Trigonometrieformules zijn vergelijkingen die de zijden en hoeken van driehoeken met elkaar in verband brengen. Ze zijn essentieel voor het oplossen van een breed scala aan problemen op het gebied van wiskunde, natuurkunde, techniek en andere gebieden.

Hier zijn enkele van de meest voorkomende soorten trigonometrieformules:

• Basisdefinities: Deze formules definiëren de trigonometrische verhoudingen (sinus, cosinus, tangens, enz.) in termen van de zijden van een rechthoekige driehoek.
• De stelling van Pythagoras: Deze stelling relateert de lengtes van de zijden in een rechthoekige driehoek.
• Hoekrelaties: Deze formules hebben betrekking op de goniometrische verhoudingen van verschillende hoeken, zoals som- en verschilformules, dubbele-hoekformules en halve-hoekformules.
• Wederzijdse identiteiten: Deze formules drukken de ene trigonometrische verhouding uit in termen van een andere, zoals sin(θ) = 1/coc(θ).
• Eenheidscirkel: De eenheidscirkel is een grafische weergave van de trigonometrische verhoudingen en kan worden gebruikt om vele andere formules af te leiden.
• Sinuswet en cosinuswet: Deze wetten hebben betrekking op de zijden en hoeken van elke driehoek, niet alleen op rechthoekige driehoeken.

Lees verder om meer te weten te komen over verschillende trigonometrische formules en identiteiten, opgeloste voorbeelden en oefenproblemen.

Inhoudsopgave

• Wat is trigonometrie?
• Overzicht trigonometrieformules
• Basis trigonometrische verhoudingen
• Trigonometrische identiteiten
• Lijst met trigonometrieformules

Wat is trigonometrie?

Trigonometrie wordt gedefinieerd als een tak van de wiskunde die zich richt op de studie van relaties met lengtes en hoeken van driehoeken. Trigonometrie bestaat uit verschillende soorten problemen die kunnen worden opgelost met behulp van trigonometrische formules en identiteiten.

Trigonometriefuncties

Trigonometrische functies zijn wiskundige functies die de hoeken van een rechthoekige driehoek in verband brengen met de lengtes van de zijden. Ze hebben brede toepassingen op verschillende gebieden, zoals natuurkunde, techniek, astronomie en meer. De primaire trigonometrische functies omvatten sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans en cosecans.

Overzicht trigonometrieformules

Trigonometrieformules zijn wiskundige uitdrukkingen die de hoeken en zijden van a met elkaar in verband brengen Rechte driehoek . Er zijn 3 zijden een rechthoekige driehoek is gemaakt van:

• Hypotenusa : Dit is de langste zijde van een rechthoekige driehoek.
• Loodrecht/tegenovergestelde kant : Het is de zijde die een rechte hoek vormt ten opzichte van de gegeven hoek.
• Baseren : De basis verwijst naar de aangrenzende zijde waar zowel de hypotenusa als de tegenoverliggende zijde met elkaar zijn verbonden.

Trigonometrieverhouding

Alle goniometrische verhoudingen, productidentiteiten, halve hoekformules, dubbele hoekformules, som- en verschilidentiteiten, cofunctie-identiteiten, een teken van verhoudingen in verschillende kwadranten, enz. worden hier kort gegeven voor de leerlingen van klas 9, 10, 11, 12 .

hoe muziek downloaden

Hier is de lijst met formules in trigonometrie die we gaan bespreken:

• Basisformules voor trigonometrische verhoudingen
• Eenheidscirkelformules
• Trigonometrische identiteiten

Basis trigonometrische verhoudingen

Er zijn 6 verhoudingen in trigonometrie. Deze worden trigonometrische functies genoemd. Hieronder vindt u de lijst met trigonometrische verhoudingen , inclusief sinus, cosinus, secans, cosecans, tangens en cotangens.

Eenheidscirkelformule in trigonometrie

Voor een eenheidscirkel, waarvan de straal gelijk is aan 1, i is de hoek. De waarden van de hypotenusa en de basis zijn gelijk aan de straal van de eenheidscirkel.

Hypotenusa = aangrenzende zijde (basis) = 1

De verhoudingen van trigonometrie worden gegeven door:

• zonde θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• bruin θ = y/x
• kinderbedje θ = x/y
• sec θ = 1/x
• cosec θ = 1/j

Trigonometrische functiesdiagram

Trigonometrische identiteiten

De relatie tussen trigonometrische functies wordt uitgedrukt via trigonometrische identiteiten, soms trig-identiteiten of trig-formules genoemd. Ze blijven waar voor alle reële getalswaarden van de toegewezen variabelen erin.

