logo

TechCodeview

Integratieformules

Integratieformules zijn de basisformules die worden gebruikt om verschillende integrale problemen op te lossen. Ze worden gebruikt om de integratie van algebraïsche uitdrukkingen, trigonometrische verhoudingen, inverse trigonometrische functies en logaritmische en exponentiële functies te vinden. Deze integratieformules zijn erg handig voor het vinden van de integratie van verschillende functies.

Integratie is het omgekeerde proces van differentiatie, d.w.z. als d/dx (y) = z, dan ∫zdx = y. Integratie van elke curve geeft het gebied onder de curve. We vinden de integratie op twee manieren: onbepaalde integratie en definitieve integratie. Bij onbepaalde integratie is er geen limiet aan de integratie, terwijl er bij definitieve integratie een limiet is waaronder de functie wordt geïntegreerd.



Laten we hier meer over leren integrale formules, en hun classificatie, gedetailleerd in dit artikel.

Inhoudsopgave

Integraalrekening

Integrale berekening is een tak van calculus die zich bezighoudt met de theorie en toepassingen van integralen. Het proces van het vinden van integralen wordt integratie genoemd. Integraalrekening helpt bij het vinden van de anti-afgeleiden van een functie. De anti-derivaten worden ook wel de integralen van een functie genoemd. Het wordt aangegeven met ∫f(x)dx. Integraalrekening houdt zich bezig met de totale waarde, zoals lengtes, oppervlakten en volumes. De integraal kan worden gebruikt om benaderende oplossingen te vinden voor bepaalde vergelijkingen van gegeven gegevens. Integraalrekening omvat twee soorten integratie:



  • Onbepaald Integralen
  • Bepaalde integralen

Wat zijn integratieformules?

De integratieformules zijn in grote lijnen gepresenteerd als de volgende sets formules. De formules omvatten basisintegratieformules, integratie van trigonometrische verhoudingen, inverse trigonometrische functies, het product van functies en enkele geavanceerde sets integratieformules. Integratie is een manier om de delen te verenigen om een ​​geheel te vinden. Het is de omgekeerde werking van differentiatie. De basisintegratieformule is dus

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integratieformules



Hiermee worden de volgende integratieformules afgeleid.

De verschillende integraalrekeningformules zijn dat wel

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫xNdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logboekHet is|x| + C
  4. ∫ d.w.zXdx = eX+ C
  5. ∫eenXdx = (eenX/ loggenHet isa) + C

Meer integrale formules worden hieronder in het artikel besproken,

Opmerking:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , waarbij k constant is
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Basisintegratieformules

Enkele van de basisformules van integratie die worden gebruikt om integratieproblemen op te lossen, worden hieronder besproken. Ze worden afgeleid door de fundamentele stelling van integratie. De lijst met fundamentele integraalformules wordt hieronder gegeven:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xNdx = x(n + 1)/(n+1)+C
  • ∫ 1/x dx = logboek |x| + C
  • ∫ enXdx = eX+ C
  • ∫ eenXdx = eenX/log a+ C
  • ∫ enX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {waarbij f'(x) = d/dx[f(x)]}

Classificatie van integrale formules

Integrale formules worden ingedeeld in verschillende categorieën op basis van de volgende functie.

  • Rationele functies
  • Irrationele functies
  • Hyperbolische functies
  • Inverse hyperbolische functies
  • Trigonometrische functies
  • Inverse trigonometrische functies
  • Exponentiële functies
  • Logaritmische functies

Integratieformules van goniometrische functies

Integratieformules van goniometrische functies worden gebruikt om de integraalvergelijkingen met goniometrische functies op te lossen. Hieronder vindt u een lijst met integraalformules met trigonometrische en inverse trigonometrische functies:

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sec2x dx = bruin x + C
  • ∫ cosec2x dx = -kinderbed x + C
  • ∫ sec x bruin x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x kinderbed x dx = -cosec x + C
  • ∫ bruin x dx = log |sec x| +C
  • ∫ kinderbed x dx = log |zonde x| + C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – kinderbed x| + C

Integratieformules van inverse trigonometrische functies

Hieronder worden verschillende integratieformules van inverse trigonometrische functies gegeven die worden gebruikt om integrale vragen op te lossen,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = zonde-1x+C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x+C
  • ∫1/(1 + x2) dx = bruin-1x+C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = kinderbed-1x+C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sec-1x+C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x+C

