Setsymbolen zijn een verzamelterm die wordt gebruikt voor alle symbolen die worden gebruikt in de verzamelingenleer, de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de verzameling objecten en hun verschillende eigenschappen. Een set is een goed gedefinieerde verzameling objecten waarbij elk object in de verzameling een element wordt genoemd en elk element van de set een zeer specifieke regel volgt. Over het algemeen worden hoofdletters van Engelse alfabetten gebruikt om verzamelingen aan te duiden, en sommige letters duiden enkele specifieke verzamelingen in de verzamelingenleer aan.
Er worden veel symbolen gebruikt in de studie van deze tak van wiskunde, enkele veel voorkomende symbolen zijn {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, enz. We zullen al deze symbolen in detail bespreken in het artikel inclusief de geschiedenis van deze symbolen. Laten we dus beginnen aan onze reis om te leren over verschillende set-symbolen die in de set-theorie worden gebruikt.
Inhoudsopgave
- Wat zijn vaste symbolen?
- Geschiedenis van vaste symbolen
- Basisconcepten van vaste symbolen
- Symbolen instellen in wiskunde
- Theoriesymbolen instellen
- Opgeloste voorbeelden van ingestelde symbolen
- Oefenvragen voor vaste symbolen
- Veelgestelde vragen
Wat zijn vaste symbolen?
Set-symbolen zijn fundamentele bouwstenen van de wiskunde die worden gebruikt om groepen objecten, getallen of items met vergelijkbare eigenschappen weer te geven en te beschrijven. Deze symbolen bieden een duidelijke en consistente benadering voor het communiceren van moeilijke ideeën over sets en hun interacties. Het meest typische set-symbool is ∈, wat staat voor lidmaatschap en wordt uitgesproken als behoort tot. ∈ geeft aan dat een element deel uitmaakt van een specifieke set.
∉ betekent daarentegen dat een element geen deel uitmaakt van een set. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, etc. zijn enkele van de meest voorkomende voorbeelden van symbolen in de verzamelingenleer. Deze en andere symbolen stellen wiskundigen in staat bewerkingen te definiëren, bewerkingen te specificeren en exacte wiskundige beweringen te formuleren, waarmee de basis wordt gelegd voor een verscheidenheid aan wiskundige specialiteiten en praktische toepassingen.
Lees meer over Stel theorie in .
Voorbeeld van ingestelde symbolen
Laten we het symbool, dat staat voor het snijpunt van verzamelingen, ter illustratie gebruiken. Laat E en F twee sets zijn zodat set E = {1, 3, 5, 7} en set F = {3, 6, 9}. Vervolgens vertegenwoordigt het ∩-symbool het snijpunt tussen beide sets, d.w.z. E ∩ F.
Hier bevat E ∩ F alle elementen die gemeenschappelijk zijn in beide sets E en F, dat wil zeggen {3}.
Concluderend wordt het ∩-symbool gebruikt om de elementen te identificeren die door twee of meer sets worden gedeeld. Het snijpunt levert alleen sets op die elementen bevatten die worden gedeeld door alle sets die worden doorsneden.
Leer meer over Snijpunt van sets .
Geschiedenis van vaste symbolen
Tussen 1874 en 1897 belde een Duitse wiskundige Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ontwikkelde een abstracte theorie genaamd Set Theory. Hij stelde het voor terwijl hij onderzoek deed naar enkele feitelijke problemen met betrekking tot specifieke vormen van oneindige sets van reële getallen. Volgens het begrip is een set een groep bepaalde gedefinieerde en afzonderlijke observatieobjecten. Al deze dingen worden leden of componenten van de set genoemd. De eigenschap van echte algebraïsche getalcombinaties vormt de basis van Cantors theorie.
Basisconcepten van vaste symbolen
Op verschillende niveaus van scholing in de verzamelingenleer worden verschillende ideeën behandeld. Set-representatie, set-typen, set-bewerkingen (zoals vereniging en snijpunt), set-kardinaliteit en relaties, enzovoort, behoren tot de essentiële concepten. Enkele van de essentiële concepten in de verzamelingenleer zijn als volgt:
Universele set
De hoofdletter ‘U’ wordt vaak gebruikt om een universele set aan te duiden. Het wordt ook af en toe gesymboliseerd door ε (epsilon). Het is een set die alle elementen van andere sets bevat, maar ook die van zichzelf.
