logo

TechCodeview

Trigonometrische identiteiten

Trigonometrische identiteiten zijn verschillende identiteiten die worden gebruikt om verschillende complexe vergelijkingen met trigonometrische functies te vereenvoudigen. Trigonometrie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de relatie tussen de zijden en hoeken van een driehoek. Deze relaties worden gedefinieerd in de vorm van zes verhoudingen die worden genoemd trigonometrische verhoudingen – sin, cos, tan, kinderbed, sec en cosec.

Op een uitgebreide manier bestudeert men ook de hoeken die de elementen van een driehoek vormen. Logischerwijs een bespreking van de eigenschappen van een driehoek; het oplossen van een driehoek, en fysieke problemen op het gebied van hoogtes en afstanden met behulp van de eigenschappen van een driehoek – het maakt allemaal deel uit van het onderzoek. Het biedt ook een oplossingsmethode voor goniometrische vergelijkingen.



Inhoudsopgave

Wat zijn trigonometrische identiteiten?

Een vergelijking met trigonometrische verhoudingen van een hoek wordt trigonometrische identiteit genoemd als deze geldt voor alle waarden van de hoek. Deze zijn handig wanneer trigonometrische functies betrokken zijn bij een uitdrukking of vergelijking. De zes fundamentele trigonometrische verhoudingen zijn sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans en cotangens . Al deze trigonometrische verhoudingen worden gedefinieerd met behulp van de zijden van de rechthoekige driehoek, zoals een aangrenzende zijde, tegenoverliggende zijde en hypotenusa-zijde.

Trigonometrische identiteiten



Lijst met trigonometrische identiteiten

Er zijn veel identiteiten in de studie van trigonometrie, waarbij alle trigonometrische verhoudingen betrokken zijn. Deze identiteiten worden gebruikt om verschillende problemen in het academische landschap en in het echte leven op te lossen. Laten we alle fundamentele en geavanceerde trigonometrische identiteiten leren.

Wederzijdse trigonometrische identiteiten

In alle trigonometrische verhoudingen bestaat er een wederkerige relatie tussen een paar verhoudingen, die als volgt wordt gegeven:

  • zonde θ = 1/cosec θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • sec θ = 1/cos θ
  • bruin θ = 1/kinderbedje θ
  • kinderbed θ = 1/bruin θ

Trigonometrische identiteiten van Pythagoras

Trigonometrische identiteiten van Pythagoras zijn gebaseerd op de stelling van de rechterdriehoek of de stelling van Pythagoras , en zijn als volgt:



  • zonder2θ + cos2θ = 1
  • 1+zo2θ = sec2i
  • cosec2θ = 1 + kinderbed2i

Lees meer over Trigonometrische identiteiten van Pythagoras .

Trigonometrische verhoudingsidentiteiten

As tan en cot worden gedefinieerd als de verhouding tussen sin en cos, die wordt gegeven door de volgende identiteiten:

  • tan θ = sin θ/cos θ
  • kinderbed θ = cos θ/sin θ

Trigonometrische identiteiten van tegenovergestelde hoeken

Bij trigonometrie wordt de hoek, gemeten met de klok mee, gemeten in negatieve pariteit en worden alle trigonometrische verhoudingen die zijn gedefinieerd voor de negatieve pariteit van de hoek als volgt gedefinieerd:

  • zonde (-θ) = -zonde θ
  • cos (-θ) = cos θ
  • bruin (-θ) = -bruin θ
  • kinderbedje (-θ) = -kinderbedje θ
  • sec (-θ) = sec θ
  • cosec (-θ) = -cosec θ

Complementaire hoekenidentiteiten

Complementaire hoeken zijn het paar hoeken waarvan de afmetingen opgeteld 90 ° bedragen. De goniometrische identiteiten voor complementaire hoeken zijn nu als volgt:

  • sin (90° – θ) = cos θ
  • cos (90° – θ) = zonde θ
  • bruin (90° – θ) = kinderbed θ
  • kinderbedje (90° – θ) = bruin θ
  • sec (90° – θ) = cosec θ
  • cosec (90° – θ) = sec θ

