Logaritmeregels of logregels zijn van cruciaal belang voor het vereenvoudigen van ingewikkelde formuleringen die logaritmische functies bevatten. Logboekregels maken het eenvoudiger om logaritmen te berekenen en te manipuleren in een verscheidenheid aan wiskundige en wetenschappelijke toepassingen. Van al deze logregels zijn drie van de meest voorkomende de productregel, de quotiëntregel en de machtsregel. Daarnaast hebben we veel regels van de logaritme, die we verder in het artikel zullen bespreken. In dit artikel worden alle regels voor logboeken, inclusief afgeleide en integrale, in detail onderzocht met de voorbeelden van logaritmeregels. Laten we dus beginnen met het leren kennen van alle regels die logaritmen hebben.

Inhoudsopgave

• Wat zijn logregels?
• Soorten logaritme
• Lijst met logaritmeregels
• Natuurlijke logboekregels
• Toepassingen van logaritme
• Productregel van logaritmen
• Logaritme machtsregel
• Quotiëntregel van logaritmen
• Opgeloste voorbeelden van logregels
• Oefenvragen over logregels

Wat zijn logregels?

Logaritme Regels in de wiskunde zijn de regels en wetten die worden gebruikt bij de vereenvoudiging en manipulatie van logaritmische functie-uitdrukkingen. Deze principes creëren relaties tussen exponentiële en logaritmische vormen en bieden een systematische techniek om ingewikkelde logaritmische berekeningen uit te voeren.

De belangrijkste regels zijn als volgt: productregel : waarmee we een product binnen een logaritme kunnen verdelen in een som van afzonderlijke logaritmen; quotiënt regel : waarmee we een quotiënt binnen een logaritme kunnen verdelen in een verschil van logaritmen; machtsregel: waarmee we exponenten uit een logaritme kunnen extraheren; basiswisselregel of wijziging van de basisregel : waarmee we de basis van een logaritme kunnen veranderen.

Deze wetten zijn cruciaal in veel wiskundige en wetenschappelijke toepassingen, waardoor logaritmen een waardevol hulpmiddel zijn voor het oplossen van vergelijkingen, het modelleren van exponentiële groei en het analyseren van grote hoeveelheden gegevens.

Soorten logaritme

Meestal hebben we te maken met twee soorten logaritmen:

• Gemeenschappelijke logaritme
• Natuurlijke logaritme

Opmerking: Er kan een logaritme zijn met elk reëel getal als basis, maar deze twee, d.w.z. de gewone en de natuurlijke logaritme, zijn de meest voorkomende en standaard.

Laten we deze typen in detail bespreken.

Gemeenschappelijk logaritme

Een veel voorkomende logaritme, vaak bekend als loggrondtal 10 of eenvoudigweg log, is een wiskundige functie die de exponent vertegenwoordigt waarmee een bepaald getal moet worden verhoogd om een ​​bepaald getal te bereiken. Het berekent de macht van tien die nodig is om een ​​bepaald getal te krijgen.

Loggen bijvoorbeeld₁₀(100) is gelijk aan 2, omdat 10 verheven tot de macht 2 gelijk is aan 100. De gebruikelijke logaritme van 100 is in dit geval 2, wat aangeeft dat 10²= 100. Gemeenschappelijke logaritmen worden in veel sectoren gebruikt, waaronder wetenschap, techniek en financiën, om representaties van grote getallen te vereenvoudigen en te helpen bij berekeningen waarvoor machten van 10 nodig zijn.

Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme is een wiskundige functie die de logaritme uitdrukt met het grondtal ‘e’ (het getal van Euler, ongeveer 2,71828). Het is het omgekeerde van de exponentiële functie en vertegenwoordigt de hoeveelheid tijd die nodig is voordat een grootheid met een constante factor toeneemt of afneemt.

ln (10) ≈ 2,30259 betekent bijvoorbeeld dat e vermenigvuldigd met 2,30259 gelijk is aan 10. De natuurlijke logaritme wordt in veel domeinen gebruikt, waaronder wiskunde, natuurkunde en financiën, om verschijnselen te beschrijven die exponentiële groei of verval vertonen, zoals bevolkingsuitbreiding, radioactief verval en berekeningen van samengestelde rente.

Wat zijn logaritmeregels?

Logaritmische bewerkingen kunnen volgens specifieke regels worden uitgevoerd. Deze regels staan ​​bekend als:

• Productregel
• Quotiënt regel
• Nulregel
• Identiteitsregel
• Machtsregel of exponentiële regel
• Wijziging van de basisregel
• Wederzijdse regel

Naast deze algemene regels kunnen we ook enkele ongebruikelijke regels hebben, zoals:

• Logaritme Inverse eigenschap
• Afgeleide van Log
• Integratie van logboek

Productregel van logboek

Volgens de productregel is de logaritme van een product de som van de logaritmes van de elementen ervan.