Aanvulling op Set
Het complement van een set omvat alle bestanddelen van de universele set, behalve de elementen van de set die wordt onderzocht. Als A een verzameling is, zullen de complementen ervan alle leden van de gespecificeerde universele verzameling (U) bevatten die niet in A zijn opgenomen. Het complement van een verzameling wordt aangegeven of uitgedrukt als A’ of ACen wordt gedefinieerd als:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Lees meer over Aanvulling op Set .
Stel Builder-notatie in
Set Builder-notatie is de methode om sets op zo'n manier weer te geven dat als we niet alle elementen van de set hoeven op te sommen, we alleen de regel hoeven te specificeren die door alle elementen van de set wordt gevolgd. Enkele voorbeelden van deze notaties zijn:
Als A een verzameling reële getallen is.
EEN = {x: x ∈ R}
Als A een verzameling natuurlijke getallen is.
A = {x : x> 0 en x ∈ Z]
Waar MET is een verzameling gehele getallen.
Lees verder, Vertegenwoordiging van sets .
Symbolen instellen in wiskunde
Om naar verschillende dingen en bedragen te verwijzen, gebruikt het ingestelde symbool vaak een vooraf gedefinieerde lijst met variabele symbolen. Om vaste notaties te lezen en te maken, moet u eerst begrijpen hoe u symbolen in diverse situaties kunt gebruiken. Laten we eens kijken naar alle notaties en symbolen van de verzamelingenleer die betrekking hebben op operaties, relaties, enzovoort, samen met hun betekenissen en voorbeelden, onder deze categorie.
Symbolen gebruikt in het nummersysteem
De symbolen die in nummersystemen worden gebruikt, zijn opgenomen in de onderstaande tabel:
| Symbool | Naam | Betekenis/definitie | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| W of 𝕎 | Hele getallen | Dit zijn de natuurlijke getallen. | We weten dat N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N of ℕ | Natuurlijke cijfers | Natuurlijke getallen worden ook wel telgetallen genoemd die met 1 beginnen. | We weten dat W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z of ℤ | gehele getallen | Gehele getallen zijn vergelijkbaar met hele getallen, behalve dat ze ook negatieve waarden bevatten. | We weten Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q of ℚ | Rationele nummers | Rationele getallen zijn getallen die worden weergegeven als a/b. In dit geval zijn a en b gehele getallen met b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z en b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P of ℙ | Irrationele nummers | De getallen die niet kunnen worden weergegeven in de vorm van a/b, worden irrationele getallen genoemd, dat wil zeggen alle reële getallen die niet rationeel zijn. wat is const in java | P = x π, en ∈ P |
| R of ℝ | Echte getallen | Hele getallen, rationale getallen en irrationele getallen vormen reële getallen. | R=x 6,343434 ∈ R |
| C of ℂ | Complexe getallen | Een complex getal is een combinatie van een reëel getal en een denkbeeldig getal. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Theoriesymbolen instellen
Scheidingstekens zijn speciale tekens of reeksen tekens die het begin of einde van een bepaalde instructie of functietekst van een opgegeven set aangeven. Hieronder volgen de symbolen en betekenissen van de scheidingstekens:
| Symbool | Naam | Betekenis/definitie | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| {} | Set | Tussen deze haakjes bevindt zich een aantal elementen/cijfers/alfabetten in een set. | {15, 22, c, d} |
| | | Zoals dat | Deze worden gebruikt om een set te construeren door te specificeren wat erin zit. | q> 6 De instructie specificeert de verzameling van alle q’s zodanig dat q groter is dan 6. |
| : | Zoals dat | Het :-symbool wordt soms gebruikt in plaats van de | symbool. | De bovenstaande zin kan ook worden geschreven als q. |
Verzamelingen en relationele symbolen in de verzamelingenleer
Settheorie-symbolen worden gebruikt om een specifieke set te identificeren en om een relatie tussen verschillende sets of relaties binnen een set te bepalen/tonen, zoals de relatie tussen een set en zijn bestanddeel. De onderstaande tabel toont dergelijke relatiesymbolen, samen met hun betekenis en voorbeelden:
| Symbool | Naam | Betekenis/definitie | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| een ∈ A | Is een onderdeel van | Dit geeft aan dat een element lid is van een specifieke set. | Als een verzameling A={12, 17, 18, 27} kunnen we zeggen dat 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Is geen onderdeel van | Dit geeft aan dat een element niet tot een bepaalde set behoort. | Als een set B={c, d, g, h, 32, 54, 59} dan behoort elk ander element dan dat in de set niet tot deze set. Als voorbeeld: 18 ∉ B. |
| EEN = B | Gelijkheidsrelatie | De meegeleverde sets zijn gelijkwaardig in de zin dat ze dezelfde componenten bevatten. | Als je P={16, 22, a} en Q={16, 22, a} plaatst, dan is P=Q. |
| EEN ⊆ B | Subgroep | Als alle items van A aanwezig zijn in B, is A een deelverzameling van B. | A= {31, b} en B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| EEN ⊂ B | Juiste subset | Er wordt gezegd dat P een echte deelverzameling van B is als het een deelverzameling van B is en niet gelijk is aan B. | A= {24, c} en B={a, c, 24, 50} EEN ⊂ B |
| EEN ⊄ B | Geen subset | Als gevolg hiervan is set A geen subset van set B. | A = {67,52} en B = {42,34,12} EEN ⊄ B |
| EEN ⊇ B | Superset | A is een superset van B als set B een subset is van A. Set A kan hetzelfde zijn als of groter zijn dan set B. | A = {14, 18, 26} en B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| EEN ⊃ B | Juiste Superset | Set A heeft meer elementen dan set B, omdat het een superset van B is. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| EEN ⊅ B | Geen superset | Als niet alle elementen van B aanwezig zijn in A, is A geen echte superset van B. | A = {11, 12, 16} en B ={11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| O | Lege set | Een lege of null-set is een set die geen elementen bevat. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| IN | Universele set | Een set die elementen bevat uit alle relevante sets, inclusief die van hemzelf. | Als A = {a,b,c} en B = {1,2,3,b,c}, dan U = {1,2,3,a,b,c} |
| |EEN| of n{A} | Kardinaliteit van een verzameling | Kardinaliteit verwijst naar het aantal items in een bepaalde collectie. | Als A= {17, 31, 45, 59, 62}, dan |A|=5. |
| P(X) | Vermogen ingesteld | Een machtsverzameling is de verzameling van alle deelverzamelingen van verzameling X, inclusief de verzameling zelf en de nulverzameling. | Als, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Op operatoren gebaseerde symbolen in de verzamelingentheorie
Aan de hand van voorbeelden zullen we symbolen en betekenissen van de verzamelingenleer bestuderen voor talrijke operaties zoals unie, complement, intersectie, verschil en andere.
| Symbool | Naam | Betekenis/definitie | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Unie van sets | Door de combinatie van sets ontstaat een geheel nieuwe set door alle componenten in de meegeleverde sets te combineren. | EEN = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A unie B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| EEN ∩ B | Snijpunt van sets | De gemeenschappelijke component van beide sets is opgenomen in het snijpunt. | A = { 4, 8, a, b} en B = {3, 8, c, b}, dan EEN ∩ B = {8, b} |
| XCOFX' | Aanvulling op een set | Het complement van een set omvat alle dingen die niet tot de geleverde set behoren. | Als A een universele verzameling is en A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} en B = {13, 15, 17, 18, 19} dan X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A − B | Verschil instellen | De verschilset is een set die items uit de ene set bevat die niet in een andere set voorkomen. | A = {12, 13, 15, 19} en B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Cartesisch product van sets | Een cartesiaans product is het product van de bestelde onderdelen van de sets. | A = {4, 5, 6} en B = {r} Nu, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Symmetrisch verschil tussen sets | A Δ B = (A – B) U (B – A) geeft het symmetrische verschil aan. | EEN = {13, 19, 25, 28, 37},B = {13, 25, 55, 31} EEN ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Lees verder
- Soorten sets
- Bediening op sets
Opgeloste voorbeelden van ingestelde symbolen
Voorbeeld 1: Gegeven twee sets met P={21, 32, 43, 54, 65, 75} en Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}, wat is de waarde van P∪Q?
Antwoord:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} en Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Voorbeeld 2: Wat is de waarde van |Y| als Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Antwoord:
|J| = Kardinaliteit van de set=aantal elementen in de set is de oplossing.
|J| = n(Y)=6, aangezien de verzameling Y 6 elementen heeft.
