Op de onlangs opnieuw ontworpen SAT van 2016 is de inhoud van de wiskundesectie door het College Board onderverdeeld in vier categorieën: Heart of Algebra, Problem Solving and Data Analysis, Passport to Advanced Math en Additionele onderwerpen in wiskunde. Heart of Algebra is verantwoordelijk voor het grootste deel van de SAT-wiskundesectie (33% van de test) , dus je moet er goed op voorbereid zijn. In dit bericht bespreek ik de inhoud en vraagtypen van deze categorie, werk ik oefenproblemen uit en geef ik tips over hoe je deze vragen kunt beantwoorden.

Hart van de algebra: overzicht

Inhoud gedekt

Zoals de naam doet vermoeden, omvat Heart of Algebra algebra-inhoud, maar welke algebra-inhoud specifiek? Deze vragen hebben betrekking op:

• Lineaire vergelijkingen
• Systeem van vergelijkingen
• Absolute waarde
• Lineaire vergelijkingen grafisch weergeven
• Lineaire ongelijkheden en systemen van ongelijkheid

Ik zal hieronder op elk van deze inhoudsgebieden ingaan. Ik zal precies uitleggen wat je op elk gebied moet weten, en ik zal je door enkele oefenproblemen leiden.

OPMERKING: Alle oefenproblemen in dit artikel komen uit a echte College Board SAT-oefentest (Oefentest nr. 1).

Ik raad u aan dit artikel pas te lezen nadat u oefentoets #1 heeft afgelegd (dus ik verpest het niet voor je!). Als je Oefentest #1 nog niet hebt gedaan, maak dan een bladwijzer voor dit artikel en kom terug nadat je het hebt voltooid. Als je Oefentoets #1 al hebt gedaan, lees dan verder!

Kern van de algebra-vraagverdeling

Zoals ik aan het begin van het artikel al zei, vormt Heart of Algebra 33% van het wiskundegedeelte, wat neerkomt op 19 vragen. Er zijn er acht in sectie 3 (de wiskundetoets zonder rekenmachine) en 11 in sectie 4 (de wiskundetest met rekenmachine).

Hart van Algebra-vragen variëren qua presentatie. Omdat het er zo veel zijn, moest het college van bestuur de manier waarop ze je deze vragen stellen, verwarren. Je zult het zien meerkeuzevragen en grid-in Hart van Algebra-vragen. Dat mag gewoon krijgen een vergelijking(en) voorgeschoteld die moet worden opgelost of misschien wel een realistisch scenario als woordprobleem krijgen en een vergelijking(en) moeten maken om het antwoord te vinden.

De SAT-wiskundesectie presenteert vragen in volgorde van moeilijkheidsgraad (gedefinieerd door hoe lang het duurt voordat een gemiddelde student een probleem oplost en het percentage studenten dat de vraag correct beantwoordt). U zult in de hele sectie Hart van Algebra-vragen tegenkomen : de eenvoudige, 'gemakkelijke' zullen aan het begin van de meerkeuzevragen en grid-ins verschijnen, terwijl de meer uitdagende, waarbij je een vergelijking of vergelijkingen moet maken om op te lossen, tegen het einde verschijnen.

Ik zal voorbeelden geven van elk type vraag (makkelijk en moeilijk) terwijl we in de volgende sectie meer te weten komen over elk inhoudsgebied.

We zijn op weg om de algebra te veroveren!

Uitsplitsingen van inhoudsgebieden

Lineaire vergelijkingen

Vragen over lineaire vergelijkingen kunnen op een aantal manieren worden gepresenteerd. Bij de eenvoudiger vragen over lineaire vergelijkingen wordt u gevraagd een lineaire vergelijking op te lossen die u wordt gegeven. Bij de moeilijkere vragen over lineaire vergelijkingen wordt u gevraagd een lineaire vergelijking te schrijven die de gegeven situatie weergeeft.