Formule: loggen_A(XY) = logboek_AX + logboek_AEN

Voorbeeld: loggen₂(3 × 5) = logboek₂(3) + logboek₂(5)

Quotiëntregel van log

De quotiëntregel stelt dat de logaritme van een quotiënt gelijk is aan het verschil tussen de logaritmen van de teller en de noemer.

Formule: loggen_A(X/Y) = logboek_AX-logboek_AEN

Voorbeeld: loggen₃(9/3) = logboek₃(9) – logboek₃(3)

Nulregel van logboek

Volgens de nulregel is de logaritme van 1 tot elk grondtal altijd 0.

Formule: loggen_A(1) = 0

Voorbeeld: loggen₄(1) = 0

Identiteitsregel van logboek

Volgens de identiteitsregel is de logaritme van een grondtal ten opzichte van zichzelf altijd 1.

Formule: loggen_A(een) = 1

Voorbeeld: loggen₇(7) = 1

Wederzijdse regel

Volgens de reciproke regel van logaritmen is de logaritme van het omgekeerde van een getal (1 gedeeld door dat getal) gelijk aan het negatief van de logaritme van het oorspronkelijke getal. In wiskundige notatie:

Formule: loggen_A(1/X) = – logboek_A(X)

Voorbeeld: loggen_A(1/2) = – logboek_A(2)

Machtsregel of exponentiële logregel

Volgens de machtsregel is de logaritme van een getal verheven tot een exponent gelijk aan de exponent vermenigvuldigd met de logaritme van het grondtal.

Formule: loggen_A(X^N) = n × logboek_AX

Voorbeeld: loggen₅(9²) = 2 × logboek₅(9)

Wijziging van de basisregel van het logboek

Met de regel voor het wijzigen van het grondtal kunt u de logaritme van een getal met een ander grondtal berekenen door een gemeenschappelijke logaritme te gebruiken (meestal grondtal 10 of grondtal e). Verandering van de basisregel wordt ook wel genoemd Basisschakelaarregel.

Formule: loggen_A(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Voorbeeld: loggen₃(7) = logboek₁₀(7) / logboek₁₀(3)

Logaritme Inverse eigenschap

De logaritme-inverse eigenschap beweert dat het berekenen van de logaritme van een geëxponentieerde waarde de oorspronkelijke exponent oplevert.

Formule: loggen_A(aⁿ) = n

Voorbeeld: log₄(4²) = 2

Afgeleide van Log

De afgeleide van de natuurlijke logaritme van een functie is het omgekeerde van de functie vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie.

Formule: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Voorbeeld: Als y = ln(x²), dan dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integratie van logboek

Naast differentiatie kunnen we ook de integraal van de logaritme berekenen. De integraal van de Log-functie wordt als volgt gegeven:

Formule: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Natuurlijke logboekregels

Omdat ze natuurlijk en gemeenschappelijk zijn, hebben beide logs slechts een verschil in basis, dus zijn de regels voor natuurlijke logs hetzelfde als die van gemeenschappelijke logs, die al zijn besproken. Het enige verschil is dat we in natuurlijke logregels in plaats van log (symbool van gemeenschappelijk logbestand met grondtal 10) ln gebruiken (symbool voor natuurlijk logbestanddeel e). Deze regels kunnen als volgt worden geformuleerd:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• In m^N= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• In 1 = 0
• Het is^{In x}= x

Toepassingen van logaritme

Laten we eens kijken naar enkele toepassingen van log.

• We gebruiken logaritmen om de zuurgraad en alkaliteit van chemische oplossingen te berekenen.
• De schaal van Richter wordt gebruikt om de intensiteit van aardbevingen te berekenen.
• De hoeveelheid geluid wordt gemeten in decibel (dB) op een logaritmische schaal.
• Logaritmen worden gebruikt om exponentiële processen te analyseren, zoals het verval van actieve isotopen, de ontwikkeling van bacteriën, de verspreiding van een epidemie in een populatie en het afkoelen van een dood lijk.
• Om de terugbetalingstijd van een lening te berekenen, wordt een logaritme gebruikt.
• De logaritme wordt bij calculus gebruikt om moeilijke vergelijkingen te differentiëren en het gebied onder curven te berekenen.

