Integratie per onderdelen: Integratie door delen is een techniek die in de calculus wordt gebruikt om de integraal van het product van twee functies te vinden. Het is in wezen een omkering van de productregel voor differentiatie.

Het integreren van een functie is niet altijd gemakkelijk. Soms moeten we een functie integreren die het veelvoud is van twee of meer functies. Als we de integratie moeten vinden, moeten we het integratie-per-deel-concept gebruiken, dat twee producten van twee functies gebruikt en vertelt ons hoe we hun integratie kunnen vinden.

Laten we er nu meer over leren Integratie per deel, de formule, afleiding en andere in detail in dit artikel.

Wat is partiële integratie?

Integratie per deel is de techniek die wordt gebruikt om de integratie te vinden van het product van twee of meer functies waarbij de integratie niet kan worden uitgevoerd met behulp van normale technieken. Stel dat we twee functies f(x) en g(x) hebben en we moeten de integratie van hun product vinden, d.w.z. ∫ f(x).g(x) dx waarbij het niet mogelijk is om het product van dit product verder op te lossen f(x).g(x).

Deze integratie wordt bereikt met behulp van de formule:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

waarbij f'(x) de eerste differentiatie van f(x) is.

Deze formule wordt gelezen als:

Integratie van de eerste functie vermenigvuldigd met de tweede functie is gelijk aan (Eerste functie) vermenigvuldigd met (integratie van tweede functie) – Integratie van (differentiatie van eerste functie vermenigvuldigd met integratie van tweede functie).

Uit de bovenstaande formule kunnen we gemakkelijk opmaken dat het kiezen van de eerste functie en de tweede functie erg belangrijk is voor het succes van deze formule, en hoe we de eerste functie en de tweede functie kiezen, wordt verder in dit artikel besproken.

Wat is gedeeltelijke integratie?

Gedeeltelijke integratie, ook wel delenintegratie genoemd, is een techniek die in de calculus wordt gebruikt om de integraal van een product van twee functies te evalueren. De formule voor gedeeltelijke integratie wordt gegeven door:

∫ u dv = uv – ∫ v du

waarbij u en v differentieerbare functies van x zijn. Met deze formule kunnen we de integraal van een product vereenvoudigen door het op te splitsen in twee eenvoudiger integralen. Het idee is om u en dv zo te kiezen dat de nieuwe integraal aan de rechterkant gemakkelijker te evalueren is dan de originele integraal aan de linkerkant. Deze techniek is vooral handig bij het omgaan met producten van functies die geen eenvoudige primitieve woorden hebben.

Geschiedenis van gedeeltelijke integratie

Het concept van integratie per deel werd voor het eerst voorgesteld door de beroemde Brook Taylor in zijn boek uit 1715. Hij schreef dat we de integratie kunnen vinden van het product van twee functies waarvan de differentiatieformules bestaan. Sommige belangrijke functies hebben geen integratieformules en hun integratie wordt bereikt met behulp van integratie door ze te gebruiken als een product van twee functies. ∫ln x dx kan bijvoorbeeld niet worden berekend met behulp van normale integratietechnieken. Maar we kunnen het integreren met behulp van de Integratie per deel-techniek en het beschouwen als een product van twee functies, namelijk ∫1.ln x dx.

Integratie per onderdelenformule

De formule voor integratie per delen is de formule die ons helpt de integratie van het product van twee of meer functies te bereiken. Stel dat we het product van twee functies moeten integreren als

∫u.v dx

waar u en v de functies van x zijn, dan kan dit worden bereikt met behulp van,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

De volgorde waarin de eerste functie en de tweede functie worden gekozen, is erg belangrijk en het concept dat in de meeste gevallen wordt gebruikt om de eerste functie en de tweede functie te vinden, is het ILATE-concept.

Met behulp van de bovenstaande formule en het ILATE-concept kunnen we gemakkelijk de integratie van het product van twee functies vinden. De formule voor integratie per onderdeel wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding,

Afleiding van integratie door onderdelenformule

Integration By Parts Formula wordt afgeleid met behulp van de productregel van differentiatie. Stel dat we twee functies hebben in En in en x, dan wordt de afgeleide van hun product bereikt met behulp van de formule,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nu gaan we de formule voor integratie per delen afleiden met behulp van de productdifferentiatieregel.

