrix P van de orde n × n een symmetrische matrix wordt genoemd als de transpositie ervan hetzelfde is als de oorspronkelijke matrix, dat wil zeggen P^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Nu, P^Twordt verkregen door de rijen in kolommen te verwisselen.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Zoals P^T= P, de gegeven vierkante matrix is ​​symmetrisch.

Voorbeeld 5: Voor matrices A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} En B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

normale vormen

Bewijs dat deze matrices deze eigenschap bezitten, (A + B) ^T = EEN ^T + B ^T

Oplossing:

LHS

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Dus,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

RHS

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

En,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Nu,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Daarom,

(A+B) ^T = EEN ^T + B ^T

Veelgestelde vragen over het transponeren van een matrix

Wat is de transpositie van een matrix?

Transponeren van een matrix is ​​een matrix die wordt verkregen door de rijen en kolommen van de matrix uit te wisselen. De transponering van matrix A wordt aangegeven als A^T. Voor een gegeven matrix van orde m×n is de transponering van de matrix van orde n×m.

Wat is de volgorde van de transpositie van een vierkante matrix?

Voor een vierkante matrix verandert de matrixvolgorde niet bij transpoe, dus voor een matrix met de orde n×n is de volgorde van de transpositie ook n×n.

Wat is de opteleigenschap van de transponeermatrix?

Toevoegingseigenschap van transponering van matrix stelt dat de som van twee transponeringsmatrices altijd gelijk is aan de som van de transponering van individuele matrices, dat wil zeggen:

(A+B)′ = A′+B′

Wat is de vermenigvuldigingseigenschap van de transponeermatrix?

Vermenigvuldigingseigenschap van transponering van matrix stelt dat het product van de transponering van twee matrices altijd gelijk is aan het product van de transponering van individuele matrices in omgekeerde volgorde, dat wil zeggen:

(A×B)′ = B′ × A′

Hoe bereken je de transpositie van een matrix?

De transpositie van elke matrix kan eenvoudig worden gevonden door de waarden in de rijen te veranderen met de waarden in de kolommen.