Aanvullende hoekenidentiteiten

Aanvullende hoeken zijn het paar hoeken waarvan de afmetingen opgeteld 180° bedragen. De trigonometrische identiteiten voor aanvullende hoeken zijn nu:

  • zonde (180°- θ) = zondeθ
  • cos (180°- θ) = -cos θ
  • cosec (180°- θ) = cosec θ
  • sec (180°- θ)= -sec θ
  • bruin (180°- θ) = -bruin θ
  • kinderbedje (180°- θ) = -kinderbedje θ

Periodiciteit van trigonometrische functie

Trigonometrische functies zoals sin, cos, tan, cot, sec en cosec zijn allemaal periodiek van aard en hebben een verschillende periodiciteit. De volgende identiteiten voor de trigonometrische verhouding verklaren hun periodiciteit.

  • zonde (n × 360° + θ) = zonde θ
  • zonde (2nπ + θ) = zonde θ
  • cos (n × 360° + θ) = cos θ
  • cos (2nπ + θ) = cos θ
  • bruin (n × 180° + θ) = bruin θ
  • bruinen (nπ + θ) = bruinen θ
  • cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
  • cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  • sec (n × 360° + θ) = sec θ
  • sec (2nπ + θ) = sec θ
  • kinderbed (n × 180° + θ) = kinderbed θ
  • kinderbedje (nπ + θ) = kinderbedje θ

Waar, n ∈ MET, (Z = verzameling van alle gehele getallen)

Opmerking: sin, cos, cosec en sec hebben een periode van 360° of 2π radialen, en voor tan en cot is de periode 180° of π radialen.

Som- en verschil-identiteiten

Trigonometrische identiteiten voor som en verschil van de hoek omvatten de formules zoals sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), enz.

  • zonde (A+B) = zonde A cos B + cos A zonde B
  • zonde (A-B) = zonde A cos B – cos A zonde B
  • cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
  • bruin (A+B) = (bruin A + bruin B)/(1 – bruin A bruin B)
  • bruin (A-B) = (bruin A – bruin B)/(1 + bruin A bruin B)

Opmerking: Identiteiten voor sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) en cos (A-B) worden genoemd De identiteiten van Ptolemaeus .

Dubbele hoekidentiteiten

Met behulp van de trigonometrische identiteiten van de som van de hoeken kunnen we een nieuwe identiteit vinden die de dubbele hoekidentiteit wordt genoemd. Om deze identiteiten te vinden, kunnen we A = B in de som van de hoekidentiteiten plaatsen. Bijvoorbeeld,

a we weten het, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Vervang hier A = B = θ aan beide kanten, en we krijgen:

zonde (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

  • zonde 2θ = 2 sinθ cosθ

Op dezelfde manier,

  • cos 2θ = cos 2 θ – zonde 2 θ = 2 cos 2 θ – 1 = 1 – zonde 2 i
  • bruin 2θ = (2tanθ)/(1 – bruin 2 i)

Lees meer over Dubbele hoekidentiteiten .

Formules voor halve hoeken

Met behulp van dubbele-hoekformules kunnen halve-hoekformules worden berekend. Om formules voor een halve hoek te berekenen, vervangt u θ door θ/2 en vervolgens:

  • sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
  • cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
  • an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Lees meer over Halve hoekidentiteiten .

Nog wat Half Angle-identiteiten

Afgezien van de bovengenoemde identiteiten, zijn er nog enkele halve-hoekidentiteiten die als volgt zijn:

  • sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
  • cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
  • an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Product-Som-identiteiten

De volgende identiteiten geven de relatie weer tussen de som van twee goniometrische verhoudingen en het product van twee goniometrische verhoudingen.

  • sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
  • cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Productidentiteiten

Productidentiteiten worden gevormd wanneer we twee van de som en het verschil van hoekidentiteiten optellen en zijn als volgt:

  • sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
  • cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
  • sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Drievoudige hoekformules

Behalve formules voor dubbele en halve hoeken, zijn er identiteiten voor goniometrische verhoudingen die zijn gedefinieerd voor drievoudige hoeken. Deze identiteiten zijn als volgt:

  • sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
  • cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
  • cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Lees meer over Drievoudige hoekidentiteiten .