• Wederzijdse identiteiten
• Pythagoras identiteiten
• Periodiciteit Identiteiten (in radialen)
• Even en oneven hoekformule
• Cofunctie-identiteiten (in graden)
• Som- en verschil-identiteiten
• Dubbele hoekidentiteiten
• Inverse trigonometrieformules
• Drievoudige hoekidentiteiten
• Halve hoekidentiteiten
• Som op naar productidentiteiten
• Productidentiteiten

Laten we deze identiteiten in detail bespreken.

Wederzijdse identiteiten

Alle wederzijdse identiteiten worden verkregen met behulp van een rechthoekige driehoek als referentie. Wederzijdse identiteiten zijn als volgt:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• kinderbed θ = 1/bruin θ
• zonde θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sec θ
• bruin θ = 1/kinderbedje θ

Pythagoras identiteiten

Volgens de stelling van Pythagoras geldt dat als ‘c’ in een rechthoekige driehoek de hypotenusa is en ‘a’ en ‘b’ de twee benen zijn, dan c2 = a2 + b2. We kunnen identiteiten van Pythagoras verkrijgen met behulp van deze stelling en trigonometrische verhoudingen. We gebruiken deze identiteiten om de ene trig-ratio in de andere om te zetten .

• zonder²θ + cos²θ = 1
• 1+zo²θ = sec²i
• 1 + kinderbed²θ = cosec²i

Trigonometrie formules grafiek

Periodiciteit Identiteiten (in radialen)

Deze identiteiten kunnen worden gebruikt om de hoeken te verschuiven met π/2, π, 2π, enz. Deze worden ook wel co-functie-identiteiten genoemd.

Alle trigonometrische identiteiten herhalen zich na een bepaalde periode. Ze zijn dus cyclisch van aard. Deze periode voor de herhaling van waarden is verschillend voor verschillende trigonometrische identiteiten.

• zonde (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = zonde A
• zonde (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – zonde A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = zonde A
• zonde (π – A) = zonde A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = zonde A & cos (2π + A) = cos A

Hier is een tabel waarin de trigonometrische eigenschappen in verschillende kwadranten worden vergeleken:

Even en oneven hoekformule

De formules voor even en oneven hoeken, ook bekend als even-oneven identiteiten, worden gebruikt om trigonometrische functies van negatieve hoeken uit te drukken in termen van positieve hoeken. Deze trigonometrische formules zijn gebaseerd op de eigenschappen van even en oneven functies.

• zonde(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• bruin(-θ) = -tanθ
• kinderbed(-θ) = -kinderbedθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Cofunctie-identiteiten (in graden)

Cofunctie-identiteiten geven ons de onderlinge relatie tussen verschillende trigonometrische functies. De cofuncties worden hier in graden weergegeven:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = zonde x
• bruin(90°−x) = kinderbed x
• kinderbed(90°−x) = bruin x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Som- en verschil-identiteiten

De som- en verschilidentiteiten zijn de formules die de sinus, cosinus en tangens van de som of het verschil van twee hoeken relateren aan de sinussen, cosinussen en raaklijnen van de individuele hoeken.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dubbele hoekidentiteiten

Dubbele hoekidentiteiten zijn de formules die trigonometrische functies van hoeken uitdrukken die het dubbele zijn van de maat van een gegeven hoek in termen van de trigonometrische functies van de oorspronkelijke hoek.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – zonder²(x) = [(1 – bruin²x)/(1 + bruin²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(X)
• bruin (2x) = [2tan(x)]/ [1 – bruin²(X)]
• sec (2x) = sec²x/(2 – sec²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Inverse trigonometrieformules

Formules voor inverse trigonometrie hebben betrekking op de inverse trigonometrische functies, die de inverse zijn van de basistrigonometrische functies. Deze formules worden gebruikt om de hoek te vinden die overeenkomt met een gegeven trigonometrische verhouding.