Geen oefenproblemen met rekenmachines

Deze vraag luidt een van de eenvoudigste, gemakkelijkste en meest directe Heart of Algebra-vragen dat je zult zien. De vraag vraagt ​​je alleen om een ​​lineaire vergelijking op te lossen zonder deze in een situatie uit de echte wereld te plaatsen, waarbij je zowel de context als de vergelijking moet begrijpen.

Antwoord Verklaring:

Omdat $k=3$ kan men k in de vergelijking vervangen door 3, wat ${x-1}/{3}=3$ oplevert. Als u beide zijden van ${x-1}/{3}=3$ met 3 vermenigvuldigt, krijgt u $x-1=9$, en als u aan elke zijde 1 optelt, is het resultaat $x=10$. D is het juiste antwoord.

Tip:

Als u met deze vraag worstelde, kunt u deze ook oplossen door de antwoordkeuzes voor x in te voeren en te kijken welke werkte. Het aansluiten werkt, maar kost u meer tijd dan alleen het oplossen van de vergelijking.

Als je de vergelijking oplost om x te vinden, kun je je antwoord nog eens controleren door het vervolgens in te vullen. Als je je antwoordkeuze voor x invult, en beide kanten van de vergelijking zijn gelijk, weet je dat je het juiste antwoord hebt!

De volgende vraag luidt iets uitdagender omdat het je vraagt ​​om een ​​lineaire vergelijking te maken om het echte wereldscenario weer te geven dat het presenteert.

Antwoord Verklaring:

Er zijn twee manieren om dit probleem te benaderen.

Benadering 1: Het totale aantal door Armand verzonden berichten is gelijk aan zijn sms-snelheid (m sms'en/uur) vermenigvuldigd met de 5 uur die hij besteedde aan sms'en: m sms'en/uur × 5 uur = $ 5 miljoen $ sms'en. Op dezelfde manier is het totale aantal door Tyrone verzonden berichten gelijk aan zijn sms-snelheid (p sms'jes/uur), vermenigvuldigd met de 4 uur die hij besteedde aan sms'en: p sms'jes/uur × 4 uur = $4p$ sms'jes. Het totale aantal berichten verzonden door Armand en Tyrone is gelijk aan de som van het totale aantal berichten verzonden door Armand en het totale aantal berichten verzonden door Tyrone: $5m+4p$. C is het juiste antwoord.

Benadering 2: Kies nummers en sluit ze aan. Ik ga bijvoorbeeld nummers kiezen en zeg dat Armand 3 sms'jes per uur stuurt en Tyrone 10 sms'jes per uur. Op basis van de gegeven informatie: als Armand 5 uur sms't, verzond Armand (3 sms'jes per uur) (5 uur) sms'jes of 15 sms'jes; als Tyrone 4 uur lang sms't, stuurt Tyrone (10 sms'jes per uur) (4 uur) sms'jes of 40 sms'jes. Daarom is het totale aantal door Armand en Tyrone verzonden sms'jes $15+40=55$ sms'jes. Nu sluit ik de getallen die ik heb gekozen aan bij de antwoordkeuzes en kijk of het aantal sms'jes overeenkomt met 55 sms'jes, dus voor antwoord C: $5(3) +4(10)=15+40=55$ sms'jes. Daarom is C het juiste antwoord. OPMERKING: voor deze vraag was deze strategie langzamer, maar voor ingewikkeldere vragen kan dit een snellere en eenvoudigere aanpak zijn.

Tip:

Neem deze problemen stap voor stap. Bereken het totale aantal sms-berichten van Armand, bereken vervolgens het totale aantal sms-berichten van Tyrone en combineer ze vervolgens in één uitdrukking. Haast je niet om naar het definitieve antwoord te springen. Het kan zijn dat u onderweg een fout maakt.

Systemen van vergelijkingen

Vragen over systeemvergelijkingen zullen op vergelijkbare wijze worden gepresenteerd als vragen over lineaire vergelijkingen; Echter, ze zijn moeilijker omdat je nu meer stappen moet doen en/of een tweede vergelijking moet maken.