Productregel van logaritmen

Volgens de productregel voor logaritmen is de logaritme van een vermenigvuldiging van twee termen hetzelfde als de optelling van de logaritmen van die afzonderlijke termen. Met andere woorden: deze regel wordt uitgedrukt als log_B(mn) = logboek_B(m) + logboek_B(N). Laten we doorgaan met het afleiden van deze regel.

Afleidingsproces:

Laten we beginnen met aan te nemen dat log_B(m) = x en logboek_B(n) = j. Als we beide naar hun exponentiële vormen converteren, verkrijgen we:

loggen_B(m) = x impliceert m = b^X… (1)

loggen_B(n) = y impliceert n = b^En… (2)

Wanneer we vergelijkingen (1) en (2) met elkaar vermenigvuldigen,

mn = b^{X .}B^En

Gebruikmakend van de regels voor het vermenigvuldigen van exponenten,

mn = b^{x + y}

Terug converteren naar logaritmische vorm levert op,

loggen_B(mn) = x + y

Door x en y terug te vervangen,

loggen_B(mn) = logboek_B(m) + logboek_B(N)

We hebben dus de productregel van logaritmen afgeleid. Deze regel kan op verschillende manieren worden gebruikt, zoals:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Het is belangrijk op te merken dat de productregel voor logaritmen niet van toepassing is op log (m + n), die niet in afzonderlijke logaritmen kan worden opgesplitst. Deze regel heeft strikt betrekking op de logaritme van een product, log(mn).

Logaritme machtsregel

De logaritme-machtsregel stelt dat wanneer het argument van een logaritme tot een macht wordt verheven, die exponent naar de voorkant van de logaritme kan worden verplaatst. Met andere woorden, logb mn = n logb m. Laten we de afleiding van deze regel onderzoeken.

Afleidingsproces:

Begin met het aannemen van log_Bm is gelijk aan x. Als we dit omzetten naar zijn exponentiële vorm, krijgen we:

B^X= m

Verhef vervolgens beide zijden tot de macht n, wat resulteert in:

xor c++

(B^X)^N= m^N

Het toepassen van de exponentmachtsregel levert het volgende op:

B^nx= m^N

Als we terug naar de logaritmische vorm converteren, krijgen we:

loggen_BM^N= nx

Door x te vervangen door log_Bm, we komen uit op:

loggen_BM^N= n logboek_BM

Hiermee is de afleiding van de logaritmemachtsregel afgerond. Hieronder vindt u enkele voorbeelden van hoe deze regel wordt toegepast:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Quotiëntregel van logaritmen

Volgens de quotiëntregel voor logaritmen is de logaritme van een deling tussen twee getallen de aftrekking van de logaritmen van elk getal.

Concreet stelt de regel dat log_B(m/n) = logboek_Bm – log_BN. Laten we doorgaan met het afleiden van deze regel.

Afleidingsproces:

Stel log_Bm is gelijk aan x en log_Bn is gelijk aan y. We zullen deze uitdrukken in hun exponentiële vormen.

loggen_Bm = x impliceert m = b^X… (1)

loggen_Bn = y impliceert n = b^En… (2)

Wanneer we vergelijking (1) delen door vergelijking (2),

m/n = b^X/ B^En

De quotiëntregel voor exponenten toepassen,

m/n = b^x–y

Terug converteren naar logaritmische vorm,

loggen_B(m/n) = x – y

Door x en y terug te vervangen,

loggen_B(m/n) = logboek_Bm – log_BN

Zo hebben we de quotiëntregel voor logaritmen afgeleid. Deze regel kan als volgt worden gebruikt:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Het is belangrijk op te merken dat de quotiëntregel niets impliceert voor log (m – n).

Gerelateerde onderwerpen:

• Antilog tafel
• Logboekcalculator
• Natuurlijk logboek
• Logboektabel

Opgeloste voorbeelden van logregels

Voorbeeld 1: Logboek vereenvoudigen ₂ (4×8).

wanneer werd de school uitgevonden?

Oplossing:

Met behulp van de productregel splitsen we het product in een som van logaritmen:

loggen₂(4 × 8) = logboek₂(4) + logboek₂(8) = 2 + 3 = 5.

Voorbeeld 2: Logboek vereenvoudigen ₄ (16/2).

Oplossing:

Met behulp van de quotiëntregel verdelen we het quotiënt in een verschil van logaritmen:

loggen₄(16 / 2) = logboek₄(16) – logboek₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Voorbeeld 3: Logboek vereenvoudigen ₅ (25 ³ ).

Oplossing:

Met behulp van de machtsregel kunnen we de exponent als coëfficiënt naar beneden halen:

loggen₅(25³) = 3 × logboek₅(25) = 3 × 2 = 6.

