Inverse van een 3 × 3-matrix is een Matrix die, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke matrix, de identiteitsmatrix als het product. Inverse van een matrix is ​​een fundamenteel aspect van lineaire algebra. Dit proces speelt een cruciale rol bij het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen en verschillende wiskundige toepassingen. Om de inverse te berekenen, is het nodig om de aangrenzende matrix te berekenen, de invertibiliteit van de matrix te controleren door de determinant ervan te onderzoeken (die niet gelijk mag zijn aan nul), en een formule toe te passen om de inverse matrix af te leiden.

Dit artikel behandelt de verschillende concepten van de inverse van de 3 × 3-matrix en hoe je de inverse van de 3 × 3-matrix kunt vinden door cofactoren, adjuncten en determinanten van de 3 × 3-matrix te berekenen. Verderop in dit artikel vindt u ook opgeloste voorbeelden voor een beter begrip, en er zijn ook oefenvragen voorzien om te controleren wat we hiervan hebben geleerd.

Inhoudsopgave

• Wat is het omgekeerde van de 3 × 3-matrix?
• Hoe vind je het omgekeerde van de 3 × 3-matrix?
• Elementen die worden gebruikt om de inverse van de 3 × 3-matrix te vinden
• Inverse van 3 × 3 matrixformule
• De inverse van de 3 × 3-matrix vinden met behulp van rijbewerkingen

Wat is het omgekeerde van de 3 × 3-matrix?

De inverse van een 3 × 3-matrix is ​​een matrix die, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke matrix, resulteert in de identiteitsmatrix. Om de inverse te vinden, kunt u de adjunct-matrix berekenen, bepalen of de matrix inverteerbaar (niet-singulier) is door de determinant ervan te controleren (die niet gelijk mag zijn aan nul) en vervolgens de formule A toepassen.^-1= (bijvoeglijk naamwoord A) / (det A). Met de Inverse Matrix kunt u stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen en verschillende wiskundige bewerkingen uitvoeren.

Hoe vind je het omgekeerde van de 3 × 3-matrix?

Volg de onderstaande stappen om de inverse van de 3 × 3-matrix te vinden:

Stap 1: Controleer eerst of de matrix kan worden omgekeerd. Om dit te doen, berekent u de determinant van de matrix. Als de determinant niet nul is, ga dan verder met de volgende stap.

Stap 2: Bereken de determinant van kleinere 2 × 2-matrices binnen de grotere matrix.

Stap 3: Maak de cofactormatrix.

Stap 4: Verkrijg de Adjugate of Adjoint van de matrix door de cofactormatrix te transponeren.

Stap 5: Deel ten slotte elk element in de adjugaatmatrix door de determinant van de oorspronkelijke 3 bij 3-matrix.

Gerelateerd lezen

• Cofactor en minderjarigen van Matrix
• Transponeren van Matrix

Elementen die worden gebruikt om de inverse van de 3 × 3-matrix te vinden

Er worden hoofdzakelijk twee elementen gebruikt om de inverse van een 3 × 3-matrix te vinden:

• Adjunct van Matrix
• Determinant van Matrix

Adjunct van een 3 × 3-matrix

De adjunct van een matrix A wordt gevonden door de transpositie van de cofactormatrix van A te nemen. Om de adjoint van een matrix in detail te berekenen, volgt u de gegeven instructies.

Voor een 3 × 3-matrix is ​​de cofactor van elk element de bepalend van een 2 × 2-matrix gevormd door het verwijderen van de rij en kolom die dat element bevatten. Bij het vinden van cofactoren wissel je af tussen positieve en negatieve signalen.

Gegeven matrix A bijvoorbeeld:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

De Minor-matrix wordt als volgt verkregen:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

privé versus openbaar Java

Bereken de determinanten van de 2 × 2 matrices gevormd door diagonaal te vermenigvuldigen en de producten van links naar rechts af te trekken, d.w.z. Klein.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

De cofactormatrix is ​​dus:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Door de cofactormatrix te transponeren, verkrijgen we de adjunct-matrix.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant van een 3 × 3-matrix

Met hetzelfde voorbeeld als we hierboven hebben besproken, kunnen we de determinant van matrix A berekenen

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

kn

Bereken de determinant van matrix met behulp van de eerste rij,

Det A = 2(cofactor van 2) + 1(cofactor van 1) + 3(cofactor van 3)

Dat A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Dat A = 2 + 4 – 6

Dat A = 0

Je kunt controleren Truc om de determinant van een 3×3 matrix te berekenen

Inverse van 3 × 3 matrixformule

Om de inverse van een 3 × 3 matrix A te vinden, kun je de formule A-1 = (adj A) / (det A) gebruiken, waarbij:

• adj A is de adjunct-matrix van A.
• det A is de determinant van A.

Om A-1 te laten bestaan, mag det A niet gelijk zijn aan nul. Dit betekent:

git-status

• A^-1bestaat wanneer det A niet nul is (A is niet-singulier).
• A^-1bestaat niet als det A nul is (A is enkelvoud).

Hier zijn de stappen om de inverse van een 3 × 3-matrix te vinden, met hetzelfde voorbeeld:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Stap 1: Bereken de adjunct-matrix (adj A).

