Wiskundige inductie is een concept in de wiskunde dat wordt gebruikt om verschillende wiskundige uitspraken en stellingen te bewijzen. Het principe van wiskundige inductie wordt soms PMI genoemd. Het is een techniek die wordt gebruikt om de basisstellingen in de wiskunde te bewijzen die de oplossing tot n eindige natuurlijke termen omvatten.

Het principe van wiskundige inductie wordt veel gebruikt bij het bewijzen van verschillende uitspraken, zoals een som van eerst N natuurlijke cijfers wordt gegeven door de formule n(n+1)/2. Dit kan eenvoudig worden bewezen met behulp van het principe van wiskundige inductie.

In dit artikel zullen we in detail leren over het principe van wiskundige inductie, de verklaring ervan, het voorbeeld ervan en andere.

Inhoudsopgave

• Wat is wiskundige inductie?
• Principe van wiskundige inductieverklaring
• Wiskundige inductiestappen
• Wiskundig inductievoorbeeld

Wat is wiskundige inductie?

Wiskundige inductie is een van de fundamentele methoden voor het schrijven van bewijzen en wordt gebruikt om een ​​bepaalde bewering over elke goed georganiseerde verzameling te bewijzen. Over het algemeen wordt het gebruikt voor het bewijzen van resultaten of het opstellen van uitspraken die zijn geformuleerd in termen van N , waarbij n een natuurlijk getal is.

Stel dat P(n) een bewering is voor n natuurlijk getal, dan kan het worden bewezen met behulp van het principe van wiskundige inductie. Eerst zullen we bewijzen voor P(1), dan P(k) waar laten zijn en dan bewijzen voor P(k+1) . Als P(k+1) geldt, dan zeggen we dat P(n) waar is volgens het principe van wiskundige inductie.

We kunnen wiskundige inductie vergelijken met vallende dominostenen. Wanneer een dominosteen valt, gooit hij achtereenvolgens de volgende dominosteen omver. De eerste dominosteen gooit de tweede omver, de tweede gooit de derde omver, enzovoort. Uiteindelijk worden alle dominostenen omgegooid. Maar er zijn enkele voorwaarden waaraan moet worden voldaan:

• De basisstap is dat de startende dominosteen moet vallen om het klopproces in werking te stellen.
• De afstand tussen dominostenen moet gelijk zijn voor twee aangrenzende dominostenen. Anders kan een bepaalde dominosteen omvallen zonder dat de volgende dominosteen omvalt. Dan stopt de reeks reacties. Het handhaven van de gelijke afstand tussen de dominostenen zorgt ervoor dat P(k) ⇒ P(k + 1) voor elk geheel getal k ≥ a. Dit is de inductieve stap.

Principe van wiskundige inductieverklaring

Elke bewering P(n) die voor n natuurlijk getal geldt, kan worden bewezen met behulp van het principe van wiskundige inductie door de onderstaande stappen te volgen:

Stap 1: Controleer of de bewering waar is voor triviale gevallen ( n = 1) d.w.z. controleer of P(1) waar is.

Stap 2: Neem aan dat de bewering waar is voor n = k voor een bepaalde k ≥ 1, dat wil zeggen dat P(k) waar is.

Stap 3: Als de waarheid van P(k) de waarheid van P(k + 1) impliceert, dan is de uitspraak P(n) waar voor alle n ≥ 1 .

De onderstaande afbeelding bevat alle stappen van wiskundige inductie

De eerste bewering is het feit en als het niet mogelijk is dat alle P(n) waar zijn bij n = 1, dan zijn deze uitspraken waar voor sommige andere waarden van n, bijvoorbeeld n = 2, n = 3, en andere.

Als de bewering waar is voor P(k), en als bewezen is dat P(k+1) waar is, dan zeggen we dat P(n) waar is voor alle n die tot natuurlijke getallen (N) behoren.

