De afgeknotte kegel is een speciale vorm die ontstaat wanneer we de kegel doorsnijden met een vlak evenwijdig aan de basis. De kegel heeft een driedimensionale vorm met een cirkelvormige basis en een hoekpunt. De afgeknotte kegel van een kegel is dus een vast volume dat wordt gevormd door een deel van de kegel te verwijderen met een vlak evenwijdig aan de cirkelvormige basis. De afgeknotte kegel wordt niet alleen gedefinieerd voor kegels, maar kan ook worden gedefinieerd voor de verschillende soorten piramides (vierkante piramide, driehoekige piramide, etc.).

Enkele veel voorkomende vormen van een afgeknotte kegel die we in ons dagelijks leven ontdekken, zijn emmers, lampenkappen en andere. Laten we in dit artikel meer leren over de afgeknotte kegel.

Wat is Frustum van Kegel?

Frustum is een Latijns woord, dat stukken betekent, daarom is afgeknotte kegel een stevig stuk kegel. Wanneer een rechter ronde kegel wordt gesneden door een vlak evenwijdig aan de basis van de kegel. De aldus verkregen vorm wordt afgeknotte kegel genoemd. De onderstaande figuur laat ons zien hoe een vlak de kegel evenwijdig aan de basis doorsnijdt om de afgeknotte kegel van de kegel te vormen.

Nu kan de afgeknotte kegel gemakkelijk worden gedefinieerd als:

Als een rechte cirkelvormige kegel wordt afgesneden door een vlak evenwijdig aan de basis, wordt de vorm van het gedeelte tussen het snijvlak en het basisvlak de afgeknotte kegel genoemd.

Netto stukje kegel

Als een driedimensionale (3D) vorm wordt opengesneden en een tweedimensionale vorm wordt gemaakt, wordt de aldus verkregen vorm het net genoemd. Men kan ervan uitgaan dat wanneer het net van de figuur goed en op de juiste manier wordt gevouwen, deze de gewenste 3D-vorm vormt. De onderstaande afbeelding toont het net van de afgeknotte kegel.

Eigenschappen van een stuk kegel

Eigenschappen van een afgeknotte kegel lijken sterk op de kegel, enkele van de belangrijke eigenschappen van een afgeknotte kegel zijn:

• Basis van de kegel: de oorspronkelijke kegel bevindt zich in de afgeknotte kegel, maar de top zit niet in de afgeknotte kegel.
• Formules voor de afgeknotte kegel zijn afhankelijk van de hoogte en twee stralen (overeenkomend met de bovenste en onderste basis).
• De hoogte van de afgeknotte kegel is de loodrechte afstand tussen de middelpunten van de twee bases.

Formules van een stukje kegel

Frustum of Cone is zo’n vorm die je vaak ziet in ons dagelijks leven, bijvoorbeeld bij tafellampen, emmers, etc. De belangrijke formules voor de afgeknotte kegel zijn:

• Volume van een stuk kegel
• Oppervlakte van afgeknotte kegel

Laten we deze formules hieronder in detail leren kennen,

Volume van een stuk kegel

Frustum van kegel is een gesneden deel van een kegel, waarbij een kleine kegel uit de grotere kegel wordt verwijderd. Om het volume van de afgeknotte kegel te berekenen, hoeft u daarom alleen maar het verschil tussen het volume van de grotere en kleinere kegel te berekenen.