Geavanceerde integratieformules

Enkele andere geavanceerde integratieformules die van groot belang zijn voor het oplossen van integralen worden hieronder besproken,

  • ∫1/(x2- A2) dx = 1/2a logboek|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(een2- X2) dx =1/2a logboek|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ een2) dx = 1/a bruin-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- A2)dx = logboek |x +√(x2- A2)| + C
  • ∫ √(x2- A2) dx = x/2 √(x2- A2) -A2/2 log |x + √(x2- A2)| + C
  • ∫1/√(een2- X2) dx = zonde-1x/a + C
  • ∫√(een2- X2) dx = x/2 √(een2- X2) dx + een2/2 zonder-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ een2) dx = logboek |x + √(x2+ een2)| + C
  • ∫ √(x2+ een2) dx = x/2 √(x2+ een2)+ een2/2 log |x + √(x2+ een2)| + C

Verschillende integratieformules

Er worden verschillende soorten integratiemethoden gebruikt om verschillende soorten integrale vragen op te lossen. Elke methode is een standaardresultaat en kan als een formule worden beschouwd. Enkele van de belangrijke methoden worden hieronder in dit artikel besproken. Laten we de drie belangrijke integratiemethoden eens bekijken.

  • Integratie via onderdelenformule
  • Integratie door vervangingsformule
  • Integratie door formule voor gedeeltelijke breuken

Integratie via onderdelenformule

Integratie door onderdelen De formule wordt toegepast wanneer de gegeven functie gemakkelijk kan worden omschreven als het product van twee functies. De integratie door delen-formule die in de wiskunde wordt gebruikt, wordt hieronder gegeven:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Voorbeeld: Bereken ∫ xe X dx

Oplossing:

∫ autoXdx heeft de vorm ∫ f(x) g(x) dx

zij f(x) = x en g(x) = eX

we weten dat, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ autoXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= autoX- Het isX+ c

Integratie door vervangingsformule

Integratie door vervangingsformule wordt toegepast wanneer een functie een functie is van een andere functie. d.w.z. laat I = ∫ f(x) dx, waarbij x = g(t) zodat dx/dt = g'(t), dan dx = g'(t)dt

Nu, ik = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Voorbeeld: Evalueer ∫ (4x +3) 3 dx

Oplossing:

Stel u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

converteer tekenreeks naar json-object

= 1/4 ∫(u)3van

= 1/4. in4/5

= jij4/twintig

= 4x+3)4/twintig

Integratie door formule voor gedeeltelijke breuken

Integratie door gedeeltelijke breuken De formule wordt gebruikt wanneer de integraal van P(x)/Q(x) vereist is en P(x)/Q(x) een onechte breuk is, zodat de graad van P(x) kleiner is dan de (<) de graad van Q(x), dan wordt de breuk P(x)/Q(x) geschreven als

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

waar

  • R(x) is een polynoom in x
  • P 1 (x)/ Q(x) is een goede rationele functie

Nu de integratie van R(x) + P1(x)/Q(x) kan eenvoudig worden berekend met behulp van de hierboven besproken formules.

Toepassing van integralen

Integrale formules zijn zeer nuttige formules in de wiskunde die voor verschillende taken worden gebruikt. Verscheidene toepassingen van integralen omvat:

  • Het vinden van de lengte van de curve
  • Zoek het gebied onder de curve
  • Geschatte waarden van de functie zoeken
  • Het pad van een object en andere bepalen
  • Om het gebied onder de curve te vinden
  • Om de oppervlakte en het volume van onregelmatige vormen te vinden
  • Om het massamiddelpunt of het zwaartepunt te vinden

Deze formules zijn in principe onderverdeeld in twee categorieën,

  • Definitieve integratieformules
  • Onbepaalde integratieformules

Definitieve integratieformule

Bepaalde integraalformules worden gebruikt wanneer de limiet van de integratie wordt gegeven. Bij definitieve integratie is de oplossing van de vraag een constante waarde. Over het algemeen wordt de definitieve integratie opgelost als:

∫ A B f(x) dx = F(b) – F(a)

Onbepaalde integratieformule

Onbepaalde integratieformules worden gebruikt om de onbepaalde integratie op te lossen wanneer de integratielimiet niet is opgegeven. Bij onbepaalde integratie gebruiken we de constante van de integratie die doorgaans wordt aangegeven met C

∫f(x) = F(x) + C

  • Onbepaalde integralen
  • Integrale eigenschappen definiëren
  • Integratie van goniometrische functies