Wiskundige inductiestappen

Verschillende stappen die bij wiskundige inductie worden gebruikt, zijn dienovereenkomstig genoemd. De namen van de verschillende stappen die worden gebruikt in het principe van wiskundige inductie zijn:

• Basisstap: Bewijs dat P(k) waar is voor k =1
• Aannamestap: Laat P(k) waar zijn voor alle k in N en k> 1
• Inductiestap: Bewijs dat P(k+1) waar is met behulp van elementaire wiskundige eigenschappen.

Als de bovenstaande drie stappen worden bewezen, kunnen we zeggen dat volgens het principe van wiskundige inductie P(n) waar is voor alle n die tot N behoort.

Wiskundig inductievoorbeeld

Wiskundige inductie wordt gebruikt om verschillende uitspraken te bewijzen. We kunnen dit leren met behulp van het volgende voorbeeld.

Bewijs voor elk positief geheel getal n dat n³+ 2n is altijd deelbaar door 3

Oplossing:

Stel P(n): n³+ 2n is deelbaar door 3 volgens de gegeven uitspraak.

Stap 1: Basisstap

Eerst bewijzen we dat P(1) waar is. Stel dat n = 1 in n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Omdat 3 deelbaar is door 3. Daarom is P(1) waar.

Stap 2: Aannamestap

Laten we aannemen dat P(k) waar is

Vervolgens, k³+ 2k is deelbaar door 3

We kunnen het dus schrijven als k³+ 2k = 3n, (waarbij n een positief geheel getal is)….(i)

lezen vanuit csv-java

Stap 3: Inductiestappen

Nu moeten we bewijzen dat de algebraïsche uitdrukking (k + 1)³+ 2(k + 1) is deelbaar door 3

= (k + 1)³+ 2(k+1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (K³+ 2k) + (3k²+ 3k + 3)

van eq(i)

= 3n + 3(k²+k+1)

= 3(n+k²+k+1)

Omdat het een veelvoud van 3 is, kunnen we zeggen dat het deelbaar is door 3.

P(k+1) is dus waar, d.w.z. (k + 1)³+ 2(k + 1) is deelbaar door 3. Volgens het principe van wiskundige inductie kunnen we zeggen dat P(n): n³+ 2n is deelbaar door 3 en is waar.

Lees verder,

• Rekenkundige progressie
• Geometrische progressie

Opgeloste voorbeelden van wiskundige inductie

Voorbeeld 1: Bewijs voor alle n ≥ 1 dat 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Oplossing:

Laat de gegeven verklaring P(n) zijn,

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Laten we nu een positief geheel getal nemen, k, en aannemen dat P(k) waar is, dat wil zeggen:

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

We zullen nu bewijzen dat P(k + 1) ook waar is, dus nu hebben we:

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

P(k + 1) is dus waar, telkens wanneer P(k) waar is voor alle natuurlijke getallen. Door het proces van wiskundige inductie is het gegeven resultaat dus waar voor alle natuurlijke getallen.

Voorbeeld 2: Bewijs voor alle n ≥ 1 dat, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Oplossing:

Laat de gegeven verklaring S(n) zijn,

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Laten we nu een positief geheel getal nemen, k, en aannemen dat S(k) waar is, dat wil zeggen:

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

We zullen nu bewijzen dat S(k + 1) ook waar is, dus nu hebben we:

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

S(k + 1) is dus waar, telkens wanneer S(k) waar is voor alle natuurlijke getallen. En we hebben aanvankelijk aangetoond dat S(1) waar is, dus S(n) geldt voor alle natuurlijke getallen.

Voorbeeld 3: Bewijs voor alle n ≥ 1 dat, 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Oplossing:

Laat de gegeven verklaring S(n) zijn,

en S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Voor n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Dus S(1) is waar.

