Rang van een matrix wordt gedefinieerd als de dimensie van de vectorruimte gevormd door zijn kolommen. Rang van een matrix is een heel belangrijk concept op het gebied van lineaire algebra, omdat het ons helpt te weten of we een oplossing voor het stelsel vergelijkingen kunnen vinden of niet. De rangorde van een matrix helpt ons ook de dimensionaliteit van zijn vectorruimte te kennen.
Dit artikel onderzoekt het concept van de rang van een matrix in detail, inclusief de definitie ervan, hoe de rang van de matrix kan worden berekend, evenals een nietigheid en de relatie ervan met rang. We zullen ook leren hoe we enkele problemen kunnen oplossen op basis van de rangorde van een matrix. Laten we dus eerst beginnen met de definitie van de rangorde van de matrix.
Inhoudsopgave
- Wat is de rangorde van de matrix?
- Hoe de rangorde van een matrix berekenen?
- Eigenschappen van rang van matrix
- Voorbeelden van rangorde van een matrix
- Veelgestelde vragen
Wat is de rangorde van de matrix?
Rang van een matrix is een fundamenteel concept in lineaire algebra, dat het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen in elke matrix meet. Met andere woorden, het vertelt u hoeveel rijen of kolommen van een matrix niet nuttig zijn en bijdragen aan de algemene informatie of dimensionaliteit van de matrix. Laten we de rangorde van een matrix definiëren.
Rang van een matrixdefinitie
De rangorde van een matrix wordt gedefinieerd als het aantal lineair onafhankelijke rijen in a Matrix .
hoe download je youtube-video's vlc
Het wordt aangegeven met ρ(A), waarbij A een willekeurige matrix is. Het aantal rijen van een matrix is dus een limiet voor de rangorde van de matrix, wat betekent dat de rangorde van de matrix het totale aantal rijen in een matrix niet kan overschrijden.
Als een matrix bijvoorbeeld van de orde 3×3 is, kan de maximale rangorde van een matrix 3 zijn.
Opmerking: Als een matrix alle rijen met nul elementen heeft, wordt de rangorde van een matrix nul genoemd.
Nietigheid van Matrix
In een gegeven matrix wordt het aantal vectoren in de nulruimte de nietigheid van de matrix genoemd, of het kan ook worden gedefinieerd als de dimensie van de nulruimte van de gegeven matrix.
Totaal aantal kolommen in een matrix = Rang + Nulliteit
Lees meer over Rang nietigheidsstelling .
Hoe de rangorde van een matrix berekenen?
Er zijn 3 methoden die kunnen worden gebruikt om de rangorde van een bepaalde matrix te bepalen. Deze methoden zijn als volgt:
- Kleine methode
- Echelon-formulier gebruiken
- Normale vorm gebruiken
Laten we deze methoden in detail bespreken.
Kleine methode
Voorwaarde: Minderjarigen van Matrix
Om de rangorde van een matrix te vinden met behulp van de minormethode, worden de volgende stappen gevolgd:
- Bereken de determinant van de matrix (zeg A). Als det(A) ≠ 0, dan is rangschikking van matrix A = orde van matrix A.
- Als det(A) = 0, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan de orde van de maximaal mogelijke niet-nul minor van de matrix.
Laten we begrijpen hoe we de rangorde van de matrix kunnen vinden met behulp van de secundaire methode.
Voorbeeld: Zoek de rangorde van de matrix
Gegeven
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}
- Stap 1: Bereken de determinant van A
het(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)
het(A) = -13 + 28 + 9 = 24
- Als det(A) ≠ 0, ρ(A) = orde van A = 3
Echelon-formulier gebruiken
De secundaire methode wordt erg vervelend als de orde van de matrix erg groot is. Dus in dit geval converteren we de matrix naar Echelon-vorm. Een matrix die in is bovenste driehoekige vorm of onderste driehoekige vorm wordt geacht in Echelon-vorm te zijn. Een matrix kan worden geconverteerd naar zijn Echelon-vorm door gebruik te maken van elementaire rijbewerkingen . De volgende stappen worden gevolgd om de rangorde van een matrix te berekenen met behulp van het Echelon-formulier:
- Converteer de gegeven matrix naar zijn Echelon-vorm.
- Het aantal niet-nul rijen verkregen in de Echelon-vorm van de matrix is de rangorde van de matrix.
Laten we begrijpen hoe we de rangorde van de matrix kunnen vinden met behulp van de secundaire methode.
Voorbeeld: Zoek de rangorde van de matrix
Gegeven
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}
- Stap 1: Converteer A naar echelonvorm
R toepassen2= R2– 4R1
R toepassen3= R3– 7R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix} R toepassen3= R3– 2R2
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Omdat matrix A zich nu in de vorm van een lagere driehoek bevindt, bevindt deze zich in de echelonvorm.
- Stap 2: Aantal niet-nul rijen in A = 2. Dus ρ(A) = 2
Normale vorm gebruiken
Er wordt gezegd dat een matrix de normale vorm heeft als deze tot de vorm kan worden teruggebracht
Laten we begrijpen hoe we de rangorde van de matrix kunnen vinden met behulp van de secundaire methode.