Bewijs van de trigonometrische identiteiten

Bewijs dat voor elke scherpe hoek θ

  1. tanθ = sinθ/cosθ
  2. cotθ = cosθ/sinθ
  3. tanθ. kinderbedθ = 1
  4. zonder 2 θ + cos 2 θ = 1
  5. 1+zo 2 θ = sec 2 i
  6. 1 + kinderbed 2 θ = cosec 2 i

Bewijs:

Beschouw een rechthoekige △ABC waarin ∠B = 90°

Stel dat AB = x eenheden, BC = y eenheden en AC = r eenheden.

Rechthoekige driehoek met scherpe hoek Theta

Dan,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ. kinderbedθ = 1

Dan hebben we dat volgens de stelling van Pythagoras

X2+ en2= r2.

Nu,

(4) zonder2θ + cos2θ = (j/r)2+ (x/r)2= (en2/R2+x2/R2)

= (x2+ en2)/R2= r2/R2= 1 [x2+ en2= r2]

zonder 2 θ + cos 2 θ = 1

(5) 1+zo2θ = 1 + (y/x)2= 1 + j2/X2= (en2+x2)/X2= r2/X2[X2+ en2= r2]

(r/x)2= sec2i

∴ 1 + bruin 2 θ = sec 2 i.

(6) 1 + kinderbed2θ = 1 + (x/y)2= 1 +x2/En2= (x2+ en2)/En2= r2/En2[X2+ en2= r2]

(R2/En2) = cosec2i

∴ 1 + kinderbed 2 θ = cosec 2 i

Relatie tussen hoeken en zijden van een driehoek

Drie regels die de zijden van driehoeken in verband brengen met de binnenhoeken van driehoeken zijn:

  • Zijn regel
  • Cosinusregel
  • Tangent-regel

Als een driehoek ABC met zijden a, b en c zijden zijn die tegenovergesteld zijn aan respectievelijk ∠A, ∠B en ∠C, dan

Zijn regel

Zijn regels geeft de relatie weer tussen de zijden en de hoeken van de driehoek, namelijk de verhouding tussen de zijde en de sinus van de hoek tegenovergesteld aan de zijde, blijft altijd hetzelfde voor alle hoeken en zijden van de driehoek en wordt als volgt gegeven:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Cosinusregel

Cosinusregel omvat alle zijden, en één binnenhoek van de driehoek wordt als volgt gegeven:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

OF

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

OF

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangent-regel

  • De raaklijnregel geeft ook de relatie aan tussen de zijkanten en de binnenhoek van een driehoek, met behulp van de tan goniometrische verhouding, die als volgt is:
  • old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
  • old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
  • old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Lees ook

  • Trigonometrie Hoogte en afstand
  • Trigonometrische tabel

Opgelost voorbeeld van goniometrische identiteiten

Voorbeeld 1: Bewijs dat (1 – sin 2 θ) sec 2 θ = 1

Oplossing:

We hebben:

LHS = (1 – zonde2θ) sec2i

= co2θ. sec2i

= co2θ. (1/cos2i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Dus bewezen]

Voorbeeld 2: Bewijs dat (1 + tan 2 θ) cos 2 θ = 1

Oplossing:

We hebben:

LHS = (1 + bruin2θ)cos2i

⇒ LHS = sec2θ. want2i

⇒ LHS = (1/cos2θ). want2i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Dus bewezen]

Voorbeeld 3: Bewijs dat (cosec 2 θ – 1) bruin²θ = 1

Oplossing:

We hebben:

LHS = (cosec²θ – 1) bruin2i

⇒ LHS = (1 + kinderbed2θ – 1) dus2i

⇒ LHS = kinderbed2θ. Dus2i

⇒ LHS = (1/tan2θ). Dus2i

wanneer kwam win 7 uit

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Dus bewezen]

