Bepaler van 4×4-matrix: Determinant van een matrix is ​​een fundamenteel concept in de lineaire algebra, essentieel voor het afleiden van een enkele scalaire waarde uit de matrix. 4×4 is een vierkante matrix met 4 rijen en 4 kolommen waarvan de determinant kan worden gevonden met een formule die we zullen bespreken.

Dit artikel zal verkennen de definitie van een 4×4-matrix en gids door het stapsgewijze proces voor het berekenen van de determinant van de 4×4-matrix. Daarnaast onderzoekt het de praktische toepassingen van deze wiskundige bewerking.

Inhoudsopgave

• Wat is de determinant van een matrix?
• Bepaler van de 4×4-matrix
• Eigenschappen van 4×4-matrix
• Bepaler van de 4 × 4 matrixformule
• Hoe vind je de determinant van een 4×4-matrix?
• Bepalende factor voor 4×4 matrixvoorbeelden
• Bepalend voor 4×4 Matrix-oefenvragen

Wat is de determinant van een matrix?

De determinant van een matrix is een scalaire waarde die kan worden berekend uit de elementen van a vierkante matrix . Het biedt belangrijke informatie over de matrix, zoals of deze inverteerbaar is en de schaalfactor van lineaire transformaties die door de matrix worden weergegeven.

Verschillende methoden, zoals cofactor uitbreiding of rijreductie kan worden gebruikt om de determinant van een matrix te vinden, afhankelijk van de grootte en structuur van de matrix. Eenmaal berekend, wordt de determinant aangegeven door het det-symbool of door verticale balken die de matrix omsluiten.

Bepaler van de 4×4-matrix

Een 4×4-matrix is ​​een rechthoekige reeks getallen, gerangschikt in vier rijen en vier kolommen. Elk element in de matrix wordt geïdentificeerd door zijn rij- en kolompositie. De algemene vorm van een 4×4-matrix ziet er als volgt uit:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

Waar een_ijvertegenwoordigt het element dat zich in de i bevindt^erij en j^ekolom van de matrix.

4×4-matrices worden vaak aangetroffen op verschillende gebieden, zoals computergraphics, natuurkunde, techniek en wiskunde. Ze worden gebruikt om transformaties weer te geven, systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen en bewerkingen uit te voeren in lineaire algebra.

wiskundeles java

Eigenschappen van 4×4-matrix

Hier zijn enkele eigenschappen van een 4×4-matrix uitgelegd in vereenvoudigde bewoordingen:

• Vierkante matrix: Een 4×4-matrix heeft een gelijk aantal rijen en kolommen, waardoor het een vierkante matrix is.
• Bepalend: De determinant van een 4×4-matrix kan worden berekend met behulp van methoden zoals cofactoruitbreiding of rijreductie. Het biedt informatie over de invertibiliteit van de matrix en de schaalfactor voor lineaire transformaties.
• Omgekeerd: Een 4×4-matrix is ​​dat wel omkeerbaar als de determinant niet nul is. De inverse van een 4×4-matrix maakt het mogelijk om systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen en transformaties ongedaan te maken die door de matrix worden weergegeven.
• Transponeren: De transponering van een 4×4-matrix wordt verkregen door de rijen en kolommen uit te wisselen. Het kan nuttig zijn bij bepaalde berekeningen en transformaties.
• Eigenwaarden en Eigenvectoren: 4×4-matrices kunnen worden geanalyseerd om hun te vinden eigenwaarden en eigenvectoren , die eigenschappen van de matrix vertegenwoordigen onder lineaire transformaties.
• Symmetrie: Afhankelijk van de specifieke matrix kan deze symmetrie-eigenschappen vertonen, zoals symmetrisch, scheef-symmetrisch of geen van beide.
• Matrixbewerkingen: Verschillende bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en scalaire vermenigvuldiging kunnen worden uitgevoerd op 4×4-matrices volgens specifieke regels en eigenschappen.

Lees gedetailleerd: Eigenschappen van determinanten

Bepaler van de 4 × 4 matrixformule

Bepaler van elke 4 × 4-matrix, dwzegin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , kan worden berekend met de volgende formule:

het(A) = een _elf · het (A _elf ) - A ₁₂ · het (A ₁₂ ) + een ₁₃ · het (A ₁₃ ) - A ₁₄ · het (A ₁₄ )

Waar een_ijgeeft de submatrix aan door i te verwijderen^erij en j^ekolom.

Hoe vind je de determinant van een 4×4-matrix?

Om de determinant van een 4×4-matrix te vinden, kun je verschillende methoden gebruiken, zoals uitbreiding met minderjarigen, rijreductie of het toepassen van specifieke eigenschappen.

