A Hyperbool is een vloeiende curve in een vlak met twee takken die elkaar spiegelen en lijken op twee oneindige bogen. Het is een kegelvormige doorsnede die wordt gevormd door het snijden van een rechte, cirkelvormige kegel met een vlak onder een zodanige hoek dat beide helften van de kegel elkaar snijden.

Laten we de hyperbool in detail leren kennen, inclusief de vergelijking, formules, eigenschappen, grafieken en afleiding.

Hyperbool

Inhoudsopgave

• Wat is hyperbool?
• Hyperbool-definitie
• Hyperboolvergelijking
• Delen van hyperbool
• Hyperbool Excentriciteit
• Standaardvergelijking van hyperbool
• Rechterkant van de hyperbool
• Afleiding van hyperboolvergelijking
• Hyperboolformule
• Grafiek van hyperbool
• Conjugatie hyperbool
• Eigenschappen van hyperbool
• Hulpcirkels van hyperbool
• Rechthoekige hyperbool
• Parametrische weergave van hyperbool
• Hyperboolklasse 11
• Opgeloste voorbeelden van hyperbool
• Oefenproblemen op hyperbool

Wat is hyperbool?

Een hyperbool is de verzameling punten waarvan het verschil in de afstanden tot twee brandpunten een vaste waarde is. Dit verschil wordt verkregen door de afstand van het dichtstbijzijnde brandpunt af te trekken van de afstand van het verder gelegen brandpunt.

Als P (x, y) een punt op de hyperbool is en F, F’ twee brandpunten zijn, dan is de locus van de hyperbool

PF – PF' = 2a

Opmerking: Zie diagram toegevoegd als afleiding voor afbeelding.

Hyperbool-definitie

In de analytische meetkunde is een hyperbool een soort kegelsnede die ontstaat wanneer een vlak schuin door beide helften van een dubbele, rechtse, cirkelvormige kegel snijdt. Dit snijpunt resulteert in twee afzonderlijke, onbegrensde curven die spiegelbeelden van elkaar zijn en een hyperbool vormen.

Hyperboolvergelijking

De vergelijking van een hyperbool in zijn standaardvorm hangt af van zijn oriëntatie en of deze gecentreerd is op de oorsprong of op een ander punt. Hier zijn de twee primaire vormen voor hyperbolen gecentreerd in de oorsprong, de ene opent horizontaal en de andere verticaal:

X ² /A ² - En ² /B ² = 1

Deze vergelijking vertegenwoordigt een hyperbool die naar links en rechts opent. De punten (±a,0) zijn de hoekpunten van de hyperbool, gelegen op de x-as.

Delen van hyperbool

Een hyperbool is een kegelsnede die ontstaat wanneer een vlak een dubbele, rechtse, cirkelvormige kegel onder een zodanige hoek doorsnijdt dat beide helften van de kegel met elkaar verbonden zijn. Het kan worden beschreven met behulp van concepten als brandpunten, richtlijn, latus rectum en excentriciteit.

Hyperbool Excentriciteit

De excentriciteit van een hyperbool is de verhouding van de afstand van een punt tot het brandpunt en de loodrechte afstand tot de richtlijn. Het wordt aangegeven met de letter ‘ Het is '.

• De excentriciteit van een hyperbool is altijd groter dan 1, d.w.z. e>1.
• We kunnen de excentriciteit van de hyperbool gemakkelijk vinden met de formule:

e = √[1 + (geb ² /A ² )]

waar,

• A is de lengte van de semi-hoofdas
• B is de lengte van de semi-kleine as

Lees verder: Excentriciteit

Standaardvergelijking van hyperbool

De standaardvergelijkingen van een hyperbool zijn:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

OF

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Een hyperbool heeft twee standaardvergelijkingen. Deze vergelijkingen van een hyperbool zijn gebaseerd op de dwarsas en de geconjugeerde as.

