Integraal van zonde x is -cos(x) plus een constante (C). Het vertegenwoordigt het gebied onder de sinuscurve. De functie herhaalt elke 2π radialen vanwege het periodieke karakter ervan. Dit artikel legt de integraal van de sinusfunctie uit en toont de formule, het bewijs en de toepassing ervan bij het vinden van specifieke definitieve integralen. Verder worden opgeloste problemen en veelgestelde vragen vermeld.

Inhoudsopgave

• Wat is Integraal van Zonde x?
• Integraal van Sin x Formule
• Grafische betekenis van integraal van zonde x
• Integraal van Zonde x Bewijs door Substitutiemethode
• Definitieve Integraal van Zonde x
• Integraal van Sin x Van 0 tot π
• Integraal van Sin x Van 0 tot π/2

Wat is Integraal van Zonde x?

De integraal van sin(x) betreffende x is -cos(x) plus een constante (C). Dit betekent dat wanneer je -cos(x) differentieert met betrekking tot x, je sin(x) krijgt. De integratieconstante (C) vertegenwoordigt elke extra constante waarde die aanwezig kan zijn in de oorspronkelijke functie.

De integraal van sin x betekent fysiek het gebied dat onder de sinuscurve valt.

Leren,

• Calculus in wiskunde
• Integratie in wiskunde

Integraal van Sin x Formule

De integraal van de sinusfunctie, ∫ sin(x) dx, is gelijk aan -cos(x) + C, waarbij C de integratieconstante is.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Hier is cos(x) de cosinusfunctie, en vertegenwoordigt C de constante die aan de primitief wordt toegevoegd, aangezien de afgeleide van een constante nul is.

Grafische betekenis van integraal van zonde x

De integraal van sin(x) van (a) tot (b) heeft grafische betekenis in termen van het berekenen van de oppervlakte onder de curve binnen dit interval. Laten we de grafische betekenis onderzoeken met behulp van zowel de definitieve integrale methode als de geometrische methode.

Definitieve Integrale Methode

De integraal van sin(x) van ( a ) tot ( b ) wordt gegeven door:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Dit vertegenwoordigt het ondertekende gebied tussen de curve sin(x) en de x-as van ( a ) tot ( b ).

Geometrische methode

Beschouw de grafiek van sin(x) van ( a ) tot ( b ). Het gebied onder de curve kan in twee gebieden worden verdeeld:

• Positief gebied: Regio's waar sin(x) positief is (boven de x-as). Dit draagt ​​bij aan de positieve oppervlakte onder de curve.
• Negatief gebied: Gebieden waar sin(x) negatief is (onder de x-as). Dit draagt ​​bij aan het negatieve gebied onder de curve.

Het totale gebied is de algebraïsche som van deze positieve en negatieve gebieden.

Voorbeeld:

Om het gebied onder de curve van sin(x) te vinden van ( a = 0 ) tot ( b = π/2 ).

Met behulp van de definitieve integraalmethode:

∫₀^p/2zonde x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Dit is het getekende gebied onder de curve.

Met behulp van de geometrische methode:

De grafiek van sin(x) van 0 tot (π/2) is een kwart cirkel, en de oppervlakte is inderdaad 1.

Integratie van Sin x Proof door substitutiemethode

Laten we, om de integraal van sin(x) te vinden met behulp van de substitutiemethode, de integraal bekijken:

Een veel voorkomende vervanging voor trigonometrische integralen houdt in dat u gelijk is aan de uitdrukking binnen de trigonometrische functie. Stel in dit geval u = cos(x). Bereken vervolgens du in termen van dx:

du/dx = -sin(x)

Los nu op voor dx:

dx = -1/sin(x) du

Vervang nu u en dx in termen van u in de oorspronkelijke integraal:

latex lettergroottes

Integraal van sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Vereenvoudig de uitdrukking:

Integraal van sin(x) dx = -∫ du

Integreer nu met betrekking tot u:

Integraal van sin(x) dx = -u + C

Vervang nu terug voor u, die werd gedefinieerd als cos(x):

Integraal van sin(x) dx = -cos(x) + C

Met behulp van de substitutiemethode zijn we dus tot hetzelfde resultaat gekomen als in het bewijs met derivaten. De integraal van sin(x) is -cos(x) + C, waarbij C de integratieconstante is.