Een veelgebruikte methode is het gebruik van uitbreiding door minderjarigen, waarbij u uitbreidt langs een rij of kolom door elk element te vermenigvuldigen met zijn cofactor en de resultaten bij elkaar op te tellen. Dit proces gaat recursief door totdat je een 2×2 submatrix bereikt, waarvoor je direct de determinant kunt berekenen. Om te begrijpen hoe u de determinant van een 4×4-matrix kunt vinden, kunt u een voorbeeld bekijken.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Stap 1: Breid uit langs de eerste rij:

het(A) = 2 · het(A _elf ) – 1 · het(A ₁₂ ) + 3 · het(A ₁₃ ) – 4 · het(A ₁₄ )

Waar een_ijgeeft de submatrix aan die wordt verkregen door het verwijderen van de i-de rij en de j-de kolom.

Stap 2: Bereken de determinant van elke 3×3 submatrix.

Voor een_elf

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_elf| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_elf| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_elf| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_elf| = 10 + 26 + 4= 40

Voor een₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

Voor een₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22= 30

Voor een₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

Stap 3: Vervang de determinanten van de 3×3 submatrices in de uitbreidingsformule:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Stap 4: Bereken de uiteindelijke determinant:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

het(A) = 48

De determinant van de gegeven 4×4-matrix is ​​dus 48.

Controleer ook

• Determinant van 2×2 matrix
• Determinant van de 3×3-matrix

Bepalende factor voor 4×4 matrixvoorbeelden

Voorbeeld 1: EEN =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

r in c-programmering

Oplossing:

Eerste Uitbreiden langs de eerste rij:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Bereken nu de determinant van elke 3×3 submatrix.

Voor een _elf ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

Voor een ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

hoe u toegang krijgt tot iCloud-foto's

Voor een ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

Voor een ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

Indiase actrice Rani Mukerji

= -8 – 5 + 0

= -13

Vervang nu de determinanten van de 3×3 submatrices in de uitbreidingsformule:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

De determinant van matrix (A) is dus 24.

Voorbeeld 2: Bereken de determinant van de matrixA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Oplossing:

Om de determinant van de matrix ( A ) te vinden, gebruiken we de methode van uitbreiding door minderjarigen langs de eerste rij:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Laten we nu de determinanten van de 3×3 submatrices berekenen:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Vervang nu deze determinanten terug in de uitbreidingsformule:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

De determinant van matrix (A) is dus det(A) = -120.

Voorbeeld 3: Zoek de determinant van de matrix B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Oplossing:

Om de determinant van matrix ( B ) te vinden, gebruiken we de methode van uitbreiding door minderjarigen langs de eerste rij:

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Laten we nu de determinanten van de 3×3 submatrices berekenen:

np.betekenen

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Vervang nu deze determinanten terug in de uitbreidingsformule:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ alles

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

De determinant van matrix (B) is dus det(B) = -19

Bepalend voor 4×4 Matrix-oefenvragen

Vraag 1: Bereken de determinant van de volgende 4×4-matrix:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Vraag 2: Zoek de determinant van de matrix:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Vraag 3: Bereken de determinant van de volgende 4×4-matrix:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Vraag 4: Bepaal de determinant van de matrix:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

Vraag 5: Zoek de determinant van de matrix: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Veelgestelde vragen over de determinant van de 4×4-matrix

Hoe vind je de determinant van een 4×4-matrix?

Om de determinant van een 4×4-matrix te vinden, kun je verschillende methoden gebruiken, zoals cofactorexpansie of rijreductietechnieken.

Wat is de determinant van een 4×4 identiteitsmatrix?

De determinant van een 4×4 identiteitsmatrix is ​​1, aangezien het een speciaal geval is waarin alle diagonale elementen 1 zijn en de rest 0.

Hoe vind je de determinant van een 4×4-matrix met behulp van cofactorexpansie?

Het bepalen van de determinant van een 4×4-matrix met behulp van cofactorexpansie houdt in dat deze wordt opgesplitst in kleinere 3×3-matrices, de cofactorformule wordt toegepast en de producten worden opgeteld.

Wat is de formule van determinant?

De formule voor de determinant omvat het optellen van de producten van elementen en hun cofactoren in elke rij of kolom, rekening houdend met hun tekens.

Kan een determinant negatief zijn?

Ja, determinanten kunnen negatief, positief of nul zijn, afhankelijk van de specifieke matrix en zijn eigenschappen.

Kan een 4×4-matrix een inverse hebben?

Een 4×4-matrix kan een inverse hebben als de determinant niet nul is; anders is het enkelvoud en mist het een inverse.

Hoe laat je zien dat een 4×4-matrix inverteerbaar is?

Om aan te tonen dat een 4×4-matrix inverteerbaar is, bevestig je dat de determinant niet nul is, wat aangeeft dat er een inverse bestaat, en gebruik je aanvullende criteria zoals rijreductie om de invertibiliteit te verifiëren.