De voorwaarden herschikken

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Beide zijden integreren met betrekking tot x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

nat versus bed

vereenvoudigen,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Zo wordt de formule voor integratie door delen afgeleid.

iPhone-emoji's op Android

ILATE-regel

De ILATE-regel vertelt ons hoe we de eerste functie en de tweede functie moeten kiezen bij het oplossen van de integratie van het product van twee functies. Stel dat we twee functies hebben van x u en v en we moeten de integratie van hun product vinden, dan kiezen we de eerste functie en de by ILATE-regel.

Het volledige ILATE-formulier wordt besproken in de onderstaande afbeelding,

ILATE Regel van gedeeltelijke integratie

De ILATE-regels geven ons de hiërarchie van het nemen van de eerste functie, dat wil zeggen als in het gegeven product van de functie één functie een logaritmische functie is en een andere functie een trigonometrische functie. Nu nemen we de logaritmische functie als de eerste functie zoals deze hierboven in de hiërarchie van de ILATE-regel voorkomt, we kiezen de eerste en tweede functie dienovereenkomstig.

OPMERKING: Het is niet altijd gepast om de ILATE-regel te gebruiken. Soms worden ook andere regels gebruikt om de eerste functie en de tweede functie te vinden.

Hoe vind je integratie per onderdeel?

Integratie per deel wordt gebruikt om de integratie van het product van twee functies te vinden. We kunnen dit bereiken met behulp van de hieronder besproken stappen,

Stel dat we ∫uv dx moeten vereenvoudigen

Stap 1: Kies de eerste en de tweede functie volgens de ILATE-regel. Stel dat we u als eerste functie nemen en v als tweede functie.

Stap 2: Differentieer u(x) met betrekking tot x, dat wil zeggen: Evalueer du/dx.

Stap 3: Integreer v(x) met betrekking tot x, dat wil zeggen: Evalueer ∫v dx.

Gebruik de resultaten verkregen in stap 1 en stap 2 in de formule,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Stap 4: Vereenvoudig de bovenstaande formule om de vereiste integratie te verkrijgen.

Herhaalde integratie per onderdelen

Herhaalde integratie door delen is een uitbreiding van de techniek van integratie door delen in calculus. Het wordt gebruikt als je een product van functies hebt dat meerdere keren moet worden geïntegreerd om de primitief te vinden. Het proces omvat het iteratief toepassen van de formule voor integratie per delen totdat u een punt bereikt waarop de resulterende integraal gemakkelijk te evalueren is of een bekende vorm heeft.

Wanneer u deze formule herhaaldelijk toepast, begint u met een integraal die een product van twee functies omvat, en past u vervolgens integratie in delen toe om deze op te splitsen in eenvoudiger integralen. Je zou dit proces dan voortzetten op de resulterende integralen totdat je een punt bereikt waarop verdere toepassingen niet meer nodig zijn of waar de integralen beheersbaar worden.

Hier is een stapsgewijs voorbeeld van hoe herhaalde integratie in delen werkt:

1. Begin met een integraal van een product van twee functies: ∫ u dv.
2. Pas de formule voor integratie per delen toe om het volgende te verkrijgen: uv – ∫ v du.
3. Als de nieuwe integraal die aan de rechterkant wordt verkregen nog steeds een product van functies betreft, pas dan opnieuw partiële integratie toe om deze verder op te splitsen.
4. Ga door met dit proces totdat u een eenvoudiger integraal verkrijgt die gemakkelijk kan worden geëvalueerd of een integraal die overeenkomt met een bekende integraalvorm.

Tabellarische integratie per onderdelen

Integratie in tabelvorm, ook bekend als de tabellaire methode of de methode van tabellaire integratie, is een alternatieve techniek voor het evalueren van integralen waarbij herhaalde integratie door delen wordt toegepast. Deze methode is vooral handig bij het omgaan met integralen waarbij het product van functies meerdere keren kan worden geïntegreerd om tot een eenvoudig resultaat te komen.