De eenvoudiger systeem van vergelijkingsvragen zal u vragen om één variabele op te lossen wanneer u twee vergelijkingen met twee variabelen krijgt.

De moeilijker systeem van vergelijkingsvragen vereist dat je een systeem van vergelijkingen schrijft om de gegeven situatie weer te geven en vervolgens één variabele oplost met behulp van de vergelijkingen die je hebt gemaakt.

Geen oefenproblemen met rekenmachines

Deze vraag is misschien wel de eenvoudigste, gemakkelijkste en meest eenvoudige systemen van vergelijkingsvragen dat je zult zien. Het stelt de vergelijkingen voor u op en vraagt ​​u eenvoudigweg om x op te lossen.

Antwoord Verklaring:

Het aftrekken van de linker- en rechterkant van $x+y=−9$ van de overeenkomstige zijden van $x+2y =−25$ geeft $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , wat gelijk is aan $y=−16$. Vervanging van $−16$ door $y$ in $x+y=−9$ geeft $x+(−16)=−9$, wat equivalent is aan $x=−9−(−16) =7$. Het juiste antwoord is 7.

Tip:

Inpluggen kan een goede optie zijn als u deze vraag in de meerkeuzelijst krijgt (wat hier niet het geval is). U had echter ook uw antwoord kunnen inpluggen om uw werk nog eens te controleren!

Hier is nog een vrij eenvoudig vraagstuk over het systeem van vergelijkingen, maar dat is het wel iets moeilijker omdat u het antwoord voor zowel x als y moet geven (wat meer kans op fouten creëert).

Antwoord Verklaring:

Het optellen van x en 19 aan beide zijden van $2y−x=−19$ geeft $x=2y+19$. Als je vervolgens $2y+19$ vervangt door x in $3x+4y=−23$, krijg je $3(2y + 19)+4y=−23$. Deze laatste vergelijking is equivalent aan $10y+57=−23$. Het oplossen van $10y+57=−23$ levert $y=−8$ op. Tenslotte geeft het vervangen van −8 door y in $2y−x=−19$ $2(−8)−x=−19$, of $x=3$. Daarom is de oplossing $(x, y)$ voor het gegeven stelsel vergelijkingen $(3, −8)$.

Tip:

Inpluggen zou ook een snelle manier zijn geweest om dit op te lossen! Wanneer u wordt gevraagd om beide variabelen op te lossen in een systeem-of-vergelijkingsvraag, probeer dan altijd in te pluggen!

Het volgende is een beetje moeilijker. Ook al krijg je de vergelijkingen, je moet nog steeds bepalen wat de vraag je stelt (welke variabele je moet oplossen), wat iets uitdagender is omdat je de vraag stelt aan de hand van een realistisch scenario. Je moet het ook oplossen met hoofdrekenen (aangezien het in het gedeelte zonder rekenmachine staat).

Antwoord Verklaring:

Om de prijs per pond rundvlees te bepalen wanneer deze gelijk was aan de prijs per pond kip, bepaalt u de waarde van x (het aantal weken na 1 juli) toen de twee prijzen gelijk waren. De prijzen waren gelijk als $b=c$; dat wil zeggen, wanneer $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Deze laatste vergelijking is gelijk aan $0,60=0,15x$, en dus $x={0,6}/{0,15}=4$. Om vervolgens $b$, de prijs per pond rundvlees, te bepalen, vervangt u $x$ door 4 in $b=2,35+0,25x$, wat $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dollar per pond oplevert. Daarom is D het juiste antwoord.

Tip:

Neem de tijd om elke stap te doorlopen. Het is gemakkelijk om een ​​kleine fout te maken en het verkeerde antwoord te krijgen.

Rekenmachine oefenprobleem

Het volgende is een van de moeilijkste Heart of Algebra-vragen. Gebaseerd op het scenario uit de echte wereld dat u in de vraag krijgt, moet u twee vergelijkingen maken en deze vervolgens oplossen.