Voorbeeld: Zoek de rangorde van de matrix
Gegeven
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix} R toepassen2= R2- R1, R3= R3– 2R1en R4= R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix} R toepassen1= R1– 2R2en R4= R4- R2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R toepassen1= R1+ R3en R2= R2- R3
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} C toepassen4→ C4-2C1
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} A kan dus geschreven worden als
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .Dus ρ(A) = 3
Eigenschappen van rang van matrix
Eigenschappen van de rangorde van de matrix zijn als volgt:
- De rangorde van een matrix is gelijk aan de orde van de matrix als het een niet-singuliere matrix is.
- De rangorde van een matrix is gelijk aan het aantal niet-nul rijen als deze de Echelon-vorm heeft.
- De rangorde van de matrix is gelijk aan de volgorde van de identiteitsmatrix daarin als deze de normale vorm heeft.
- Rang van matrix
- Rang van matrix
- De rangorde van de identiteitsmatrix is gelijk aan de volgorde van de identiteitsmatrix.
- De rangorde van een nulmatrix of een nulmatrix is nul.
Lees verder,
statisch in c
- Soorten matrixen
- Transponeren van een matrix
- Omgekeerde van Matrix
Voorbeelden van rangorde van een matrix
EN Voorbeeld 1: Vind de rangorde van de matrix
Oplossing:
Gegeven
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix} Stap 1: Bereken de determinant van A
it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)
it(A) = 13 – 28 – 9 = -24
Als det(A) ≠ 0, ρ(A) = orde van A = 3
Voorbeeld 2. Zoek de rangorde van de matrix
Oplossing:
Gegeven
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix} Stap 1: Bereken de determinant van A
it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)
it(A) = -384 + 672 – 72 = 216
Als det(A) ≠ 0, ρ(A) = orde van A = 3
Voorbeeld 3. Zoek de rangorde van de matrix
string naar int java
Oplossing:
Gegeven
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix} Stap 1: Converteer A naar echelonvorm
R toepassen2= R2– 4R1
R toepassen3= R3– 7R1
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix} R toepassen3= R3– 2R2
A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Omdat matrix A zich nu in de vorm van een lagere driehoek bevindt, bevindt deze zich in de echelonvorm.
Stap 2: Aantal niet-nul rijen in A = 2. Dus ρ(A) = 2
Voorbeeld 4. Zoek de rangorde van de matrix
Oplossing:
Gegeven
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix} Stap 1: Converteer A naar echelonvorm
R toepassen2= R2– 4R1
R toepassen3= R3– 7R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix} R toepassen3= R3– 2R2
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix} Omdat matrix A zich nu in de vorm van een lagere driehoek bevindt, bevindt deze zich in de echelonvorm.
Stap 2: Aantal niet-nul rijen in A = 2. Dus ρ(A) = 2
Voorbeeld 5. Zoek de rangorde van de matrix
Oplossing:
Gegeven
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix} R toepassen2= R2- R1, R3= R3– 2R1en R4= R4– 3R1
A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix} R toepassen1= R1– 2R2en R4 = R4- R2
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R toepassen1= R1+ R3en R2= R2- R3
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} C toepassen4→ C4-2C1
A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} R toepassen1= R1/2, R2= R2/2, R3= R3/2
A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix} A kan dus geschreven worden als
egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} Dus ρ(A) = 3
Rang van een matrix – Veelgestelde vragen
Definieer de rang van een matrix.
De rangorde van een matrix wordt gedefinieerd als het aantal lineair onafhankelijke rijen in een matrix. Het wordt aangegeven met ρ(A), waarbij A een willekeurige matrix is.
Hoe vind je de rangorde van een matrix?
De rangorde van de matrix kan worden berekend met behulp van verschillende methoden, zoals:
- Kleine methode
- Echelon-formulier gebruiken
- Normale vorm gebruiken
Wat is de rangorde van Matrix als de determinant van Matrix niet gelijk is aan nul?
Als de determinant van een matrix nul is, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan de orde van de matrix.
Wanneer wordt er gezegd dat een matrix in Echelon-vorm is?
Van een matrix die de bovenste driehoekige vorm of de onderste driehoekige vorm heeft, wordt gezegd dat deze een echelonvorm heeft.
Wat is de normale vorm van de matrix?
Er wordt gezegd dat een matrix de normale vorm heeft als deze kan worden geschreven als
egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} waar ikRis de identiteitsmatrix van de orde ‘r’.
Wat is de rangorde van de nulmatrix?
De rang van een nulmatrix is nul.
Wat is de rangorde van een identiteitsmatrix?
De rangorde van een identiteitsmatrix is gelijk aan de orde van de matrix.
tekenreeks naar json converteren in Java
Wat is de relatie tussen nietigheid en rang van een matrix?
De relatie tussen nietigheid en rang van een matrix is:
Totaal aantal kolommen in een matrix = Rang + Nulliteit