Determinant is een fundamenteel concept in de lineaire algebra dat wordt gebruikt om een ​​enkele scalaire waarde voor de gegeven matrix te vinden. In dit artikel wordt stap voor stap uitgelegd wat een 3 × 3-matrix is ​​en hoe je de determinant van een 3 × 3-matrix kunt berekenen, evenals de toepassingen ervan. Of je nu een student bent die lineaire algebra leert of een liefhebber bent die op zoek is naar een dieper inzicht in matrixbewerkingen, het begrijpen van de determinant van een 3 × 3-matrix is ​​een waardevolle vaardigheid om te verwerven.

Wat is de determinant van de matrix?

Determinant van een matrix is een enkel getal berekend op basis van een vierkante matrix. Op het gebied van lineaire algebra worden determinanten gevonden door de waarden binnen de vierkante matrix te gebruiken. Dit getal fungeert als een schaalfactor en beïnvloedt hoe de matrix transformeert. Determinanten zijn waardevol voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, het vinden van de inverse van een matrix en verschillende calculusbewerkingen.

Wat is 3×3-matrix?

Een 3×3-matrix is ​​a Matrix waarin het aantal rijen en kolommen beide gelijk zijn aan 3. Omdat het aantal rijen en kolommen gelijk is, is 3 × 3 een vierkante matrix van de orde 3 × 3. Een matrix is ​​als een tabel gemaakt van getallen, georganiseerd in rijen en kolommen. Het wordt gebruikt voor het opslaan en verwerken van gegevens op het gebied van de wiskunde en andere vakgebieden. Terwijl een 3 × 3-matrix een specifiek type matrix is ​​dat uit drie rijen en drie kolommen bestaat. Het kan worden weergegeven als:

3 × 3-matrix

Eigenschappen van 3 × 3-matrix

Net als andere matrices hebben 3 × 3-matrices ook enkele belangrijke eigenschappen.

• Vierkante matrix : Een 3×3-matrix heeft drie rijen en drie kolommen, waardoor het een vierkante matrix is.

• Bepalend: Een 3×3-matrix heeft een determinant, een numerieke waarde die cruciaal is voor het oplossen van vergelijkingen en het vinden van inverse.

• Matrix vermenigvuldiging: Je kunt een 3×3-matrix vermenigvuldigen met een andere matrix als het aantal kolommen in de eerste matrix overeenkomt met het aantal rijen in de tweede.

• Omgekeerd: Een 3 × 3-matrix kan een inverse hebben als de determinant niet nul is. De inverse matrix levert, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke matrix, de identiteitsmatrix op.

Bepaler van de 3 × 3-matrixformule

Er bestaan ​​verschillende methoden om de determinant van een matrix te berekenen. De meest gebruikelijke benadering is het opsplitsen van een gegeven 3×3-matrix in kleinere 2×2-determinanten. Dit vereenvoudigt het proces van het vinden van de determinant en wordt veel gebruikt in de lineaire algebra.

Laten we een vierkante matrix van 3 × 3 nemen die is geschreven als:

Om de determinant van matrix A te berekenen, d.w.z. |A|.

Vouw de matrix uit langs de elementen van de eerste rij.

Daarom,

Hoe vind je de determinant van een 3×3-matrix?

Laten we de berekening van een 3 × 3-matrix begrijpen met een voorbeeld. Voor de gegeven 3 × 3-matrix hieronder.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Stap 1: Kies een referentierij of -kolom

Selecteer een rij en kolom om te beginnen. Stel dat we in dit voorbeeld het eerste element (2) als referentie nemen om de determinant van de 3 × 3-matrix te berekenen.

Dus uitbreiden langs rij R₁

Stap 2: Streep rij en kolom door

Verwijder de gekozen rij en kolom om deze te vereenvoudigen in een 2 × 2 matrix.

