Trigonometrische substitutie is een van de substitutiemethoden voor integratie waarbij een functie of uitdrukking in de gegeven integraal wordt vervangen door trigonometrische functies zoals sin, cos, tan, enz. Integratie door substitutie is een gemakkelijkste substitutiemethode.

Het wordt gebruikt wanneer we een functie vervangen waarvan de afgeleide al is opgenomen in de gegeven integrale functie. Hierdoor wordt de functie vereenvoudigd en wordt een eenvoudige integrale functie verkregen die we gemakkelijk kunnen integreren. Het is ook bekend als u-substitutie of de omgekeerde ketenregel. Met andere woorden: met deze methode kunnen we eenvoudig integralen en primitieve waarden evalueren.

Trigonometrische vervanging

Wat is trigonometrische substitutie?

Trigonometrische substitutie is een proces waarbij de vervanging van een trigonometrische functie door een andere uitdrukking plaatsvindt. Het wordt gebruikt om integralen te evalueren of het is een methode voor het vinden van primitieve functies van functies die vierkantswortels bevatten van kwadratische uitdrukkingen of rationale machten van de vormfrac{p}{2} (waarbij p een geheel getal is) van kwadratische uitdrukkingen. Voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen zijn

({x^2+4})^frac{3}{2} ofsqrt{25-x^2} of enz.

Er kan een beroep worden gedaan op de methode van trigonometrische substitutie wanneer andere, meer gebruikelijke en gemakkelijker te gebruiken integratiemethoden hebben gefaald. Bij trigonometrische substitutie wordt ervan uitgegaan dat u bekend bent met standaard trigonometrische identiteiten, het gebruik van differentiële notatie, integratie met behulp van u-substitutie en de integratie van trigonometrische functies.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Hier zullen we enkele belangrijke formules bespreken, afhankelijk van de functie die we moeten integreren. We vervangen een van de volgende trigonometrische uitdrukkingen om de integratie te vereenvoudigen:

∫cosx dx = sinx + C

xampp-alternatief

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Lees gedetailleerd: Calculus in wiskunde

Wanneer moet u trigonometrische substitutie gebruiken?

We gebruiken trigonometrische substitutie in de volgende gevallen:

Hoe kan ik de trigonometrische substitutiemethode toepassen?

We kunnen de trigonometrische substitutiemethode toepassen zoals hieronder besproken,

Integraal met een²- X²

Laten we een voorbeeld bekijken van de integraal waarbij a betrokken is²- X².

Voorbeeld: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Laten we zeggen: x = een zondeθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Dus ik =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ Ik =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ Ik =int 1. d heta

⇒ ik = θ + c

Omdat x = een zondeθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Ik =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integraal met x ² + een ²

Laten we een voorbeeld bekijken van de integraal waarbij x betrokken is²+ een².

Voorbeeld: Zoek de integraal old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Laten we x = a tanθ stellen

⇒ dx = a sec2θ dθ, krijgen we

Dus ik =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ Ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ Ik =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ Ik =frac{1}{a} heta + c

Zoals, x = een tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ Ik =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integraal met een ² +x ² .

Laten we een voorbeeld bekijken van de integraal waarbij a betrokken is²+x².

Voorbeeld: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Laten we zeggen: x = a tanθ

⇒ dx = een seconde²θ dθ

Dus ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ Ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ Ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ Ik =int sechspace{0.1cm} heta d heta

'abc' is in cijfers'

⇒ Ik =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Ik =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

subtekenreeks java

⇒ Ik =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Ik =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integraal met x ² - A ² .

Laten we een voorbeeld bekijken van de integraal waarbij x betrokken is²- A².

Voorbeeld: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Laten we zeggen: x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Dus ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ Ik =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ Ik =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Ik =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ Ik =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ Ik =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ Ik = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ Ik =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Lees verder,

• Integratieformules
• Integratie door vervanging
• Integratie door onderdelen

Voorbeeldproblemen bij trigonometrische substitutie

Probleem 1: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Als we 5 gemeen hebben in de noemer,

⇒ Ik =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Ik =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Volgens stelling 1 is a =frac{3}{5}

⇒ Ik =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ Ik =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Probleem 2: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Neem √2 gemeen in de noemer,

⇒ Ik = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Ik =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Volgens stelling 1 is a = 2

⇒ Ik =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ Ik =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Probleem 3: Vind de integraal van old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Door te herschikken, krijgen we

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Hierbij nemen we a = 3 en x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Door deze waarden te vervangen,

ik =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Ik =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ Ik =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ IK = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ IK = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Laten we nemen,

u = cosθ

⇒ du = -sin θ dθ

Als we deze waarden vervangen, krijgen we

⇒ IK = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ Ik = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ Ik = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ Ik = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Zoals, u = cos θ en x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ naar =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

char naar int java

⇒ naar =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Daarom I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ Ik = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Probleem 4: Vind de integraal van old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Nemen we 9 gemeen in de noemer,

ik =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ Ik =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Volgens stelling 2 geldt a =frac{2}{3}

⇒ Ik =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ Ik =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Probleem 5: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Oplossing:

Als we 4 gemeen hebben in de noemer,

ik =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ Ik =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Volgens stelling 3 geldt a =frac{5}{4}

⇒ Ik =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ Ik =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ Ik =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ Ik =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Probleem 6: Vind de integraal van old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Oplossing:

Als we 2 gemeen hebben in de noemer,

ik =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

ik =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Volgens stelling 4 geldt a =frac{3}{2}

ik =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

ik =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

ik =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

ik =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

ik =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Probleem 7: Vind de integraal van old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Oplossing:

Na herschikking krijgen we

ik =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

ik =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

ik =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

ik =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Volgens stelling 2 hebben we dat

x = x-frac{1}{2} en een =frac{sqrt{3}}{2}

ik =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

ik =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrische vervanging – Veelgestelde vragen

Wat is trigonometrische substitutie?

Trigonometrische substitutie is een integratietechniek die wordt gebruikt om integralen op te lossen met uitdrukkingen met radicalen en vierkantswortels zoals √(x²+ een²), √(een²+x²), en √(x²- A²).

Wanneer moet ik trigonometrische vervanging gebruiken?

Trigonometrische substitutie is handig als u een integraal hebt die betrekking heeft op een worteluitdrukking, vooral als de worteluitdrukking een kwadratische term bevat.

Wat zijn de drie trigonometrische substituties die vaak worden gebruikt in integralen?

De drie veelgebruikte trigonometrische vervangingen zijn:

• Vervang x = een sin θ als de radicale uitdrukking een term van de vorm a bevat²- X².
• Vervang x = a tan θ wanneer de radicaaluitdrukking een term van de vorm x bevat²- A².
• Vervang x = a sec θ wanneer de radicale uitdrukking een term van de vorm x bevat²+ een².

Hoe kiest iemand welke trigonometrische substitutie hij moet gebruiken?

U moet de trigonometrische substitutie kiezen op basis van de vorm van de worteluitdrukking. Als de radicale uitdrukking een term bevat van de vorm a^2 – x^2, gebruik dan x = a sin θ. Als de radicale uitdrukking een term bevat van de vorm x^2 – a^2, gebruik dan x = a tan θ. Als de radicale uitdrukking een term bevat van de vorm x^2 + a^2, gebruik dan x = a sec θ.

middelste afbeelding in css