Definitieve Integraal van Zonde x

De bepaalde integraal van sin(x) van a naar b, aangeduid als

∫ ^B _A sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Het berekent het netto gebied onder de sinuscurve tussen x = a en x = b, rekening houdend met de richting van het gebied boven en onder de x-as.

Leren, Zeker integraal

Integraal van Sin x Van 0 tot Pi

Om de integraal van sin(x) van 0 tot π te vinden, kunnen we de primitief gebruiken. De primitief van sin(x) is -cos(x). Als we dit primitief van 0 tot π evalueren, krijgen we:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Omdat cos(π) -1 is en cos(0) 1 is, wordt de uitdrukking vereenvoudigd tot:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

De integraal van sin(x) van 0 tot π is dus gelijk aan 2. Dit vertegenwoordigt het ondertekende gebied tussen de sin(x)-curve en de x-as van x = 0 tot x = π.

Integraal van Sin x Van 0 tot Pi /2

De definitieve integraal vertegenwoordigt het getekende gebied tussen de curve en de x-as over het gegeven interval.

De integraal wordt gegeven als:

∫₀^p/2zonde(x)dx

Gebruik de primitieve -cos(x) om de integraal te evalueren:

cos(x) |[0 tot π/2]

Vervang nu π/2 door -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Bedenk dat cos(π/2) = 0 en cos(0) = 1. Vervang deze waarden:

-(0) – (-1)

Makkelijker maken:

0 + 1 = 1

De bepaalde integraal van sin(x) van 0 tot π/2 is gelijk aan 1. Dit betekent dat het ondertekende gebied tussen de sinuscurve en de x-as van x = 0 tot x = π/2 1 is.

Controleer ook

• Integratie van Cos x
• Integratie van Tan x
• Integratieformules

Integraal van Sin x – Opgeloste voorbeelden

Voorbeeld 1: Vind de Integraal van sin2(x)

Oplossing:

Voor zonder²(x), kunt u de formule gebruiken voor cos(2x).

∫zonder²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Splits het in twee delen:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integraal van dx is gewoon x. Voor de integraal van cos(2x) wordt de formule sin(2x) gebruikt. Het ziet er zo uit:

= (1/2)x – (1/4)zonde(2x) + C

Combineer de twee resultaten en voeg een constante C toe om rekening te houden met elke potentiële constante in de oorspronkelijke integraal.

(1/2)x – (1/4)zonde(2x) + C

Voorbeeld 2: Zoek de integraal van sinus ³ X.

Oplossing:

Integraal van sinus in de derde macht ten opzichte van x kan worden geschreven als:

∫zonder³x dx

Gebruik een trigonometrische identiteit om het volgende te vereenvoudigen:

zonder³x = [1 – cos²(x)] zonde(x)

∫[1 – cos²(x)] zonde(x) dx

Verdeel en scheid de voorwaarden:

∫[zonde x – zonde x. want²(x)]dx

Integreer elke term afzonderlijk:

-cos(x) + 1/3 cos³x+C

Hier vertegenwoordigt ( C ) de integratieconstante.

Voorbeeld 3: Vind de integraal van sin x ^-1

Oplossing:

De integraal van sin(x)^-1kan worden uitgedrukt met behulp van de boogsinusfunctie. De integraal wordt gegeven door:

∫1/sin x = -ln|cosec x + kinderbed x| + C

Hier is (C) de integratieconstante.

Voorbeeld 4: Vind de integraal van sin x ²

Oplossing:

Integraal van sin²(x) met betrekking tot x kan worden opgelost met behulp van een trigonometrische identiteit.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Integreer nu elke term afzonderlijk:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

waarbij ( C ) de integratieconstante is.