Antwoord Verklaring:

Om het aantal verkochte salades te bepalen, schrijft en lost u een systeem van twee vergelijkingen op. Laat $x$ gelijk zijn aan het aantal verkochte salades en laat $y$ gelijk zijn aan het aantal verkochte drankjes. Omdat het aantal salades plus het aantal verkochte drankjes gelijk is aan 209, moet de vergelijking $x+y=209$ gelden. Aangezien elke salade 6,50 kostte, elke frisdrank 2,00 en de totale opbrengst 836,50 was, moet ook de vergelijking $6,50x+2,00y=836,50$ gelden. De vergelijking $x+y=209$ is gelijk aan $2x+2y=418$, en het aftrekken van elke zijde van $2x+2y=418$ van de respectievelijke zijde van $6,50x+2,00y=836,50$ geeft $4,5x=418,50 $. Het aantal verkochte salades x was dus $x={418,50}/{4,50}=93$. B is dus het juiste antwoord.

Tip:

Neem deze problemen stap voor stap. Schrijf de vergelijking op voor het totale aantal verkochte salades en drankjes, bereken vervolgens de vergelijking voor de omzet en los deze vervolgens op. Haast je niet, anders maak je misschien een fout.

Absolute waarde

Er is doorgaans slechts één vraag over de Absolute Waarde in de SAT-wiskundesectie. De vraag is meestal vrij eenvoudig en duidelijk, maar je moet wel de regels van de absolute waarde kennen om hem correct te kunnen beantwoorden. Alles wat een absolute waarde is, wordt tussen haakjes gezet met absolute-waardetekens die er als volgt uitzien: || Bijvoorbeeld $|-4|$ of $|x-1|$

Een absolute waarde is een weergave van de afstand langs een getallenlijn, vooruit of achteruit.

Dit betekent dat alles wat in het teken van de absolute waarde staat, wordt positief omdat het de afstand langs een getallenlijn vertegenwoordigt en het onmogelijk is om een ​​negatieve afstand te hebben. Op de bovenstaande getallenlijn is -2 bijvoorbeeld 2 verwijderd van 0. Alles binnen de absolute waarde wordt positief.

Dit betekent ook dat een absolute-waardevergelijking altijd twee oplossingen heeft . $|x-1|=2$ heeft bijvoorbeeld twee oplossingen: $x-1=2$ en $x-1=-2$. Vervolgens los je elke afzonderlijke vergelijking op om de twee oplossingen te vinden, $x=3,-1$.

Bij het werken aan problemen met absolute waarden, onthoud dat je twee afzonderlijke oplossingen moet creëren, de positieve en de negatieve, zoals we hierboven hebben gedaan.

Rekenmachine oefenprobleem

Antwoord Verklaring:

Als de waarde van $|n−1|+1$ gelijk is aan 0, dan is $|n−1|+1=0$. Als je van beide kanten van deze vergelijking 1 aftrekt, krijg je $|n−1|=−1$. De uitdrukking $|n−1|$ aan de linkerkant van de vergelijking is de absolute waarde van $n−1$, en, zoals ik net zei, de absolute waarde kan nooit een negatief getal zijn, omdat het de afstand vertegenwoordigt. $|n−1|=−1$ heeft dus geen oplossing. Er zijn dus geen waarden voor n waarvoor de waarde van $|n−1|+1$ gelijk is aan 0. D is het juiste antwoord.

Tip:

Onthoud de regels van absolute waarde (deze is altijd positief!). Als je de regels onthoudt, zou je de vraag goed moeten stellen!

Lineaire vergelijkingen grafisch weergeven

Deze vragen testen uw vermogen om een ​​grafiek te lezen en deze in de vorm $y=mx+b$ te interpreteren. Even een opfriscursus: $y=mx+b$ is de helling-snijpuntvergelijking van een lijn, waarbij m de helling voorstelt en b het y-snijpunt.

