Kennis van matrices is noodzakelijk voor verschillende takken van de wiskunde. Matrices zijn een van de krachtigste hulpmiddelen in de wiskunde. Uit matrices komen determinanten. Nu zien we een van de eigenschappen van de determinant in dit artikel.
In dit artikel zien we hoe u de Adjunct van een matrix. Om te weten over de Adjunct van een matrix we moeten weten over de Cofactor van een matrix.
Inhoudsopgave
- Adjunct van een matrixdefinitie
- Minor van een matrix
- Cofactor van een matrix
- Transponeren van Matrix
- Hoe vind ik de adjoint van een matrix?
- Eigenschappen van Adjoint van een matrix
- Inverse vinden met behulp van adjunct van een matrix
Adjunct van een matrixdefinitie
De adjunct van een matrix is de getransponeerde matrix van de cofactor van de gegeven matrix. Voor elke vierkante matrix A om zijn adj te berekenen. matrix moeten we eerst de cofactormatrix van de gegeven matrix berekenen en vervolgens de determinant ervan vinden. Om de Ajoint van een matrix te berekenen, volgt u de volgende stappen:
Stap 1 : Bereken de Minor van alle elementen van de gegeven matrix A.
Stap 2: Vind de Cofactormatrix C met behulp van de kleine elementen.
Stap 3: Vind de adjunct-matrix van A door de transpositie van de cofactormatrix C te nemen.
Voor elke 2×2 matrix A wordt hieronder de afbeelding van zijn adjoint weergegeven,
Laten we nu eens kijken naar de Minor, Cofactor en Transpose van de matrix.
Minor van een matrix
De minor van de matrix is de matrix of het element dat wordt berekend door de rij en kolom van de matrix van het element waarvoor de minor wordt berekend te verbergen. Voor de 2×2-matrix is de minor het element dat wordt weergegeven door de rij en kolom te verbergen van het element waarvoor de Minor wordt berekend.
Leer meer over, Minderjarigen en cofactoren
Cofactor van een matrix
De Cofactor is het getal dat we krijgen als we de kolom en rij van een aangewezen element in een matrix verwijderen. Het betekent dat je één element uit een matrix neemt en de hele rij en kolom van dat element uit de matrix verwijdert, en vervolgens welke elementen in die matrix aanwezig zijn, dat wordt de cofactor.
Hoe u de cofactor van een matrix kunt vinden
Om de cofactor van een element van een matrix te vinden, kunnen we de volgende stappen gebruiken:
Stap 1: Verwijder de volledige rij en kolom die het betreffende element bevat.
Stap 2: Neem de resterende elementen zoals deze zich in de matrix bevinden na stap 1.
Stap 3: Zoek de determinant van de matrix gevormd in stap 2, die de wordt genoemd minderjarige van het element.
Stap 4: Gebruik nu de formule voor de cofactor van element aijdat wil zeggen, (-1)ik+jMijwaarbij Mij de mineur is van het element in de ierij en jekolom die al is berekend in stap 3.
Stap 5: Het resultaat van stap 4 is de cofactor van het betreffende element, en op dezelfde manier kunnen we de cofactor van elk element van de matrix berekenen om de cofactormatrix van de gegeven matrix te vinden.
Voorbeeld: Zoek cofactormatrix van
Oplossing:
Gegeven matrix is
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Laten we de cofactor van het element in de eerste rij, de derde kolom, vinden, d.w.z. 3.
Stap 1: Verwijder de volledige rij en kolom die het betreffende element bevat.
d.w.z.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Stap 2: Neem de resterende elementen zoals deze zich in de matrix bevinden na stap 1.
d.w.z.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Stap 3: Zoek de determinant van de matrix gevormd in stap 2, die de minor van het element wordt genoemd.
Minor van 3 in
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Stap 4: Gebruik nu de formule voor de cofactor van element aijdat wil zeggen, (-1)ik+jMij
Cofactor van element 3 = (-1)1+3(32) = 32
Stap 5: Vervolg de procedure voor alle elementen om de cofactormatrix van A te vinden,
dat wil zeggen, cofactormatrix van A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transponeren van Matrix
Transpositie van een matrix is de matrix die wordt gevormd door de rijen en kolommen van de matrix met elkaar te veranderen. De transponering van de matrix A wordt aangegeven als ATof A'. Als de volgorde van de matrix A m×n is, dan is de volgorde van de getransponeerde matrix n×m.
Leer meer over, Transponeren van een matrix
Hoe vind ik de adjoint van een matrix?
Om de adjoint van een matrix te vinden, moeten we eerst de cofactor van elk element vinden, en dan nog twee stappen vinden. zie hieronder de stappen,
Stap 1: Zoek de cofactor van elk element in de matrix.
Stap 2: Maak nog een matrix met de cofactoren als elementen.
Stap 3: Zoek nu de transpositie van de matrix die na stap 2 komt.
Hoe u de adjoint van een 2×2-matrix kunt vinden
Laten we een voorbeeld bekijken om de methode te begrijpen om de adjunct van de 2×2-matrix te vinden.
Voorbeeld: Zoek de adjunct van
Oplossing:
Gegeven matrix is
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Stap 1: Zoek de cofactor van elk element.
Cofactor van element op A[1,1]: 5
Cofactor van element op A[1,2]: -4
Cofactor van element op A[2,1]: -3
Cofactor van element op A[2,2]: 2
Stap 2: Maak een matrix van cofactoren
d.w.z.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Stap 3: Transponeren van cofactormatrix,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Hoe u de adjoint van een 3×3-matrix kunt vinden
Laten we een voorbeeld nemen van een 3×3-matrix om te begrijpen hoe we de adjoint van die matrix kunnen berekenen.