De tabellarische methode organiseert het proces van herhaalde integratie per deel in een tabel, waardoor het gemakkelijker wordt om de termen bij te houden en de integraal efficiënt te vereenvoudigen. Zo werkt de tabellarische methode:

1. Begin met het noteren van de functies die bij de integraal betrokken zijn, in twee kolommen: één voor de te differentiëren functie (u) en een andere voor de te integreren functie (dv).
   • Begin met de functie om te integreren (dv) in de linkerkolom en de functie om te differentiëren (u) in de rechterkolom.
2. Ga door met het differentiëren van de functie in de u-kolom totdat u nul of een constante bereikt. Integreer bij elke stap de functie in de dv-kolom totdat u een punt bereikt waarop verdere integratie niet nodig is.
3. Vermenigvuldig de termen diagonaal en wissel de tekens (+ en -) af voor elke term. Tel deze producten bij elkaar om het resultaat van de integratie te vinden.

Hier is een voorbeeld om de tabellarische integratiemethode :

Laten we de integraal ∫x sin(x) dx evalueren.

• Stap 1: Maak een tabel met twee kolommen voor u (functie om te differentiëren) en dv (functie om te integreren):

• Stap 2: Differentieer de functie in de u-kolom en integreer de functie in de dv-kolom:

• Stap 3: Vermenigvuldig de termen diagonaal en wissel de tekens af:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Dus het resultaat van de integraal ∫x sin(x)dx is -x cos(x) + sin(x).

De tabellarische integratiemethode is vooral handig bij het omgaan met integralen waarbij functies betrokken zijn die zich herhalen bij differentiatie of integratie, waardoor een systematische en georganiseerde aanpak mogelijk is voor het vinden van de primitief.

Toepassingen van integratie door onderdelen

Integratie door onderdelen heeft verschillende toepassingen in de integraalrekening en wordt gebruikt om de integratie van de functie te vinden waar normale integratietechnieken falen. We kunnen de integratie van inverse en logaritmische functies gemakkelijk vinden met behulp van het integratie door delen-concept.

We zullen de integratie van de logaritmische functie en de Arctan-functie vinden met behulp van de regel voor integratie per deel,

Integratie van logaritmische functie (log x)

Integratie van de inverse logaritmische functie (log x) wordt bereikt met behulp van de formule Integratie op deel. De integratie wordt hieronder besproken,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Neem log x als de eerste functie en 1 als de tweede functie.

Met behulp van ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Dat is de vereiste integratie van de logaritmische functie.

Integratie van inverse trigonometrische functie (tan^-1X)

Integratie van inverse trigonometrische functie (tan^-1x) wordt bereikt met behulp van de formule Integratie per onderdeel. De integratie wordt hieronder besproken,

∫ dus^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Bruin worden^-1x als de eerste functie en 1 als de tweede functie.

Met behulp van ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫bruin^-1x.1.dx = bruin^-1x.∫1.dx – ∫((bruin^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫bruin^-1x.1.dx = bruin^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫bruin^-1x.1.dx = x. Dus^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫bruin^-1x.dx = x. Dus^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Dat is de vereiste integratie van de inverse trigonometrische functie.

Real-life toepassingen van gedeeltelijke integratie

Enkele veel voorkomende toepassingen van gedeeltelijke integratie in het echte leven zijn:

levenscyclus van softwareontwikkeling

• Antiderivaten vinden
  • In techniek en natuurkunde wordt gedeeltelijke integratie gebruikt om primitieve waarden te vinden van functies die fysieke grootheden vertegenwoordigen. In de mechanica wordt het bijvoorbeeld gebruikt om bewegingsvergelijkingen af ​​te leiden uit de vergelijkingen van kracht en versnelling.
• Wallis-product
  • Het Wallis-product, een oneindige productrepresentatie van pi, kan worden afgeleid met behulp van gedeeltelijke integratietechnieken. Dit product heeft toepassingen op gebieden zoals getaltheorie, waarschijnlijkheidstheorie en signaalverwerking.
• Gamma-functie-identiteit
  • De gammafunctie, die de faculteitsfunctie uitbreidt tot complexe getallen, heeft verschillende toepassingen in de wiskunde, natuurkunde en techniek. Gedeeltelijke integratie wordt gebruikt om identiteiten te bewijzen waarbij de gammafunctie betrokken is, die cruciaal zijn op gebieden als de waarschijnlijkheidstheorie, statistische mechanica en kwantummechanica.
• Gebruik bij harmonische analyse
  • Gedeeltelijke integratie speelt een belangrijke rol bij harmonische analyse, vooral bij Fourier-analyse. Het wordt gebruikt om eigenschappen van Fourier-transformaties af te leiden, zoals de convolutiestelling en eigenschappen van Fourier-reeksen. Deze resultaten worden toegepast op gebieden als signaalverwerking, beeldanalyse en telecommunicatie.