Om de adjunct-matrix te vinden, vervangt u de elementen van A door hun overeenkomstige cofactoren.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Stap 2: Zoek de determinant van A (det A).

Om de determinant van A te berekenen, kun je de formule voor een 3 × 3-matrix gebruiken. In dit geval is det A = -8.

Stap 3: Pas formule A toe^-1= (adj A) / (det A) om de inverse matrix A te vinden^-1.

Verdeel elk element van de adjunct-matrix door de determinant van A:

A ^-1 = bijvoeglijk naamwoord A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

Over het vereenvoudigen van de breuken,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

De inverse van de 3 × 3-matrix vinden met behulp van rijbewerkingen

Om de inverse van een 3×3-matrix te vinden, kunt u deze stappen volgen:

Stap 1: Begin met de gegeven 3×3 Matrix A en creëer een identiteitsmatrix I van dezelfde grootte, door A aan de linkerkant en I aan de rechterkant van een uitgebreide matrix te plaatsen, gescheiden door een lijn.

Stap 2: Pas een reeks rijbewerkingen toe op de uitgebreide matrix aan de linkerkant om deze te transformeren in de identiteitsmatrix I. De matrix aan de rechterkant van de lijn, die A wordt^-1, is de inverse van de oorspronkelijke matrix A.

Kom meer te weten, Elementaire werking van matrices

Controleer ook

• Soorten matrixen
• Omkeerbare matrix
• Spoor van een matrix

Opgeloste voorbeelden van de inverse van een 3 × 3-matrix

Voorbeeld 1: Vind de inverse van

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Oplossing:

Kleine matrix van D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Kleine matrix van D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofactor van Matrix, dat wil zeggen X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponeren van Matrix X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nu zullen we de determinant van D vinden met behulp van de eerste rij:

Dat D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Dat D = 6+0+14

⇒ Dat D = 20

Inverse van Matrix D of D^-1= Aanpassing D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Voorbeeld 2: Vind de inverse van

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor van de Matrix E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofactor van Matrix E, dat wil zeggen X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Bijvoeglijk naamwoord E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Laten we nu de determinant van matrix E vinden met behulp van de eerste rij:

geblokkeerde nummers

Dat E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Dat E= -1 + 0 + 1

Dat E = 0

∴ Omdat de determinant van matrix E gelijk is aan 0, is dit de inverse van matrix E of E^-1is niet mogelijk.

Oefenvragen over de inverse van de 3 × 3-matrix

Q1. Bereken de inverse van de volgende 3×3-matrix:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Vraag 2. Zoek de inverse van matrix B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

c++ gesplitste tekenreeks

Q3. Bepaal of de Matrix C omkeerbaar is en, zo ja, bepaal de inverse ervan:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Bereken de inverse van matrix D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Vraag 5. Controleer voor matrix E of deze inverteerbaar is en zoek, als dat zo is, de inverse ervan:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverse van 3×3 Matrix – Veelgestelde vragen

1. Wat is het omgekeerde van een 3×3-matrix?

De inverse van een 3×3-matrix is ​​een andere matrix die, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke matrix, de identiteitsmatrix oplevert.

2. Waarom is het belangrijk om de inverse te vinden?

Het is essentieel voor het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen, transformaties en verschillende wiskundige bewerkingen.

3. Hoe bereken je de inverse van een 3×3 matrix?

Meestal vindt u de adjunct-matrix, controleert u de waarde van de determinant die niet nul is en past u een specifieke formule toe.

4. Wanneer bestaat de inverse van een 3×3-matrix niet?

Het bestaat niet als de determinant van de matrix nul is, waardoor deze singulier is.

5. Kan elke 3×3-matrix een inverse hebben?

Nee, alleen niet-singuliere matrices met een determinant die niet nul is, hebben inverse.

6. Wat is de rol van de adjunct-matrix bij het vinden van de inverse?

De aangrenzende matrix helpt bij het berekenen van de inverse door cofactoren voor elk element te verschaffen.

7. Op welke gebieden wordt het concept van 3×3 matrixinversie veel gebruikt?

Het concept van 3×3 Matrix-inversie wordt gebruikt in techniek, natuurkunde, computergraphics en verschillende wiskundige disciplines.

8. Hoe krijg ik de inverse van de 3×3 matrix?

Om de inverse van een 3×3-matrix te vinden, kun je deze stappen volgen:

• Bereken eerst de determinant van de matrix.
• Als de determinant niet gelijk is aan 0, ga dan verder met de volgende stap. Als deze 0 is, heeft de matrix geen inverse.
• Vind de matrix van minderjarigen door 3×3 matrices te maken voor elk element in de originele matrix, exclusief de rij en kolom van het element waarop u zich concentreert.
• Bereken de matrix van cofactoren door een patroon van plus- en mintekens toe te passen op de elementen van de matrix van minderjarigen.
• Transponeer de matrix van cofactoren door rijen met kolommen te verwisselen.
• Deel ten slotte de getransponeerde matrix van cofactoren door de determinant om de inverse van de 3×3-matrix te krijgen.