Voorbeeld: Zoek de adjunct van
Oplossing:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Stap 1: Zoek de cofactor van elk element.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Stap 2: Maak een matrix van cofactoren
wat is Java-hashmap
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Stap 3: Transponeer Matrix C naar de adjunct van een gegeven matrix.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Dat is een adjunct van de gegeven matrix A.
Eigenschappen van Adjoint van een matrix
Adjuncten van een matrix hebben verschillende eigenschappen. Sommige van deze eigenschappen zijn als volgt:
- A(Aangepast A) = (Aangepast A)A = |A| IN
- Bijvoeglijk naamwoord(BA) = (Bijvoeglijk naamwoord B) (Bijvoeglijk naamwoord A)
- |Aanpassing A| = |EEN|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Inverse vinden met behulp van adjunct van een matrix
Het vinden van het omgekeerde is een van de belangrijke toepassingen van de Adjoint of the Matrix. Om de inverse van een matrix te vinden met behulp van Adjoint, kunnen we de volgende stappen gebruiken:
Stap 1: Vind de determinant van de matrix .
Stap 2: Als de determinant nul is, is de matrix niet inverteerbaar en is er geen inverse.
Stap 3: Als de determinant niet nul is, zoek dan de adjoint van de matrix.
Stap 4: Verdeel de adjunct van de matrix door de determinant van een matrix.
Stap 5: Het resultaat van stap 4 is de inverse van de gegeven matrix.
Voorbeeld: Vind de inverse van
Oplossing:
Gegeven matrix
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |EEN| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
De inverse van A bestaat dus niet.
Leer meer over, Inverse van een matrix
Opgeloste voorbeelden van adjoint van een matrix
Voorbeeld 1: Vind de adjunct van de gegeven matrix
Oplossing:
Stap 1: De cofactor van elk element vinden
Om de cofactor van elk element te vinden, moeten we de rij en kolom van elk element één voor één verwijderen en na het verwijderen de huidige elementen nemen.
Cofactor van elementen bij A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofactor van elementen bij A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofactor van elementen bij A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofactor van elementen bij A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofactor van elementen bij A[2,1] = 4:
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofactor van elementen bij A[2,2] = 5:
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofactor van elementen bij A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofactor van elementen bij A[3,1] = 8:
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofactor van elementen bij A[3,2] = 9:
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10De matrix ziet er met de cofactoren als volgt uit:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} De uiteindelijke cofactormatrix:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Stap 2: Zoek de transpositie van de matrix verkregen in stap 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Dit is de Adjunct van de matrix.
Voorbeeld 2: Vind de Adjunct van de gegeven matrix
Oplossing:
Stap 1: De cofactor van elk element vinden
Om de cofactor van elk element te vinden, moeten we de rij en kolom van elk element één voor één verwijderen en na het verwijderen de huidige elementen nemen.
Cofactor van element bij A[0,0] = -1:
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofactor van elementen bij A[0,1] = -2:
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofactor van elementen bij A[0,2] = -2:
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofactor van elementen bij A[2,0] = 2:
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofactor van elementen bij A[2,1] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofactor van elementen bij A[2,2] = -2:
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor van elementen bij A[3,0] = 2:
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofactor van elementen bij A[3,1] = -2:
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor van elementen bij A[3,2] = 1:
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3De uiteindelijke cofactormatrix:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Stap 2: Zoek de transpositie van de matrix verkregen in stap 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Dit is de Adjunct van de matrix.
Veelgestelde vragen over de adjunct van een matrix
Wat is adjunct van een matrix?
De adjoint van een vierkante matrix is de transponering van de matrix van cofactoren van de oorspronkelijke matrix. Het is ook bekend als de adjugaatmatrix.
Hoe wordt de adjoint van een matrix berekend?
Om de adjunct van een matrix te berekenen, moet je de cofactormatrix van de gegeven matrix vinden en deze vervolgens transponeren.
Wat is het gebruik van adjoint van een matrix?
De belangrijkste toepassing of het gebruik van de adjunct van een matrix is het vinden van de inverse van inverteerbare matrices.
Wat is de relatie tussen de inverse van een matrix en zijn adjunct?
De inverse van een matrix wordt verkregen door zijn adjunct te delen door zijn determinant. Dat wil zeggen, als A een vierkante matrix is en det(A) niet nul is
A -1 = bijvoeglijk naamwoord(A)/det(A)
Wat is adjugaatmatrix?
De adjunct-matrix wordt ook wel de Adjugate Matrix genoemd. Het is de transpositie van de cofactor van de gegeven matrix.
Wat is het verschil tussen adjoint en transpose van een matrix?
De adjoint van een matrix is de transponering van de matrix van cofactoren, terwijl de transponering van een matrix wordt verkregen door de rijen en kolommen ervan te verwisselen.
Is een vierkante matrix altijd inverteerbaar?
Nee, vierkante matrixen zijn niet altijd inverteerbaar. Een vierkante matrix is alleen inverteerbaar als deze een determinant heeft die niet nul is.
Kan de adjoint van een niet-vierkante matrix worden berekend?
Nee, de adjunct van een matrix kan alleen worden berekend voor een vierkante matrix vanwege de definitie ervan.