Voorbeeld 4: Logboek converteren ₃ (7) in een uitdrukking met grondtal 10.

Oplossing:

Met behulp van de basiswisselregel delen we door de logaritme van de nieuwe basis:

loggen₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Voorbeeld 5: Evaluatielogboek ₇ (49) met behulp van de wijziging van de basisregel met grondtal 2.

Oplossing:

Met behulp van de wijziging van de basisregel met grondtal 2:

loggen₇(49) = logboek₂(49) / logboek₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (ongeveer).

Oefenvragen over logregels

Probleem 1: Vereenvoudig de uitdrukking: log₂(4) + logboek₂(8).

Probleem 2: Vereenvoudig: log₅(25) – logboek₅(5).

Probleem 3: Vereenvoudig de uitdrukking: log₃(9²).

Probleem 4: Express-logboek₄(25) in termen van gemeenschappelijke logaritmen.

Probleem 5: Vereenvoudig het gebruik van logregels: log₇(49) + 2 log₇(3).

Probleem 6: Los op voor x: log₂(x) = 3.

Probleem 7: Los op voor x: 2^{3x – 1}= 8.

Logregels – Veelgestelde vragen

Wat zijn logaritmeregels?

Logaritmeregels zijn een verzameling aanbevelingen voor het manipuleren en vereenvoudigen van formules met behulp van logaritmische functies. Ze bieden een systematische methode voor het omgaan met ingewikkelde berekeningen en interacties tussen exponentiële getallen en logaritmen.

Hoeveel belangrijke logaritmeregels zijn er?

De productregel, quotiëntregel, machtsregel, basiswisselregel en wijziging van de basisregel zijn allemaal belangrijke logaritmeregels. Deze principes maken modificaties en berekeningen van logaritmische uitdrukkingen mogelijk.

Wat is een logaritmische productregel?

Volgens de productregel is de logaritme van een product gelijk aan de som van de logaritmen van de afzonderlijke factoren: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Wat zijn twee soorten logaritmen?

De twee meest gebruikte logaritmetypen zijn:

• Gemeenschappelijke logaritme of logaritme met grondtal 10
• Natuurlijk logaritme of basis- en logaritme

Wat is de logregel voor verandering van basis?

Volgens de wijziging van de basisregel van log, log_A(b)=[logboek_C(b)]/[logboek_C(a)], waarbij c een positief reëel getal is.

Wat is Logboek 0?

De logaritme van nul is onbekend. We verwerven nooit het getal 0 door een waarde te verheffen tot de macht van een andere waarde.

Wat is logboek 1?

Vanwege de nulregel is de logaritme van 1 tot elk grondtal altijd 0, dat wil zeggen log_A(1) = 0.

Wat is de logaritme van een getal met zichzelf als grondtal?

Volgens de identiteitsregel is de logaritme van een grondtal ten opzichte van zichzelf altijd 1, dat wil zeggen log_A(een) = 1.

Wat is de relatie tussen logaritmen en exponentiële getallen?

Logaritmen en exponentiële getallen zijn inverse bewerkingen. Een logaritme vertelt je welke exponent nodig is om een ​​bepaald getal te bereiken, terwijl een exponent een grondtal naar een exponent verhoogt.

Wat zijn de 7 regels van logaritmen?

De 7 regels voor logaritmen omvatten

• Productregel
• Quotiënt regel
• Machtsregel
• Wijziging van basisregels
• Nulregel
• Identiteitsregel
• Negatieve regel

Deze regels worden gebruikt voor het vereenvoudigen van logaritmische uitdrukkingen.

Wat is de log-exponentregel?

De log-exponentregel stelt dat logbasis b van a^Xis gelijk aan x maal logbasis b van a, dat wil zeggen log_BA^X= x logboek_BA.

Wat is het belangrijkste verschil tussen gemeenschappelijk hout en natuurlijk hout?

Het belangrijkste verschil tussen gewone en natuurlijke logs is dat gewone logs grondtal 10 gebruiken, terwijl natuurlijke logs de wiskundige constante ‘e’ als basis gebruiken.

Wat is de afgeleide regel voor log?

De afgeleide regel voor logfuncties is: d/dx[log_B(x)] = 1 / (x ln(b)), waarbij ‘b’ het grondtal van de logaritme is.

Wat is de basisschakelaarregel?

Volgens de Base Switch Rule kan de basis van elk logaritme worden gewijzigd in elk ander gewenst grondtal met behulp van de formule: loga(X) = logb(X) / logb(a).