Equivalentieklasse zijn de groep elementen van een verzameling gebaseerd op een specifiek gelijkwaardigheidsbegrip gedefinieerd door een gelijkwaardigheidsrelatie. Een equivalentierelatie is een relatie die aan drie eigenschappen voldoet: reflexiviteit, symmetrie en transitiviteit. Equivalentieklassen verdelen de verzameling S in onsamenhangende deelverzamelingen. Elke subset bestaat uit elementen die aan elkaar gerelateerd zijn onder de gegeven equivalentierelatie.

In dit artikel zullen we het concept van de equivalentieklasse voldoende gedetailleerd bespreken, inclusief de definitie, het voorbeeld, de eigenschappen en opgeloste voorbeelden.

Inhoudsopgave

• Wat zijn gelijkwaardigheidsklassen?
• Voorbeelden van gelijkwaardigheidsklasse
• Eigenschappen van gelijkwaardigheidsklassen
• Equivalentieklassen en partitie

Wat zijn gelijkwaardigheidsklassen?

Een equivalentieklasse is de naam die we geven aan de deelverzameling van S, die alle elementen omvat die gelijkwaardig zijn aan elkaar. Equivalent is afhankelijk van een gespecificeerde relatie, een equivalentierelatie genoemd. Als er een equivalentierelatie bestaat tussen twee elementen, worden ze equivalent genoemd.

Equivalentieklasse-definitie

Gegeven een equivalentierelatie op een verzameling S, is een equivalentieklasse met betrekking tot een element a in S de verzameling van alle elementen in S die gerelateerd zijn aan a, dat wil zeggen:

[a] OF x is gerelateerd aan a

Beschouw bijvoorbeeld de reeks gehele getallen ℤ en de equivalentierelatie gedefinieerd door congruentie modulo n. Twee gehele getallen a en b worden als gelijkwaardig beschouwd (aangeduid als (a ≡ b mod(n) als ze dezelfde rest hebben als ze worden gedeeld door n. In dit geval is de equivalentieklasse van een geheel getal a de verzameling van alle gehele getallen met de dezelfde rest als a wanneer gedeeld door n.

Java-duur

Wat is gelijkwaardigheidsrelatie?

Van elke relatie R wordt gezegd dat deze een gelijkwaardigheidsrelatie is als en slechts als deze aan de volgende drie voorwaarden voldoet:

• Reflexiviteit: Voor elk element a is a gerelateerd aan zichzelf.
• Symmetrie: Als a gerelateerd is aan b, dan is b gerelateerd aan a.
• Transitiviteit: Als a gerelateerd is aan b, en b gerelateerd is aan c, dan is a gerelateerd aan c.

Lees meer over Gelijkwaardigheidsrelatie .

Enkele voorbeelden van gelijkwaardigheidsrelaties zijn:

Gelijkheid op een set: Laat X een willekeurige verzameling zijn, en definieer een relatie R op X zodat a R b dan en slechts dan als a = b voor a, b ϵ X.

• Reflexiviteit: Voor elke A ϵ X, a = a (triviaal waar).
• Symmetrie: Als a = b, dan b = a (triviaal waar).
• Transitiviteit: Als a = b en b = c, dan is a = c (triviaal waar).

Congruentie modulo n: Laat n een positief geheel getal zijn, en definieer een relatie R op de gehele getallen ℤ zodat a R b dan en slechts dan als a – b deelbaar is door n.

• Reflexiviteit: Voor elke A ϵ ℤ, a – a = 0 is deelbaar door n.
• Symmetrie: Als a – b deelbaar is door n, dan is -(a – b) = b – a ook deelbaar door n.
• Transitiviteit: Als a – b deelbaar is door n en b – c deelbaar is door n, dan is a – c ook deelbaar door n.

Voorbeelden van gelijkwaardigheidsklasse

Het bekende voorbeeld van een equivalentierelatie is de gelijk aan (=) relatie. Met andere woorden: twee elementen van de gegeven verzameling zijn gelijkwaardig aan elkaar als ze tot dezelfde equivalentieklasse behoren. De gelijkwaardigheidsrelaties kunnen worden verklaard aan de hand van de volgende voorbeelden:

Equivalentierelatie op gehele getallen

Gelijkwaardigheidsrelatie: Congruentie modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Equivalentieklasse van 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Equivalentieklasse van 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Equivalentieklasse van 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Equivalentieklasse van 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Equivalentieklasse van 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Equivalentierelatie op reële getallen

Gelijkwaardigheidsrelatie: Absoluut verschil (a ~ b als |a – b| <1)

• Equivalentieklasse van 0: [0] = (-0,5, 0,5)
• Equivalentieklasse van 1: [1] = (0,5, 1,5)
• Equivalentieklasse van 2: [2] = (1,5, 2,5)
• Equivalentieklasse van 3: [3] = (2,5, 3,5)

Lees verder,

• Echte getallen
• gehele getallen
• Rationele nummers

Eigenschappen van gelijkwaardigheidsklassen

De eigenschappen van equivalentieklassen zijn:

• Elk element behoort tot precies één equivalentieklasse.
• Equivalentieklassen zijn disjunct, dat wil zeggen dat het snijpunt van twee equivalentieklassen nul is.
• De vereniging van alle equivalentieklassen is de originele set.
• Twee elementen zijn equivalent als en slechts als hun equivalentieklassen gelijk zijn.