verschil tussen binaire boom en binaire zoekboom

• Standaardvergelijking van de hyperbool is [(x²/A²) - (En²/B²)] = 1, waarbij de X-as de dwarsas is en de Y-as de geconjugeerde as.
• Bovendien is een andere standaardvergelijking van de hyperbool [(y²/A²)- (X²/B²)] = 1, waarbij de Y-as de dwarsas is en de X-as de geconjugeerde as.
• Standaardvergelijking van de hyperbool met middelpunt (h, k) en de X-as als de dwarsas en de Y-as zoals de geconjugeerde as is,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Verder is een andere standaardvergelijking van de hyperbool met middelpunt (h, k) en de Y-as als dwarsas en de X-as als geconjugeerde as

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Rechterkant van de hyperbool

Latus rectum van een hyperbool is een lijn die door een van de brandpunten van een hyperbool loopt en loodrecht staat op de dwarsas van de hyperbool. De eindpunten van een latus rectum liggen op de hyperbool en de lengte is 2b²/A.

Afleiding van hyperboolvergelijking

Laten we een punt P op de hyperbool beschouwen waarvan de coördinaten (x, y) zijn. Uit de definitie van de hyperbool weten we dat het verschil tussen de afstand van punt P tot de twee brandpunten F en F’ 2a is, d.w.z. PF’-PF = 2a.

Laat de coördinaten van de brandpunten F (c, o) en F '(-c, 0) zijn.

Door nu de coördinatenafstandsformule te gebruiken, kunnen we de afstand van punt P (x, y) tot de brandpunten F (c, 0) en F '(-c, 0) vinden.

√[(x+c)²+ (en – 0)²] – √[(x – c)²+ (en – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ en²] = 2a + √[(x – c)²+ en²]

Nu, door beide kanten te kwadrateren, krijgen we

(x+c)²+ en²= 4a²+ (x – c)²+ en²+ 4a√[(x – c)²+ en²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ en²]

⇒ cx – een²= een√[(x – c)²+ en²]

Door aan beide kanten het kwadraat te maken en te vereenvoudigen, krijgen we nu:

[(X²/A²) - (En²/(C²- A²))] = 1

Wij hebben, c²= een²+ b², dus door dit in de bovenstaande vergelijking te vervangen, krijgen we

X²/A²- En²/B²= 1

Daarom wordt de standaardvergelijking van de hyperbool afgeleid.

Op dezelfde manier kunnen we de standaardvergelijkingen van de andere hyperbool afleiden, d.w.z. [y²/A²- X²/B²] = 1

Hyperboolformule

De volgende hyperboolformules worden veel gebruikt bij het vinden van de verschillende parameters van de hyperbool, waaronder de vergelijking van de hyperbool, de grote en kleine as, excentriciteit, asymptoten, hoekpunten, brandpunten en semi-latus rectum.

Waar,

• ( X₀​, en₀​) is het middelpunt
• A is de semi-hoofdas
• B is de semi-kleine as.

Grafiek van hyperbool

Hyperbool is een curve met twee onbegrensde curven die spiegelbeelden van elkaar zijn. De grafiek van de hyperbool toont die curve in het 2D-vlak. We kunnen de verschillende delen van een hyperbool waarnemen in de hyperboolgrafieken voor de onderstaande standaardvergelijkingen:

Vergelijking van de hyperbool	Grafiek van hyperbool	Parameters van hyperbool
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coördinaten van het centrum: (0, 0) Coördinaten van het hoekpunt: (a, 0) en (-a, 0) Coördinaten van brandpunten: (c, 0) en (-c, 0) De lengte van de dwarsas = 2a De lengte van de geconjugeerde as = 2b De lengte van het latus rectum = 2b2/A Vergelijkingen van asymptoten: y = (b/a) x en y = -(b/a) x Excentriciteit (e) = √[1 + (b2/A2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coördinaten van het centrum: (0, 0) Coördinaten van het hoekpunt: (0, a) en (0, -a) Coördinaten van brandpunten: (0, c) en (0, -c) De lengte van de dwarsas = 2b De lengte van de geconjugeerde as = 2a De lengte van het latus rectum = 2b2/A Vergelijkingen van asymptoten: y = (a/b) x en y = -(a/b) x Excentriciteit (e) = √[1 + (b2/A2)]

Conjugatie hyperbool

Geconjugeerde hyperbool zijn 2 hyperbolen zodat de transversale en geconjugeerde assen van de ene hyperbool respectievelijk de geconjugeerde en transversale as van de andere hyperbool zijn.