Voorbeeld 5: Vind de integraal van sin x ^-3

Oplossing:

Integraal van zonde(x)^-3met betrekking tot (x) betreft het een trigonometrische substitutie. Zo kun je het oplossen:

Stel u = sin(x), dan du = cos(x)dx

Vervang deze nu door de integraal:

∫zonde(x)⁻³dx = ∫u⁻³van

Integreer nu met betrekking tot (u):

∫u⁻³jij = jij⁻²/−2​ + C

Vervang terug in termen van (x) met u = sin(x):

∫zonde(x)⁻³dx = -1/2sin²x+C

Dus de integraal van sin(x)^-3met betrekking tot (x) is -1/2sin²x , waarbij (C) de integratieconstante is.

Voorbeeld 6: Vind de integraal van sin inverse x

Oplossing:

Om de integraal van zonde te vinden^-1(x) met betrekking tot (x) kunt u partiële integratie gebruiken. De formule voor partiële integratie is:

∫udv=uv−∫vdu

u = zonde^-1(x) en dv = dx

Zoek nu (du) en (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Pas de formule voor integratie per delen toe:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Integreer nu de resterende term aan de rechterkant. Je kunt substitutie gebruiken door (t = 1 – x²), dan (dt = -2x, dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Vervang nu terug in termen van (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Alles op een rij:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

waarbij (C) de integratieconstante is.

Voorbeeld 7: Vind de integraal van x sin 2x dx

Oplossing:

Om de integraal van xsin(2x) ten opzichte van (x) te vinden, kun je partiële integratie gebruiken. De formule voor partiële integratie wordt gegeven door:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x en dv = sin(2x)dx

Zoek nu (du) en (v):

du = dx en v = -1/2cos(2x)

Pas de formule voor integratie per onderdelen toe:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Integreer nu de resterende term aan de rechterkant. De integraal van -1/2cos(2x) kan worden gevonden door (u = 2x) te nemen en een eenvoudige substitutie te gebruiken:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Vervang dit resultaat terug in de oorspronkelijke vergelijking:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Madhubala

De integraal van xsin(2x) met betrekking tot (x) is dus -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, waarbij (C) de integratieconstante is.

Voorbeeld 8: Vind de integraal van sin x cos 2x

Oplossing:

Om de integraal van sin(x) cos(2x) te vinden ten opzichte van (x), kun je partiële integratie gebruiken. De formule voor integratie per delen is:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) en dv = cos(2x)dx

Zoek nu (du) en (v):

du = cos(x) dx en v = 1/2 sin(2x)

Pas de formule voor integratie per delen toe:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Integreer nu de resterende term aan de rechterkant. Je kunt weer partiële integratie gebruiken:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Ga door met het proces totdat de integraal beheersbaar wordt. Na vereenvoudiging krijgt u het eindresultaat:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

waarbij (C) de integratieconstante is.

Integraal van Zonde x – Oefenvragen

Q1. Zoek de integraal van de sinus van 0 tot pi.

Vraag 2. Bereken de integraal van de sinus van -π/2 tot π/2.

Q3. Zoek de waarde van de integraal van sinus plus cosinus ten opzichte van x.

Q4. Evalueer de integraal van sinus(2x) van 0 tot π/3.

Vraag 5. Zoek de primitief van sinus(3x) met betrekking tot x.

Vraag 6. Bereken de integraal van sinus(2x) van π tot 2π.

Vraag 7. Integreer de functie sinus in het kwadraat ten opzichte van x.

Vraag 8. Evalueer de integraal van de sinus in het kwadraat van -π/4 tot π/4.

Integraal van Zonde x – Veelgestelde vragen

Wat is Integraal van Zonde x?

Integraal van sin x is -cos x

Wat is zonde x?

Sin(x) is een trigonometriefunctie die de verhouding weergeeft van de lengte van de zijde tegenover een hoek tot de lengte van de hypotenusa in een rechthoekige driehoek.

Wat is bereik van zonde x?

Het bereik van Sin x is [-1, 1].

Wat is integraal en afgeleid van Sin x?

De integraal van sin x is -cos x en de afgeleide van zes x is cos x

Wat is de integraal van Sin x en Cos x?

De integraal van sin x is -cos x + C en de inegraal van cos x is sin x

Wat is Integraal van Zonde 2x?

De integratie van sin 2x is (-cos2x)/2 + c