2×2-matrix

Stap 3: Zoek de determinant van de 2 × 2 matrix

Zoek de determinant van de 2 × 2-matrix met behulp van de formule

Determinant = (a × d) – (b × c)

Kruis vermenigvuldigen

Hier geldt a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

door deze waarden in de bovenstaande determinantformule te plaatsen, krijgen we

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Bepalende factor = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant van de 2 × 2 matrix = 1

scriptshell uitvoeren

Stap 4: Vermenigvuldig met het gekozen element

Vermenigvuldig de determinant van de 2 × 2-matrix met het gekozen element uit de referentierij (in dit geval 2,1 en 3):

eerste element = 2 × 1 = 2

Stap 5: Herhaal dit proces voor het tweede element in de gekozen referentierij

Voor tweede element

Vind de determinant voor het tweede element 1 door de waarden van de 2×2 matrix in de formule te plaatsen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Hier geldt a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Bepalende factor = 6

Vermenigvuldig nu de determinant van de 2 × 2 matrix met het gekozen element uit de referentierij (in dit geval 1):

tweede element = 1 × 6 = 6

Stap 6: Herhaal dit proces voor het derde element in de gekozen referentierij

Voor het derde element

Vind de determinant voor het derde element 3 door de waarden van de 2×2 matrix in de formule te plaatsen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Hier geldt a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

c++ int naar tekenreeks

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Vermenigvuldig nu de determinant van de 2×2 matrix met het gekozen element uit de referentierij (in dit geval 3):

tweede element = 3 × (-4) = -12

Stap 7: Formule gebruiken

Tel alle resultaten uit stap 4, 5 en 6 bij elkaar op

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 is de determinant van de 3 × 3-matrix.

Toepassing van de determinant van een 3 × 3-matrix

Determinant van een matrix kan worden gebruikt om de inverse te vinden en het systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen. Daarom leren we de inverse van de 3 × 3 Matrix te vinden en ook het systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van de regel van Cramer, waarbij gebruik wordt gemaakt van de determinant van de 3 × 3 Matrix.

Inverse van 3 × 3-matrix

De formule om de inverse van een vierkante matrix A te vinden is:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Waar,

• A-1 is de inverse van matrix A .
• Det(A) vertegenwoordigt de determinant van matrix A.
• adj(A) staat voor het adjugaat van matrix A

In eenvoudige bewoordingen kunt u deze stappen volgen om de inverse van een matrix te vinden:

Stap 1. Bereken de determinant van matrix A.

Stap 2. Zoek het adjugaat van matrix A.

Stap 3. Vermenigvuldig elk element in het adjugaat met 1/det(A).

Deze formule wordt gebruikt voor vierkante matrices (matrices met hetzelfde aantal rijen en kolommen) en gaat ervan uit dat de determinant niet nul is, wat een noodzakelijke voorwaarde is voor een matrix om een ​​inverse te hebben.

De regel van Cramer

De regel van Cramer biedt een formule om een ​​stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van determinanten. Voor een systeem van lineaire vergelijkingen met n variabelen worden gegeven in de vorm van

BIJL=B

Waar,

• A = Coëfficiënt van de vierkante matrix
• X = Kolommatrix met variabelen
• B = Kolommatrix met constanten

Beschouw het volgende systeem van lineaire vergelijkingen

A₁x + b₁j + c₁z + . . . = d₁

A₂x + b₂j + c₂z + . . . = d₂

. . .

A_Nx + b_Nj + c_Nz + . . . = d_N

De variabelen x, y, z, … worden bepaald met behulp van de volgende formules:

• x = D_X/D
• y = D_En/D
• z = D_Met/D

Waar:

• D is de determinant van de coëfficiëntenmatrix.
• D_Xis de determinant van de matrix die wordt verkregen door de coëfficiënten van x te vervangen door de constanten aan de rechterkant.
• D_Enis de determinant van de matrix die wordt verkregen door de coëfficiënten van y te vervangen
• D_Metis de determinant van de matrix die wordt verkregen door de coëfficiënten van z te vervangen

De regel van Cramer is van toepassing wanneer de determinant van de coëfficiëntenmatrix D niet nul is. Als D = 0, kan de regel niet worden toegepast die ofwel geen oplossing ofwel oneindig veel oplossingen aangeeft, afhankelijk van het specifieke geval.