Laten we aannemen,

• De totale hoogte van de kegel moet H + h zijn
• Totale schuine hoogte moet l’ + L zijn
• De straal van een volledige kegel is r
• De straal van de gesneden kegel is r’

Omdat het volume van de kegel wordt gegeven als V = 1/3πr²H

Volume van volledige kegel V₁= 1/3πr²(H+u)

Volume van kleinere kegel V₂=1/3πr’²(H)

Nu kan het volume van de afgeknotte kegel (V) worden berekend met behulp van de formule:

V=V₁- IN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(H)

wat is hashset-java

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Met behulp van de eigenschap van gelijkenis van de driehoeken van △OCD en △OAB kan men schrijven:

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = uur / r’

Vervang deze waarde van (H+h) in vergelijking (1) en vereenvoudig:

V = 1/3π[r²(rechts / r’) – r’²(H)}

= 1/3π[{uur³– uur’³} / r’]…(2)

Door opnieuw de eigenschap van de soortgelijke driehoek te gebruiken in △OCD en △OAB, zullen we de waarde van h ontdekken

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

Java-lijstreeks

rh = Hr’ + uur’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Door deze waarden in vergelijking (2) te vervangen,

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}u / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+rr’)

Dus,

Volume van de afgeknotte kegel = 1/3 πH(r ² + r’ ² +rr’)

Oppervlakte van afgeknotte kegel

Het oppervlak van de afgeknotte kegel kan worden berekend door het verschil tussen de oppervlakte van de volledige kegel en de kleinere kegel (verwijderd uit de volledige kegel). Het oppervlak van de afgeknotte kegel kan worden berekend met behulp van het onderstaande diagram, waarbij men de oppervlakten van de gebogen oppervlakken en de oppervlakten van de boven- en onderoppervlakken van de afgeknotte kegel moet optellen.

Net als het volume van de afgeknotte kegel, zal het gebogen oppervlak ook gelijk zijn aan het verschil tussen de oppervlakken van de grotere kegel en de kleinere kegel.

In de bovenstaande figuur zijn de driehoeken OAB en OCD vergelijkbaar. Daarom kan men, met behulp van de gelijkeniscriteria, schrijven:

l’ / l = r’ / r…(1)

Aangezien l’ = l – L, dus uit vergelijking (1),

(l – L) / l = r’ / r

Na kruisvermenigvuldiging wordt

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Het gebogen oppervlak van een volledige kegel = πrl

Het gebogen oppervlak van de kleinere kegel = πr’l’

Verschil tussen de gebogen oppervlakken van een volledige kegel en een kleinere kegel = π (rl – r’l’)

Dus het gebogen oppervlak (CSA) van de afgeknotte kegel = πl (r – r’l’/l)

voor- en nadelen van technologie

Gebruik vergelijking (1) om de waarde van l’/l in de bovenstaande vergelijking te vervangen, en vereenvoudig:

CSA van de afgeknotte kegel = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- R'²)/R

Vervang nu de waarde van l uit vergelijking (2) en vereenvoudig:

CSA van de afgeknotte kegel = πlr/(r – r’)× (r²- R'²)/r = πl (r + r')

Zo kan men schrijven,

Gebogen oppervlak van afgeknotte kegel = πl (r + r')

Laten we nu het oppervlak van de bovenste en onderste basis van de afgeknotte kegel berekenen, zodat:

Het oppervlak van de bovenste basis van de afgeknotte kegel met een straal r’ = πr’²

Het oppervlak van de onderste basis van de afgeknotte kegel met een straal r = πr²

Dus,

Totale oppervlakte van de afgeknotte kegel = Gebogen oppervlakte van de afgeknotte kegel + oppervlakte van de bovenste basis + oppervlakte van de onderste basis

Daarom,

Het totale oppervlak van de afgeknotte kegel = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Het totale oppervlak van de afgeknotte kegel is dus = πl (r + r ') + π (r²+ r’²)

Deze formule kan ook worden geschreven als,

Het totale oppervlak van de afgeknotte kegel is = πl (r²- R'²)/r + π (r²+ r’²)

Men kan dus schrijven,

Totale oppervlakte afgeknotte kegel = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

of

Totale oppervlakte afgeknotte kegel = πl (r ² - R' ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Merk op dat l de schuine hoogte is van de kleinere kegel die kan worden gegeven als

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Lees verder

• Volume van kegel
• Volume van cilinder
• Volume van bol

Opgeloste voorbeelden van fragment van kegel

Voorbeeld 1: Ontdek het volume van een afgeknotte kegel die 15 cm hoog is en de stralen voor beide basissen 5 cm en 8 cm zijn.