Geconjugeerde hyperbool van (x²/ A²) - (En²/B²) = 1 is,

(X ² / A ² ) - (En ² / B ² ) = 1

Waar,

• A is de semi-hoofdas
• B is semi-kleine as
• Het is is excentriciteit van parabool
• A ² = geb ² (Het is ² − 1)

Eigenschappen van hyperbool

• Als de excentriciteiten van de hyperbool en zijn conjugaat e zijn₁en e₂Dan,

(1 en ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Brandpunten van een hyperbool en zijn conjugaat zijn concyclisch en vormen de hoekpunten van een vierkant.
• Hyperbolen zijn gelijk als ze hetzelfde latus rectum hebben.

Hulpcirkels van hyperbool

Hulpcirkel is een cirkel die is getekend met middelpunt C en diameter als dwarsas van de hyperbool. De hulpcirkel van de hyperboolvergelijking is,

X ² + en ² = een ²

Rechthoekige hyperbool

Een hyperbool met een dwarsas van 2a eenheden en een geconjugeerde as van 2b eenheden van gelijke lengte wordt de rechthoekige hyperbool genoemd. dat wil zeggen in rechthoekige hyperbool,

2a = 2b

⇒ een = b

De vergelijking van een rechthoekige hyperbool wordt als volgt gegeven:

X ² - En ² = een ²

Opmerking: De excentriciteit van een rechthoekige hyperbool is √2.

Parametrische weergave van hyperbool

Parametrische weergave van hulpcirkels van de hyperbool is:

x = a sec θ, y = b tan θ

Mensen lezen ook

• Kegelvormige sectie
• Parabool
• Cirkel
• Ovaal

Hyperboolklasse 11

In de wiskunde van klasse 11 maakt de studie van hyperbolen deel uit van de kegelsneden in de analytische meetkunde. Het begrijpen van hyperbolen op dit niveau omvat het onderzoeken van hun definitie, standaardvergelijkingen, eigenschappen en verschillende daarmee samenhangende elementen.

Het curriculum van klasse 11 omvat doorgaans het afleiden van deze vergelijkingen en eigenschappen, het schetsen van hyperbolen op basis van bepaalde vergelijkingen en het oplossen van problemen die verband houden met de elementen en posities van de hyperbool. Het beheersen van deze concepten biedt een sterke basis in de analyse geometrie , studenten voorbereiden op verdere studies in wiskunde en aanverwante vakgebieden.

Samenvatting – Hyperbool

Een hyperbool is een soort kegelsnede die ontstaat wanneer een vlak een kegel onder een zodanige hoek snijdt dat er twee afzonderlijke curven ontstaan. Gekenmerkt door zijn spiegelsymmetrie, bestaat een hyperbool uit twee losgekoppelde takken, die elk van de ander afbuigen. Het kan wiskundig worden gedefinieerd in een coördinatenvlak met behulp van een standaardvergelijking, die varieert op basis van de oriëntatie (horizontaal of verticaal) en of het middelpunt zich op de oorsprong of op een ander punt bevindt.

De standaardformulieren zijn X ² /A ² - En ² /B ² = 1 voor een hyperbool die horizontaal opent en En ² /A ² - X ² /B ² = 1 voor één verticale opening, met variaties om een ​​centrum te huisvesten dat is verplaatst naar (h,k). De belangrijkste kenmerken van hyperbolen zijn onder meer hoekpunten, de punten die het dichtst bij het centrum liggen; brandpunten, punten waarvan de afstanden tot elk punt op de hyperbool een constant verschil hebben; en asymptoten, lijnen die de takken naderen maar elkaar nooit raken.