Controleer ook

• Soorten matrixen
• Systeem van lineaire vergelijkingen met drie variabelen
• Matrixoperaties

Determinant van 3 x 3 matrix opgeloste voorbeelden

Voorbeeld 1: Vind de determinant van matrix A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant van A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinant van A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant van A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant van A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant van A =-44+11

∴ Determinant van A, d.w.z. |A| = (-33)

Voorbeeld 2: Vind de determinant van matrix B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Detrminant van B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

java vervang alles

⇒ Determinant van B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant van B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinant van B =6-12

⇒ Determinant van B = (-6)

∴ Determinant van B, d.w.z. |B| = 6

Voorbeeld 3: Vind de determinant van matrix C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant van matrix C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant van C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant van C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant van C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant van C = 26

∴ Determinant van C, d.w.z. |C| = 26

Voorbeeld 4: Los het gegeven systeem van vergelijkingen op met behulp van de regel van Cramer

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Oplossing:

Stap 1: Zoek eerst de determinant D van de coëfficiëntenmatrix.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Over het oplossen van deze determinant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Stap 2: Zoek nu de determinanten van D_X, D_Enen D_Met

Voor D_Xvervangen we de coëfficiënten van x door de constanten aan de rechterkant:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Voor D_En, vervangen we de coëfficiënten van y door de constanten:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Voor D_Metvervangen we de coëfficiënten van z door de constanten:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Over het oplossen van de determinant D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒D_X= -49 + 42 + 28

hash kaart

Zo, D_X= 21

Over het oplossen van de determinant D_En

D_En= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒D_En= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒D_En= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒D_En= -68 + 14 + 24

⇒D_En= -30

Over het oplossen van de determinant D_Met

D_Met= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒D_Met= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒D_Met= 2(10) – 3(2) – 7(14)

diner versus avondeten

⇒D_Met= 20 – 6 – 98

⇒D_Met= -84

Stap 3: Plaats nu de waarden van D, D_X, D_Enen D_Metin de regelformule van Carmer om de waarden van x,y en z te vinden.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_En/D = (-30)/(-19)

z = D_Met/D = (-84)/(-19)

Oefenvragen over de determinant van de 3 × 3-matrix

Q1. Bereken de determinant van de identiteitsmatrix:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Vraag 2. Zoek de determinant van de matrix:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Bepaal de determinant van de matrix:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Bereken de determinant van de matrix:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Vraag 5. Zoek de determinant van de matrix:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Vraag 6. Bepaal de determinant van de matrix:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant van 3 × 3 Matrix – Veelgestelde vragen

1. Wat is een matrix?

Een matrix is ​​een rechthoekige opstelling van getallen of elementen, georganiseerd in rijen en kolommen. Het wordt op verschillende gebieden gebruikt om wiskundige, wetenschappelijke en technische problemen weer te geven en op te lossen.

2. Wat is de betekenis van de determinant van een 3 × 3-matrix?

De determinant van een 3×3-matrix is ​​significant omdat deze informatie geeft over de eigenschappen van de matrix. Het helpt onder meer bepalen of een stelsel lineaire vergelijkingen een unieke oplossing heeft.

3. Wat is de definitie van Matrixdeterminant?

De determinant van een matrix is ​​een scalaire waarde die wordt berekend op basis van de elementen van de matrix en die informatie verschaft over de eigenschappen ervan. Het wordt gebruikt bij het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen, het vinden van inverses en meer.

4. Wat als de determinant van een 3 × 3-matrix nul is?

Als de determinant van een 3 × 3-matrix nul is, betekent dit dat de matrix singulier is en geen inverse heeft. In geometrische termen geeft dit aan dat de transformatie die wordt weergegeven door de matrix het gebied of volume tot nul instort. determinant is altijd nul. Dit is van toepassing op matrices van elke grootte.

5. Kan de determinant van een 3 × 3-matrix negatief zijn?

Ja, de determinant kan negatief zijn. Het teken van de determinant hangt af van de rangschikking van de matrixelementen en of deze volgens de berekeningsmethode resulteren in een positieve of negatieve waarde.

6. Wat zijn enkele praktische toepassingen voor het vinden van de determinant van een 3 × 3-matrix?

Determinanten worden op verschillende gebieden gebruikt, waaronder natuurkunde, techniek, computergraphics en economie. Ze helpen bij het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen, het analyseren van geometrische transformaties en het bepalen van de stabiliteit van dynamische systemen.