Laten we nu een positief geheel getal nemen, k, en aannemen dat S(k) waar is, dat wil zeggen:

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

We zullen nu bewijzen dat S(k + 1) ook waar is, dus nu hebben we:

1 + 3 + 5+…+ (2(k+1) – 1) = (k+1)²

LHS = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ LHS = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

S(k + 1) is dus waar, telkens wanneer S(k) waar is voor alle natuurlijke getallen. En we hebben aanvankelijk aangetoond dat S(1) waar is, dus S(n) geldt voor alle natuurlijke getallen.

Voorbeeld 4: Bewijs voor alle n ≥ 1 dat, 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Oplossing:

Laat de gegeven verklaring S(n) zijn,

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Laten we nu een positief geheel getal nemen, k, en aannemen dat S(k) waar is, dat wil zeggen:

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

We zullen nu bewijzen dat S(k + 1) ook waar is, dus nu hebben we:

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

S(k + 1) is dus waar, telkens wanneer S(k) waar is voor alle natuurlijke getallen. En we hebben aanvankelijk aangetoond dat S(1) waar is, dus S(n) geldt voor alle natuurlijke getallen.

Voorbeeld 5: Bewijs a _N = een ₁ + (n – 1) d, is de algemene term van elke rekenkundige reeks.

Oplossing:

Voor n = 1 hebben we a_N= een₁+ (1 – 1) d = een₁, dus de formule geldt voor n = 1,

Laten we aannemen dat de formule a_k= een₁+ (k – 1) geldt voor alle natuurlijke getallen.

We zullen nu bewijzen dat de formule ook geldt voor k+1, dus nu hebben we:

A_{k + 1}= een₁+ [(k + 1) – 1] d = een₁+ k · d.

Wij gingen ervan uit dat A_k= een₁+ (k – 1) d, en door de definitie van een rekenkundige reeks a_k+1- A_k= d,

Dan een_{k + 1}- A_k

= (een₁+ kd) – (a1 + (k – 1)d)
= een₁- A₁+ kd – kd + d
= d

De formule is dus waar voor k + 1, telkens wanneer deze waar is voor k. En we hebben in eerste instantie aangetoond dat de formule waar is voor n = 1. De formule geldt dus voor alle natuurlijke getallen.

Veelgestelde vragen over wiskundige inductie

Wat is het wiskundige inductieprincipe?

Principe van wiskundige inductie is een principe dat zegt dat voor elke bewering P(n) als deze waar is voor elke willekeurige waarde 'a' als P(a) waar is en als we aannemen dat P(k) waar is, dan door P( te bewijzen k+1) om waar te zijn, kunnen we bewijzen dat P(n) waar is voor alle n ≥ a, en n die tot natuurlijke getallen behoren.

Wat is het gebruik van wiskundige inductie?

Wiskundige inductie is het basisprincipe dat in de wiskunde wordt gebruikt om de basisuitspraken in de wiskunde te bewijzen die niet gemakkelijk op andere manieren kunnen worden bewezen.

Wat is het principe van wiskundige inductie in matrices?

Het principe van wiskundige inductie in matrices is een basisprincipe dat wordt gebruikt om de basisuitspraken in matrices te bewijzen die niet gemakkelijk op andere manieren kunnen worden bewezen.

Hoe het principe van wiskundige inductie toepassen?

Het principe van wiskundige inductie wordt gebruikt om wiskundige uitspraken te bewijzen. Stel dat we een bewering P(n) moeten bewijzen, dan zijn de toegepaste stappen:

Stap 1: Bewijs dat P(k) waar is voor k =1

Stap 2: Laat P(k) waar zijn voor alle k in N en k> 1

Stap 3: Bewijs dat P(k+1) waar is met behulp van elementaire wiskundige eigenschappen.

Dus als P(k+1) waar is, dan zeggen we dat P(n) waar is.

logica van de eerste orde

Wat zijn de stappen om een ​​probleem op te lossen met behulp van wiskundige inductie?

Er zijn drie basisstappen die worden gebruikt bij wiskundige inductie

• Basisstap
• Aanname stap
• Inductie stap