Voorbeeld 3: Gegeven twee verzamelingen met waarden P={a,c,e} en Q={4,3}, bepaal hun cartesiaanse product.
r in c-programmering
Antwoord:
Cartesisch product = P × Q
Als P={b, d, f} en Q={5, 6}
Dan P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Voorbeeld 4: Stel dat P = {x: x een natuurlijk geheel getal is en een veelvoud van 24, en Q = {x: x is een natuurlijk getal kleiner dan 8}. Bepaal P ∪ Q.
Antwoord:
Gezien dat
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
string tot datum converterenQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Als resultaat is P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Voorbeeld 5: Stel dat P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Zoek (P ∩ Q)’.
Antwoord:
Gegeven, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Daarom,
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Voorbeeld 6: Als P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} en Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, bepaal
(i) P-Q en (ii) P-Q.
Antwoord:
Gegeven,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} en Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Oefenvragen voor vaste symbolen
Vraag 1: Gezien de sets:
- EEN = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Bepaal de elementen in de vereniging van verzamelingen A en B.
Vraag 2: Laten we de sets eens bekijken:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- J = {3, 4, 5, 6, 7}
Zoek het snijpunt van verzamelingen X en Y.
Vraag 3: Stel dat je de sets hebt:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Bereken de elementen in de verzameling P – Q en Q – P.
Vraag 4: Laten we zeggen dat je de sets hebt:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Zoek uit of verzameling V een deelverzameling is van verzameling U.
Vraag 5: Denk aan de sets:
- S = {appel, banaan, sinaasappel, peer}
- T = {peer, mango, kers}
Zoek het cartesiaanse product van de verzamelingen S en T.
Vraag 6: Stel dat je de universele set hebt:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, ik, j}
En de setjes:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, ik}
Bereken het complement van verzameling E en F ten opzichte van de universele verzameling U.
Veelgestelde vragen over ingestelde symbolen
1. Definieer het ingestelde symbool.
Het set-symbool is een tak die groeperingen van entiteiten/getallen/objecten bestudeert, hun relaties met andere sets, verschillende bewerkingen (vereniging, kruising, complement en verschil) en bijbehorende kenmerken.
2. Wat vertegenwoordigt dit symbool ⊆?
Het symbool ⊆ betekent dat het een subset is van. Een subset is een set waarvan de items zijn toegevoegd alsof het allemaal elementen van een andere set zijn.
3. Wat betekent ∪ in verzamelingen?
‘∪’ is het teken voor de ingestelde unie. A ∪ B is een set die alle elementen van sets A en B bevat.
4. Wat vertegenwoordigt P = Q?
Als verzameling P gelijk is aan verzameling Q, dan zijn de leden van P en Q hetzelfde. Bijvoorbeeld:
P = {4,5,6} en Q = {6,5,4}
Als resultaat is P = Q.
5. Wat betekent ∩ in de wiskunde?
‘∩’ betekent de vereniging van twee sets. A ∩ B is een set die items bevat die zowel door A als B worden gedeeld.
6. Wat is ∈ in verzamelingen?
∈ is een teken dat ‘behoort tot’ betekent. Als b ∈ B, geeft dit aan dat b een element van B is.
7. Wat is de verzameling N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} bekend als?
De verzameling natuurlijke getallen wordt gedefinieerd als N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Het bevat alle positieve getallen, variërend van 1 tot een oneindig getal. Deze verzameling is cruciaal voor de wiskunde en biedt een raamwerk voor zowel ordenen als tellen.
8. Wat is A × B in sets?
Het Cartesiaanse product van de verzamelingen A en B wordt weergegeven als A x B in het verzamelingssymbool. Het is de set die alle mogelijke geordende paren bevat, waarbij het eerste element uit set A en het tweede uit set B wordt getrokken.
9. Hoe ga je A ∩ B lezen?
A∩B wordt uitgesproken als A intersection B. Het staat voor de set die elementen bevat die in beide sets voorkomen.
10. Wat betekent de Ø in de verzamelingenleer?
In de verzamelingenleer wordt het idee van een lege verzameling, die geen items bevat, aangegeven met het symbool Ø(uitgesproken als lege verzameling).
11. Wat is AUB?
AUB staat in de wiskunde voor de vereniging van de sets A en B. Het verwijst naar de set die elk element uit zowel sets A als B bevat.
12. Is ∅ hetzelfde als {}?
Ja, ∅ en {} vertegenwoordigen beide de lege verzameling in de wiskunde. Beide zijn dus de verschillende notatie van hetzelfde.