Integratie door onderdelenformules

We kunnen de integratie van verschillende functies afleiden met behulp van het integratie door delen-concept. Enkele van de belangrijke formules die met deze techniek zijn afgeleid, zijn:

• ∫ en^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ een²).dx = ½ . x.√(x²+ een²)+ een²/2. log|x + √(x²+ een²)| + C
• ∫√(x²- A²).dx =½ . x.√(x²- A²) - A²/2. log|x +√(x²- A²) | C
• ∫√(een²- X²).dx = ½ . x.√(een²- X²) + een²/2. zonder^-1x/a + C

Integratie door onderdelenvoorbeelden

Voorbeeld 1: Zoek ∫ e ^X x dx.

Oplossing:

Laat ik = ∫ e^Xx dx

U en v kiezen met behulp van de ILATE-regel

u = x
v = e^X

Differentiëren u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

Met behulp van de formule Integratie per deel:

⇒ ik = ∫ e^Xx dx

⇒ ik = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ e^Xdx) dx

⇒ Ik = xe^X− en^X+ C

⇒ ik = e^X(x − 1) + C

Voorbeeld 2: Bereken ∫ x sin x dx.

Oplossing:

Stel dat ik = ∫ x zonde x dx

U en v kiezen met behulp van de ILATE-regel

u = x
v = zonde x

Differentiëren u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Met behulp van de formule Integratie per deel:

⇒ ik = ∫ x zonde x dx

⇒ ik = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ ik = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ ik = − x cos x + sin x + C

Voorbeeld 3: Zoek ∫ zonde ⁻¹ x dx.

Java-tupel

Oplossing:

Laat ik= ∫ zondigen⁻¹x dx

⇒ ik = ∫ 1.zonde⁻¹x dx

U en v kiezen met behulp van de ILATE-regel

u = zonde⁻¹X
v = 1

Differentiëren u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(zonde⁻¹x)/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Met behulp van de formule Integratie per deel:

⇒ ik = ∫ zonde⁻¹x dx

wanneer kwam windows 7 uit

⇒ ik = zonder⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ Ik = x zonde⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²)dx

Laat, t = 1 − x²

Beide kanten onderscheiden

dt = −2xdx

⇒ −dt/2 = xdx

⇒ ik = ∫ zonde⁻¹x dx = x zonde⁻¹x − ∫−(1/2√t) dt

⇒ Ik = x zonde⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ Ik = x zonde⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ Ik = x zonde⁻¹x + √(1 − x²) + C

Oefenproblemen met integratie per onderdeel

1. Integreer xe ^X

2. Integreer x sin(x)

3. Integreer x ² ln(x)

4. Integreer e ^X cos(x)

5. Integreer ln(x)

Veelgestelde vragen over integratie per onderdeel

Wat is partiële integratie?

Integratie in delen is de techniek voor het vinden van de integratie van het product van de twee functies waar de normale integratietechnieken falen. Integratie door de deelformule is de,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Wat is de formule voor integratie op basis van onderdelen?

Voor twee functies f(x) en g(x) is de formule voor integratie per deel:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

waar f'(x) is differentiatie van f(x).

Hoe kan ik de formule voor integratie per onderdelen afleiden?

Integratie per deelformule wordt afgeleid met behulp van de productregel van differentiatie.

Waarom gebruiken we de formule voor integratie op onderdelen?

Integratie per deelformule wordt gebruikt om de integratie van de functie te vinden wanneer de normale differentiatietechnieken falen. We kunnen de integratie van inverse trigonometrische functies en logaritmische functies vinden met behulp van de formule Integratie op deel

Wat is de toepassing van partiële integratie?

Integratie per deel heeft verschillende toepassingen en de basistoepassing ervan is dat het wordt gebruikt om de integratie van de functie te vinden wanneer de functie wordt gegeven als het product van de functies die niet verder kunnen worden vereenvoudigd. ∫ f(x).g(x) dx wordt bijvoorbeeld bereikt met behulp van partiële integratie.