Lees verder,

• Unie van sets
• Snijpunt van sets
• Onsamenhangende sets

Equivalentieklassen en partitie

Groepen elementen in een set die met elkaar verbonden zijn door een equivalentierelatie, terwijl een verzameling van deze equivalentieklassen, die de hele set bestrijken zonder overlappingen, partitie worden genoemd.

Verschil tussen gelijkwaardigheidsklassen en partitie

Het belangrijkste verschil tussen gelijkwaardigheidsklassen en partitie wordt weergegeven in de volgende tabel:

Opgeloste voorbeelden van equivalentieklasse

Voorbeeld 1: Bewijs dat de relatie R een equivalentietype is in de verzameling P= { 3, 4, 5,6 } gegeven door de relatie R = (p, q):.

Oplossing:

Gegeven: R = (p,q):. Waar p, q tot P behoort.

Reflexieve eigenschap

Uit de opgegeven relatie |p – p| = | 0 |=0.

• En 0 is altijd even.
• Daarom |p – p| is gelijk.
• Daarom heeft (p, p) betrekking op R

R is dus reflexief.

Symmetrische eigenschap

Uit de gegeven relatie |p – q| = |q – p|.

• We weten dat |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Vandaar |p – q| is gelijk.
• Volgende |q – p| is ook gelijk.
• Dienovereenkomstig, als (p, q) ∈ R, dan behoort (q, p) ook tot R.

Daarom is R symmetrisch.

Transitieve eigendom

• Als |p – q| even is, dan is (p-q) even.
• Op dezelfde manier, als |q-r| even is, dan is (q-r) ook even.
• De optelling van even getallen is te gelijkmatig.
• We kunnen het dus aanpakken als p – q+ q-r is even.
• Vervolgens is p – r verder even.

Overeenkomstig,

• |p – q| en |q-r| even is, dan |p – r| is gelijk.
• Dus als (p, q) ∈ R en (q, r) ∈ R, dan verwijst (p, r) ook naar R.

Daarom is R transitief.

Voorbeeld 2: Beschouw A = {2, 3, 4, 5} en R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Oplossing:

Gegeven: A = {2, 3, 4, 5} en

Relatie R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

Om R een equivalentierelatie te laten zijn, moet R aan drie eigenschappen voldoen, namelijk reflexief, symmetrisch en transitief.

Reflexief : Relatie R is reflexief omdat (5, 5), (2, 2), (3, 3) en (4, 4) ∈ R.

Symmetrisch : Relatie R is symmetrisch, zoals wanneer (a, b) ∈ R, (b, a) ook betrekking heeft op R, dwz (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitief : Relatie R is transitief, want telkens wanneer (a, b) en (b, c) betrekking hebben op R, heeft (a, c) ook betrekking op R, d.w.z. (3, 5) ∈ R en (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Dienovereenkomstig is R reflexief, symmetrisch en transitief.

R is dus een gelijkwaardigheidsrelatie.

Oefenproblemen op de gelijkwaardigheidsklasse

Probleem 1: aRb als a+b even is. Bepaal of het een equivalentierelatie is en wat de eigenschappen ervan zijn.

Probleem 2: xSy als x en y dezelfde geboortemaand hebben. Analyseer of het een equivalentierelatie is.

Probleem 3: Beschouw A = {2, 3, 4, 5} en R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Bevestig dat R een equivalentietype relatie is.

Probleem 4: Bewijs dat de relatie R een equivalentietype is in de verzameling P= { 3, 4, 5,6 } gegeven door de relatie R = is even .

Equivalentieklasse: veelgestelde vragen

1. Wat is de gelijkwaardigheidsklasse?

Een equivalentieklasse is een subset binnen een set, gevormd door het groeperen van alle elementen die gelijkwaardig zijn aan elkaar onder een gegeven equivalentierelatie. Het vertegenwoordigt alle leden die door die relatie als gelijk worden beschouwd.

2. Wat is het symbool voor gelijkwaardigheidsklasse?

Het symbool voor een equivalentieklasse wordt doorgaans geschreven als [a], waarbij a een representatief element van de klasse is. Deze notatie geeft de verzameling van alle elementen aan die equivalent zijn aan a onder een specifieke equivalentierelatie.

3. Hoe vind je de equivalentieklasse van een set?

Volg deze stappen om de equivalentieklasse van een set te vinden:

Stap 1: Definieer een gelijkwaardigheidsrelatie.

Stap 2: Selecteer een element uit Set.

middelste CSS-knop

Stap 3: Identificeer elementen die gelijkwaardig zijn aan de geselecteerde elementen.

Stap 4: Vorm de gelijkwaardigheidsklasse die alle elementen bevat die gelijkwaardig zijn aan het geselecteerde element.

4. Wat is het verschil tussen gelijkwaardigheidsklasse en partitie?

Equivalentieklassen zijn subsets die worden gevormd door een equivalentierelatie, terwijl partities niet-overlappende subsets zijn die de hele set bestrijken. Elke equivalentieklasse is een subset van een partitie, maar niet elke partitie komt voort uit een equivalentierelatie.

5. Wat is een gelijkwaardigheidsrelatie?

Een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is en een verzameling in onsamenhangende deelverzamelingen verdeelt.