Voorbeelden van integrale formules

Voorbeeld 1: Evalueer

  • ∫x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √xdx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(zonde x/cos 2 x)dx
  • ∫(1/zonde 2 x)dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )]dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)]dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Oplossing:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √xdx

= ∫x1/3dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ loggenHet is3) + C [∫een X dx = (een X / loggen Het is a) +C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , waarbij k constant is]

= 4 enX+ C [∫ d.w.z X dx = e X + C]

(vi) ∫(zonde x/cos 2 x)dx

= ∫[(sin x/cos x).(1/cos x)] dx

= ∫tan X . sec x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= sec x + C

(vii) ∫(1/zonde 2 x)dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -kinderbedje x + C ]

= -kinderbedje x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )]dx

= ∫[1/√(22- X2)]dx [dat weten we, dx = zonde -1 (x/a) + C]

= zonder-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}]dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [dat weten we,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sec-1(x/a) + C]

= (1/3)sec-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/sin x) dx

= ∫cosec x dx [dat weten we, ∫cosec x dx = log |cosec x – kinderbed x| + C]

= log |cosec x – kinderbed x| + C

Voorbeeld 2: Evalueer ∫{e 9log Het is X + en 8log Het is X }/{Het is 6 log Het is X + en 5log Het is X } dx

Oplossing:

Sinds, Het is schudden Het is X = x A

∫{e 9log Het is X + en 8log Het is X }/{Het is 6 log Het is X + en 5log Het is X } dx

= ∫{x9+x8}/{X6+x5} dx

= ∫[x8(x+1)]/[x5(x + 1)]dx

=∫x8/X5dx

= ∫x3dx [dat weten we, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x4/4) + C

Voorbeeld 3: Evalueer ∫ sin x + cos x dx

Oplossing:

∫(zonde x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [we weten dat, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [dat weten we, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Voorbeeld 4: Evalueer ∫4 x+2 dx

Oplossing:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ we wisten dat∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , waarbij k constant is]

= 16∫ 4Xdx [∫een X dx = (een X / loggen Het is a) + C]

= 16 (4X/log4) + C

Voorbeeld 5: Evalueer ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Oplossing:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫xdx + 1∫x0dx [Dat weten we, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] +x+C

Voorbeeld 6: Evalueer ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Oplossing:

1 + cos 2x = 2cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)]dx

= ∫[4/(2cos2x)]dx

= ∫(2/cos2x)dx

= ∫2 sec2xdx

= 2∫sec2x dx [Dat weten we, ∫sec 2 x dx = bruin x + C ]

= 2 bruinen x + C

Voorbeeld 7: Evalueer ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x)dx

Oplossing:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x)dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, waarbij k constant is]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sec2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Oefenproblemen met integratieformules

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Veelgestelde vragen over integratieformules

Wat zijn alle integratieformules?

Integratieformules zijn de formules die worden gebruikt om verschillende integratieproblemen op te lossen,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫xNdx = x(n + 1)/(n+1)+C
  • ∫ 1/x dx = logboek |x| + C
  • ∫ enXdx = eX+ C
  • ∫ eenXdx = eenX/log a+ C
  • ∫ enX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {waarbij f'(x) = d/dx[f(x)]}

Wat zijn de integratieformules van uv?

De integratieformule van uv is,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Wat betekent integratie in de wiskunde?

Als de afgeleide van de functie g(x) f(x) is, dan is de integratie van f(x) g(x), d.w.z. ∫f(x)dx = g(x). Integratie wordt weergegeven door het symbool ∫

Hoe integreren we met behulp van integratieformules?

Integratie kan worden bereikt met behulp van de formules,

  • Definieer een klein deel van een object in bepaalde afmetingen, waardoor door oneindig veel tijden op te tellen het object compleet wordt.
  • Door gebruik te maken van integratieformules over dat kleine deel langs de variërende dimensies krijgen we het volledige object.

Wat is de integrale formule per onderdeel?

Integrale formule per deel wordt gebruikt om de integraal op te lossen waarbij een onechte breuk wordt gegeven.

Wat is het gebruik van integratieformules?

Integratieformules worden gebruikt om verschillende integrale problemen op te lossen. Verschillende problemen die we in ons dagelijks leven tegenkomen, kunnen gemakkelijk worden opgelost met behulp van integratie, zoals het vinden van het massamiddelpunt van welk object dan ook, het vinden van de baan van raketten, raketten, vliegtuigen en dergelijke.