Oplossing:

Met behulp van de hierboven bestudeerde formule kan men schrijven:

V = 1/3 πH(r²+ r’²+rr’)

Gegeven,

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645πcm³

Voorbeeld 2: Bereken de oppervlakte en de totale oppervlakte van een afgeknotte kegel die 10 cm hoog is en de stralen voor beide bases 4 cm en 8 cm zijn.

Oplossing:

We kennen de formule voor de oppervlakte en de totale oppervlakte van de afgeknotte kegel. We moeten de vereiste waarden invoeren.

Gebogen oppervlak van de afgeknotte kegel = πl(r+r’)

waar,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Gegeven,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Berekening van de waarde van L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Gebogen oppervlak van Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

ffilms India

Totale oppervlakte = gebogen oppervlakte van Frustum + oppervlakte van beide bases

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Voorbeeld 3: Laten we zeggen dat we een open metalen emmer hebben waarvan de hoogte 50 cm is en de stralen van de basis 10 cm en 20 cm zijn. Zoek het gebied van de metalen plaat gebruikt om de emmer te maken.

Oplossing:

De emmer heeft de vorm van een afgeknotte kegel die van onderaf gesloten is. We moeten de totale oppervlakte van deze afgeknotte kegel berekenen.

Gegeven
H = 50 cm
r’= 10 cm
r = 20 cm

Gebogen oppervlak van Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Java-collectieframework

Gebogen oppervlak van Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Totale oppervlakte = gebogen oppervlakte van Frustum + oppervlakte van beide bases

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Voorbeeld 4: Ontdek de uitdrukking van het volume van een afgeknotte kegel als de hoogte 6y is en de stralen respectievelijk y en 2y zijn.

Oplossing:

Met behulp van de hierboven bestudeerde formule,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+rr’)

Gegeven,

H = 6j
r'= j
r = 2j

V = 1/3 π6[(2y)²+ (en)²+ (j)(2j)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³eenheid³

Veelgestelde vragen over stukje kegel

Vraag 1: Wat is de afgeknotte kegel van een kegel?

Antwoord:

Wanneer we een kegel zo snijden dat het snijvlak evenwijdig is aan de basis van de kegel. De aldus verkregen figuur wordt de Frustum van de Kegel genoemd.

Vraag 2: Wat zijn de Frustum of Cone-formules?

Antwoord:

De formules van de afgeknotte kegel worden hieronder besproken. Laten we een afgeknotte basis nemen van basisradius ‘R’ en topradius ‘r’, hoogte ‘H’, en dan de schuine hoogte,

• Volume van een stuk kegel (V) = 1/3πH(r²+ rr’+ r’²)
• Totale oppervlakte afgeknotte kegel = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Vraag 3: Wat is de CSA van een afgeknotte boom?

Antwoord:

Het gebogen oppervlak van de afgeknotte kegel wordt berekend met behulp van de formule:

CSA = πl (r + r')

waar,
R' is de straal van de bovenste afgeknotte cirkel
R is de straalbasis
l is de schuine hoogte

Vraag 4: Wat is het oppervlak van de afgeknotte kegel?

Antwoord:

Het oppervlak van de afgeknotte kegel wordt berekend met behulp van de formule:

• CSA van stukje kegel = πl [ (r²- R'²) / R' ]
• TSA van afgeknotte kegel = π (r²+ r’²) + πl [ (r²- R'²) / R']

Vraag 5: Wat is het volume van de afgeknotte kegel?

Antwoord:

Het volume van de afgeknotte kegel van een kegel wordt berekend met behulp van de formule:

• V = 1/3πh[(r³- R'³) / R']
• V = 1/3πH(r²+ rr’+ r’²)