• zonder ^-1 (–x) = – zonde ^-1 X
• want ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• Dus ^-1 (–x) = – dus ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• sec ^-1 (–x) = π – sec ^-1 X
• kinderbed ^-1 (–x) = π – kinderbed ^-1 X

Drievoudige hoekidentiteiten

Drievoudige hoekidentiteiten zijn formules die worden gebruikt om trigonometrische functies van drievoudige hoeken (3θ) uit te drukken in termen van de functies van enkele hoeken (θ). Deze goniometrische formules zijn nuttig voor het vereenvoudigen en oplossen van goniometrische vergelijkingen waarbij drievoudige hoeken betrokken zijn.

zonde 3x=3zonde x – 4zonde ³ X

YouTube-video's downloaden met vlc

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Halve hoekidentiteiten

Halve-hoekidentiteiten zijn die trigonometrische formules die worden gebruikt om de sinus, cosinus of tangens van de helft van een gegeven hoek te vinden. Deze formules worden gebruikt om goniometrische functies van halve hoeken uit te drukken in termen van de oorspronkelijke hoek.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Ook,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

discrete wiskundige ontkenning

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Som op naar productidentiteiten

Sum to Product-identiteiten zijn de goniometrische formules die ons helpen om sommen of verschillen van goniometrische functies uit te drukken als producten van goniometrische functies.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + gezellig = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − gezellig = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Productidentiteiten

Productidentiteiten, ook wel product-naar-som-identiteiten genoemd, zijn de formules die de uitdrukking mogelijk maken van producten van goniometrische functies als sommen of verschillen van goniometrische functies.

Deze trigonometrische formules zijn afgeleid van de som- en verschilformules voor sinus en cosinus.

• sinx⋅gezellig = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅gezellig = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Lijst met trigonometrieformules

De onderstaande tabel bestaat uit fundamentele trigonometrieverhoudingen voor hoeken zoals 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° en 90 ° die gewoonlijk worden gebruikt voor het oplossen van problemen.

Opgeloste vragen over de trigonometrieformule

Hier zijn enkele opgeloste voorbeelden van trigonometrieformules om u te helpen de concepten beter te begrijpen.

Vraag 1: Als cosec θ + kinderbed θ = x, zoek dan de waarde van cosec θ – kinderbed θ, met behulp van de trigonometrieformule.

Oplossing:

cosec θ + kinderbedje θ = x

Dat weten we²θ+ kinderbed²θ = 1

(cosec θ -kinderbed θ)( cosec θ+ kinderbed θ) = 1

(cosec θ -kinderbed θ) x = 1

cosec θ -kinderbed θ = 1/x

Vraag 2: Laat met trigonometrische formules zien dat tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Oplossing:

We hebben,

L.H.S= bruin 10 ° dus 15 ° dus 75 ° dus 80 °

= bruin(90-80) ° dus 15 ° bruin(90-15) ° dus 80 °

= kinderbedje 80 ° dus 15 ° kinderbedje 15 ° dus 80 °

=(kinderbedje 80 ° *dus 80 ° )(kinderbedje 15 ° * dus 15 ° )

= 1 = R.H.S

Vraag 3: Als sin θ cos θ = 8, zoek dan de waarde van (sin θ + cos θ) ² met behulp van de trigonometrieformules.

Oplossing:

(zonde θ + cos θ)²

willekeurige waardegenerator in Java

= zonder²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (zonde θ + cos θ)²= 17

Vraag 4: Bewijs met behulp van goniometrische formules dat (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Oplossing:

L.H.S = (bruin θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(bruin θ + sec θ) – (sec²θ – dus²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Sinds, sec²θ – dus²θ = 1]

Download youtube vlc mediaspeler

= {(bruin θ + sec θ) – (sec θ + bruin θ) (sec θ – bruin θ)}/(bruin θ – sec θ + 1)

= {(bruin θ + sec θ) (1 – sec θ + bruin θ)}/(bruin θ – sec θ + 1)

= {(bruin θ + sec θ) (bruin θ – sec θ + 1)}/(bruin θ – sec θ + 1)

= bruin θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Bewezen.

Veelgestelde vragen over goniometrische formules en identiteiten

Wat is trigonometrie?

Trigonometrie is een tak van de wiskunde die zich richt op de relaties tussen de hoeken en zijden van driehoeken, met name rechthoekige driehoeken.

Wat zijn drie fundamentele trigonometrische verhoudingen?

• Zonde A = Loodrecht/ Hypotenusa
• Cos A= Basis/Hypotenusa
• Geelbruin A= Loodrecht/ Basis

Op welke driehoek zijn goniometrische formules van toepassing?

Trigonometrische formules zijn van toepassing op rechthoekige driehoeken.

Wat zijn de belangrijkste trigonometrische verhoudingen?

Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secans en Cosecans.

Voor welke hoek is de waarde van de tan-ratio gelijk aan de cot-ratio?

Voor de waarde van 45°, tan 45°= kinderbed 45° = 1.

Wat is de formule voor sin3x?

De formule voor sin3x is 3sin x – 4 sin³X.