Bij deze vragen krijgt u doorgaans de grafiek van een lijn te zien en moet u bepalen wat de helling en het y-snijpunt zijn om de vergelijking van de lijn te kunnen schrijven.

Rekenmachine oefenprobleem

Antwoord Verklaring:

De relatie tussen h en C wordt weergegeven door elke vergelijking van de gegeven lijn. Het C-snijpunt van de lijn is 5. Omdat de punten $(0, 5)$ en $(1, 8)$ op de lijn liggen, is de helling van de lijn ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Daarom kan de relatie tussen h en C worden weergegeven door $C=3h+5$, de vergelijking van de helling en het snijpunt van de lijn. C is het juiste antwoord.

Tip:

Laat het helling-snijpunt-formulier ($y=mx+b$) en de hellingsvergelijking $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ onthouden. Weet wat elke variabele in de vergelijkingen betekent. Als u dit allemaal weet, zou u elk grafisch probleem met lineaire vergelijkingen dat u voorgelegd krijgt, moeten kunnen oplossen.

Lineaire ongelijkheden en systemen van lineaire ongelijkheden

Dit zijn misschien wel de meest uitdagende Heart of Algebra-vragen omdat veel studenten moeite hebben als variabelen worden gecombineerd met ongelijkheden. Als je een snelle maar diepgaande opfriscursus over ongelijkheid nodig hebt, bekijk dan onze ongelijkheidsgids.

Deze vragen verschijnen meestal aan het einde van de meerkeuzevragen en raster-ins in elke sectie. Deze vragen zullen worden gepresenteerd als eenvoudige, reeds opgezette ongelijkheden (u wordt niet gevraagd ongelijkheden te creëren, noch krijgt u een realistisch scenario voorgeschoteld waarbij gebruik wordt gemaakt van ongelijkheden). Hoewel ze op een eenvoudige manier worden gepresenteerd, zijn deze vragen uitdagend en kun je gemakkelijk een fout maken, dus neem de tijd!

Rekenmachine oefenproblemen

Antwoord Verklaring:

Als je $3x$ aftrekt en 3 optelt aan beide zijden van $3x−5≥4x−3$, krijg je $−2≥x$. Daarom is x een oplossing voor $3x−5≥4x−3$ als en slechts als x kleiner is dan of gelijk is aan −2 en x is GEEN oplossing voor $3x−5≥4x−3$ als en slechts als x groter is dan −2. Van de gegeven keuzes is slechts −1 groter dan −2 en kan daarom geen waarde van x zijn. A is het juiste antwoord.

Je kunt dit ook proberen te beantwoorden door de antwoordkeuzes in te pluggen en te kijken welke niet werkte. Als je A aansluit op de ongelijkheid, krijg je $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Als je de ongelijkheid vereenvoudigt, krijg je -8≥-7, wat niet waar is, dus A is het juiste antwoord.

Tip

Denk aan de regels van ongelijkheid! Neem de tijd om elke stap te doorlopen, zodat u geen fouten maakt. Vergeet ook niet om de antwoordkeuzes in te voeren om het juiste antwoord te vinden!

Laten we eens naar een ander voorbeeld kijken.

Antwoord Verklaring:

Omdat (0, 0) een oplossing is voor het systeem van ongelijkheden, moet het vervangen van 0 voor x en 0 voor y in het gegeven systeem resulteren in twee echte ongelijkheden. Na deze vervanging, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>B. Daarom is a positief en b negatief. Daarom a > b. Keuze A is juist.

Tip:

Behandel dit systeem van ongelijkheden met vier variabelen op dezelfde manier als je een systeem van ongelijkheden met twee variabelen zou behandelen. Onthoud dat als (0,0) een oplossing is, dit betekent dat wanneer x=0, y=0 is.

4 sleutelstrategieën voor Heart of Algebra

Ik heb de strategieën om deze vragen aan te pakken in dit artikel verspreid in de 'tip'-secties, maar ik zal ze nu hier samenvatten.