Voorbeeld 4: Bewijs dat (sec 4 θ – sec 2 θ) = (bruin 2 θ + bruin 4 i)

Oplossing:

We hebben:

LHS = (sec4θ – sec2i)

⇒ LHS = sec2θ(sec2ik – 1)

⇒ LHS = (1 + bruin2θ) (1 + bruin2ik – 1)

⇒ LHS = (1 + bruin2θ) dus2i

⇒ LHS = (bruin2θ + bruin4θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Dus bewezen]

Voorbeeld 5: Bewijs dat √(sec 2 θ + cosec 2 θ) = (tanθ + kinderbedθ)

Oplossing:

We hebben:

LHS = √(sec2θ + cosec2θ ) = √((1 + bruin2ik) + (1 + kinderbed2i))

⇒ LHS = √(bruin2θ + kinderbed2ik + 2)

⇒ LHS = √(bruin2θ + kinderbed2θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ .cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + kinderbedθ)2

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [daarom bewezen]

Oefenvragen over goniometrische identiteiten

Vraag 1: Vereenvoudig de uitdrukkingfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Vraag 2: Bewijs de identiteit tan (x) . kinderbed(x) = 1.

Vraag 3: Laat zienfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Vraag 4: Makkelijker makensin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Vraag 5: Bewijs de identiteitcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Vraag 6: Makkelijker makenfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Vraag 7: Bewijs de identiteitsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Veelgestelde vragen over goniometrische identiteiten

Wat is trigonometrische identiteit?

Trigonometrische identiteit is een vergelijking die verschillende trigonometrische functies met elkaar in verband brengt, zoals sin, cos, tan, cot, sec en cosec.

Hoe trigonometrische identiteiten te bewijzen?

Er zijn verschillende methoden om trigonometrische identiteiten te bewijzen. Eén van deze methoden is het gebruik van de zes belangrijkste trigonometrische bekende identiteiten om een ​​uitdrukking in een andere vorm te herschrijven. Net als elk ander bewijs werken we met één kant om tot een uitdrukking te komen die identiek is aan de andere kant van de vergelijking.

Hoeveel trigonometrische identiteiten zijn er?

Er zijn veel trigonometrische identiteiten, aangezien elke identiteit met enige variatie ook nog steeds een identiteit kan zijn. Daarom kunnen we niet precies zeggen hoeveel identiteiten er zijn.

Hoe onthoud je alle trigonometrische identiteiten?

De eenvoudigste methode om alle identiteiten te onthouden is door problemen te oefenen die verband houden met de identiteit. Elke keer dat je een probleem oplost met behulp van een bepaalde identiteit, herzie je die identiteit en uiteindelijk zal het een tweede natuur voor je worden.

Schrijf de drie belangrijkste goniometrische functies op.

Drie hoofdfuncties die in trigonometrie worden gebruikt, zijn sinus, cosinus en tangens.
sin θ = Loodrecht/ Hypotenusa
cos θ = Basis/Hypotenusa
tan θ = Loodrecht/Basis

Wat is de stelling van Pythagoras?

De stelling van Pythagoras stelt dat in een rechthoekige driehoek met zijden als Hypotenusa (H), Loodrecht (P) en Basis (B) de relatie daartussen wordt gegeven door:

(H) 2 = (P) 2 + (B) 2

Schrijf het gebruik van goniometrische identiteiten op.

Trigonometrische identiteiten worden gebruikt voor het oplossen van verschillende problemen met complexe trigonometrische functies. Ze worden gebruikt voor het berekenen van golfvergelijkingen, de vergelijking van de harmonische oscillator, het oplossen van geometrische vragen en andere problemen.

Schrijf acht fundamentele trigonometrische identiteiten.

Acht fundamentele identiteiten in trigonometrie zijn:

  • zonde θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • bruin θ = 1/kinderbedje θ
  • zonder2θ + cos2θ = 1
  • tanθ = sinθ/cos θ
  • 1+ dus2θ = sec2i
  • kinderbed θ = cosθ/sinθ
  • 1+ kinderbed2θ = cosec2i