De eigenschappen van hyperbolen maken ze belangrijk op verschillende gebieden, waaronder astronomie, natuurkunde en techniek, voor het modelleren en analyseren van hyperbolische trajecten en gedrag.

Opgeloste voorbeelden van hyperbool

Vraag 1: Bepaal de excentriciteit van de hyperbool x ² /64 – en ² /36 = 1.

de cijfers van het alfabet

Oplossing:

Vergelijking van hyperbool is x²/64 – en²/36 = 0

Door de gegeven vergelijking te vergelijken met de standaardvergelijking van de hyperbool x²/A²- En²/B²= 1, krijgen we

A²= 64, geb²= 36

⇒ a = 8, b = 6

We hebben,

Excentriciteit van een hyperbool (e) = √(1 + b²/A²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Daarom is de excentriciteit van een gegeven hyperbool 1,25.

Vraag 2: Als de vergelijking van de hyperbool [(x-4) is ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, zoek de lengtes van de hoofdas, de secundaire as en de latus rectum.

Oplossing:

Vergelijking van hyperbool is [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Door de gegeven vergelijking te vergelijken met de standaardvergelijking van de hyperbool, (x – h)²/A²– (en – k)²/B²= 1

Hier is x = 4 de hoofdas en y = 3 de secundaire as.

A²= 25 een = 5

B²= 9 b = 3

Lengte van de hoofdas = 2a = 2 × (5) = 10 eenheden

Lengte van de secundaire as = 2b = 2 × (3) = 6 eenheden

Lengte van latus rectum = 2b²/een = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 eenheden

Vraag 3: Zoek het hoekpunt, de asymptoot, de hoofdas, de secundaire as en de richtlijn als de hyperboolvergelijking [(x-6) is ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Oplossing:

Vergelijking van hyperbool is [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Door de gegeven vergelijking te vergelijken met de standaardvergelijking van de hyperbool, (x – h)²/A²– (en – k)²/B²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Hoekpunt van een hyperbool: (h + a, k) en (h – a, k) = (13, 2) en (-1, 2)

Hoofdas van hyperbool is x = h x = 6

Kleine as van hyperbool is y = k y = 2

Vergelijkingen van asymptoten van hyperbool zijn

y = k − (b / a)x + (b / a)h en y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 en y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 en y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x en y = -1,43 + 0,57x

Vergelijking van de richtlijn van een hyperbool is x = ± a²/√(een²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Vraag 4: Vind de excentriciteit van de hyperbool waarvan de latus rectum de helft van zijn geconjugeerde as is.

Oplossing:

De lengte van het latus rectum is de helft van de geconjugeerde as

Laat de vergelijking van de hyperbool [(x²/ A²) - (En²/ B²)] = 1

Geconjugeerde as = 2b

Lengte van Latus rectum = (2b²/ A)

Uit gegeven gegevens blijkt (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = een

We hebben,

Excentriciteit van hyperbool (e) = √[1 + (b²/A²)]

Vervang nu a = 2b in de excentriciteitsformule

⇒ e = √[1 + (geb²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (geb²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

De vereiste excentriciteit is dus √5/2.

Oefenproblemen op hyperbool

P1. Zoek de standaardvormvergelijking van de hyperbool met hoekpunten op (-3, 2) en (1, 2) en een brandpuntsafstand van 5.

P2. Bepaal het centrum, de hoekpunten en de brandpunten van de hyperbool met de vergelijking 9x ² – 4j ² = 36.

P3. Gegeven de hyperbool met de vergelijking (x – 2) ² /16 – (en + 1) ² /9 = 1, zoek de coördinaten van het middelpunt, de hoekpunten en de brandpunten.

P4. Schrijf de vergelijking van de hyperbool met een horizontale hoofdas, middelpunt op (0, 0), een hoekpunt op (5, 0) en een focus op (3, 0).