Strategie #1: Onthoud de regels en formule

Je moet de regels van ongelijkheid kennen, de regels van absolute waarde en de formule voor de snijhellingversie van een lijn ($y=mx+b$) om dit soort algebravragen correct te kunnen beantwoorden. Zonder de regels en formule zijn deze vragen vrijwel onmogelijk.

Als je meer hulp nodig hebt bij een van de concepten, bekijk dan onze uitgebreide handleidingen voor lineaire vergelijkingen, stelsels van vergelijkingen, absolute waarde, snijpunt-hellingsvorm, en lineaire ongelijkheden en stelsels van ongelijkheden.

Strategie #2: antwoorden inpluggen

Bij de meerkeuzevragen zou dat wel moeten controleer altijd of u de antwoordkeuzes kunt aansluiten op de gegeven vergelijking(en) of ongelijkheid om het juiste antwoord te vinden . Soms zal deze aanpak veel eenvoudiger zijn dan proberen de vergelijking op te lossen.

Zelfs als u merkt dat het intoetsen van antwoorden u langzamer maakt, kunt u op zijn minst overwegen om het te gebruiken om uw werk te controleren. Voer de antwoordkeuze in die u vindt en kijk of deze resulteert in een evenwichtige vergelijking of in het corrigeren van ongelijkheden. Als dat zo is, weet je dat je het juiste antwoord hebt!

Sluit hem aan! Sluit hem aan!

Strategie #3: cijfers aansluiten

Als het inpluggen van antwoorden geen mogelijkheid is, is het inpluggen van cijfers vaak wel een mogelijkheid, zoals in vraag 2 hierboven. Wanneer u getallen kiest om in te pluggen, raad ik u over het algemeen niet aan om -1, 0 of 1 te gebruiken (aangezien deze tot verkeerde antwoorden kunnen leiden). Zorg ervoor dat u de vraag leest om te zien welke getallen u moet kiezen. In vraag 2 vertegenwoordigden de cijfers bijvoorbeeld het aantal verzonden sms-berichten. U moet dus geen negatief getal gebruiken om het aantal sms-berichten weer te geven, aangezien het onmogelijk is om een ​​negatief aantal sms-berichten te verzenden.

Voor ongelijkheden is dit vooral belangrijk; vaak zal de vraag luiden: 'Het volgende geldt voor alle $x>0$.' Als dat het geval is, kunt u 0 of -5 niet invoeren; je kunt alleen getallen groter dan 0 invoeren, omdat dat de parameter is die door de vraag is ingesteld.

Strategie #4: Werk stap voor stap

Voor Heart of Algebra-vragen moet u de tijd nemen om elke stap te doorlopen. Deze vragen kunnen uit 5, 10 of 15 stappen bestaan, en u moet de tijd nemen om ervoor te zorgen dat u bij stap 3 geen kleine fout maakt die tot een onjuist antwoord zal leiden. Jij weet waar je het over hebt, dus laat kleine fouten je geen punten kosten!

Wat is het volgende?

Nu je weet wat je kunt verwachten bij Heart of Algebra-vragen, zorg ervoor dat je erop voorbereid bent alle andere wiskundeonderwerpen je zult het zien op de SAT. Al onze wiskundegidsen leiden je door strategieën en oefenproblemen voor alle onderwerpen die in de wiskundesectie worden behandeld, van gehele getallen tot verhoudingen, van cirkels tot polygonen (en meer!).

Ben je ongerust over de testdag? Zorg ervoor dat je precies weet wat je moet doen en meenemen om je gerust te stellen en je zenuwen te kalmeren voordat het tijd is om je SAT af te leggen.

Bijna geen tijd meer voor de SAT-wiskundesectie? Zoek niet verder dan onze gids om u te helpen de klok te verslaan en uw SAT-wiskundescore te maximaliseren.

Vissen om een ​​perfecte score te behalen? Bekijk onze gids voor het verkrijgen van een perfecte 800 , geschreven door een perfecte scorer.