Hyperbool – Veelgestelde vragen

Wat is hyperbool in wiskunde?

De meetkundige plaats van een punt in een vlak, zodanig dat de verhouding van de afstand tot een vast punt en die tot een vaste lijn een constante groter dan 1 is, wordt hyperbool genoemd.

Wat is standaardvergelijking van hyperbool?

Standaardvergelijking van hyperbool is

(X ² /A ² ) - (En ² /B ² ) = 1

Wat is excentriciteit van hyperbool?

De excentriciteit van een hyperbool is de verhouding van de afstand van een punt tot het brandpunt en de loodrechte afstand tot de richtlijn. Voor Hyperbool is de excentriciteit altijd groter dan 1.

Wat is de formule van excentriciteit van hyperbool?

Formule voor excentriciteit van hyperbool is e = √(1 + (b ² /A ² ))

Wat zijn Foci van hyperbool?

Een hyperbool heeft twee brandpunten. Voor de hyperbool (x²/A²) - (En²/B²) = 1, de brandpunten worden gegeven door (ae, 0) en (-ae, 0)

Wat is de transversale as van de hyperbool?

Voor hyperbool (x²/A²) - (En²/B²) = 1, dwarsas loopt langs x-as. De lengte wordt gegeven door 2a. De lijn die door het midden en de brandpunten van een hyperbool loopt, wordt de transversale as van een hyperbool genoemd.

Wat zijn asymptoten van hyperbool?

Lijnen evenwijdig aan de hyperbool die de hyperbool in het oneindige ontmoeten, worden de asymptoten van de hyperbool genoemd.

Hoeveel asymptoten heeft hyperbool?

Een hyperbool heeft 2 asymptoten. Asymptoten is een lijn die raakt aan de hyperbool en die in het oneindige de hyperbool ontmoet.

Waar wordt hyperbool voor gebruikt?

Hyperbolen vinden toepassingen op verschillende gebieden, zoals astronomie, natuurkunde, techniek en economie. Ze worden onder meer gebruikt in satelliettrajecten, radiotransmissiepatronen, artillerietargeting, financiële modellering en hemelmechanica.

Wat is het verschil tussen parabool en hyperbool in standaardvorm?

In de standaardvorm omvat de vergelijking van een parabool termen tot de macht 1 en 2, terwijl de vergelijking van een hyperbool termen omvat die tot de macht 2 en -2 worden verheven. Ook wordt de parabool gekenmerkt door één enkel focuspunt, terwijl de hyperbool er twee heeft.

Wat is de basisvergelijking van de hyperboolgrafiek?

Basisvergelijking van een hyperboolgrafiek is:

(x – h)²/ A²– (en – k)²/ B²= 1

Of

(en – k)²/ B²– (x -h)²/ A²= 1

Wat zijn soorten hyperbool?

Hyperbolen kunnen op basis van hun oriëntatie in drie typen worden ingedeeld: horizontale, verticale en schuine hyperbolen.

Hoe identificeer je een hyperboolvergelijking?

Een hyperboolvergelijking omvat doorgaans termen met beide X En En variabelen, met een verschil tussen de kwadraten van X En En coëfficiënten, en de coëfficiënten van deze termen zijn respectievelijk positief en negatief.

Wat is de formule van B in Hyperbool?

In de standaardvorm van een hyperboolvergelijking, B vertegenwoordigt de lengte van de geconjugeerde as, en de formule is B = 2 B , waar B is de afstand van het midden tot de hoekpunten langs de geconjugeerde as.

Hoe teken je een hyperbool?

Om een ​​hyperbool te tekenen, begint u doorgaans met het uitzetten van het middelpunt en markeert u vervolgens de hoekpunten, brandpunten, asymptoten en andere belangrijke punten op basis van de gegeven vergelijking of eigenschappen. Schets ten slotte de curven van de hyperbool en gebruik deze punten als hulplijnen.