Differentiatie van goniometrische functies is de afgeleide van trigonometrische functies zoals sin, cos, tan, cot, sec en cosec. Differentiatie is een belangrijk onderdeel van de calculus. Het wordt gedefinieerd als de mate waarin de ene grootheid verandert ten opzichte van een andere grootheid. De differentiatie van de trigonometrische functies wordt in het echte leven gebruikt op verschillende gebieden, zoals computers, elektronica en wiskunde.

In dit artikel zullen we leren over de differentiatie van trigonometrische functies, samen met de formules, de bijbehorende bewijzen en hun toepassingen. We zullen ook enkele voorbeelden oplossen en antwoorden krijgen op enkele veelgestelde vragen over de differentiatie van trigonometrische functies. Laten we beginnen met leren over het onderwerp Differentiatie van goniometrische functies.

Wat is differentiatie?

De differentiatie van een functie is de snelheid waarmee een functie verandert ten opzichte van een willekeurige variabele. De derivaat van f(x) wordt aangegeven als f'(x) of (d/dx)[f(x)].

De procedure voor het differentiëren van de trigonometrische functies wordt de differentiatie van trigonometrische functies genoemd. Met andere woorden, het vinden van de mate van verandering van goniometrische functies met betrekking tot de hoeken wordt trigonometrische functiedifferentiatie genoemd.

De zes trigonometrische basisfuncties zijn sin, cos, tan, cosec, sec en cot. We zullen de afgeleiden van alle trigonometrische functies vinden met hun formules en bewijs.

Differentiatieregel voor goniometrische functies

De differentiatie van zes goniometrische basisfuncties is als volgt:

U kunt het bewijs van de afgeleide van deze zes trigonometrische functies bekijken via de onderstaande links:

Bewijs van differentiatie van trigonometrische functies Formule

Zoals hierboven besproken de formules voor alle goniometrische functies, zullen we nu de bovenstaande formules van de differentiatie van de goniometrische functies bewijzen met behulp van het eerste principe van afgeleide, quotiëntregel en kettingregel met behulp van limieten.

Differentiatie van zonde(x)

Om de afgeleide van zonde x te bewijzen, zullen we het eerste principe van de differentiatie en een aantal basisformules voor trigonometrische identiteiten en limieten gebruiken. De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. zonde (X + Y) = zonde X cos Y + zonde Y cos X
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de goniometrische functie sin x

Volgens het eerste principe van differentiatie

(d/dx) zonde x = lim_{u → 0}[{sin(x + h) – zonde x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) zonde x = lim_{u → 0}[{sin x cos h + sin h cos x – zonde x} / h]

⇒ (d/dx) zonde x = lim_{u → 0}[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) zonde x = lim_{u → 0}[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_{u → 0}[(zonde h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Door 2 en 3 te gebruiken]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Daarom is de differentiatie van sin x cos x.

Differentiatie van cos(x)

Om de afgeleide van cos x te bewijzen, zullen we het eerste principe van de differentiatie en een aantal basisformules voor trigonometrische identiteiten en limieten gebruiken. De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_{x → 0}[sinx / x] = 1
3. lim_{x → 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de goniometrische functie cos x

Volgens het eerste principe van differentiatie

(d/dx) cos x = lim_{u → 0}[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_{u → 0}[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_{u → 0}[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_{u → 0}[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_{u → 0}[(zonder u/u) zonder x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Door 2 en 3 te gebruiken]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Daarom is de differentiatie van cos x -sin x.

Differentiatie van tan(x)

Om de afgeleide van tan x te bewijzen, zullen we de quotiëntregel en enkele basisformules voor trigonometrische identiteiten en limieten gebruiken. De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. tan x = zonde x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. want²x + zonde²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de goniometrische functie tan x

Sinds, door (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Door de quotiëntregel te gebruiken

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Door 4 en 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + zonde²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [door 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² X [door 2]

Daarom is de differentiatie van tan x sec ² X.

Differentiatie van cosec(x)

Om de afgeleide van cosec x te bewijzen, zullen we de kettingregel en enkele basisformules voor trigonometrische identiteiten en limieten gebruiken. De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. kinderbed x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / zonde x
3. (d/dx) sin x = cos x

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de goniometrische functie cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [Door 2]

Kettingregel gebruiken

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) zonde x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] vanwege x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x kinderbed x [Door 1 en 2]

Daarom is de differentiatie van cosec x – cosec x kinderbed x.

Differentiatie van sec(x)

Om de afgeleide van sec x te bewijzen, zullen we de quotiëntregel en enkele basisregels gebruiken trigonometrische identiteiten En limieten formule . De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. tan x = zonde x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de goniometrische functie sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Door 2]

Kettingregel gebruiken

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-zonder x)

omgekeerde tekenreeks in Java

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Door 1 en 2]

Daarom is de differentiatie van sec x sec x tan x.

Differentiatie van kinderbed(x)

Om de afgeleide van kinderbed x te bewijzen, zullen we de quotiëntregel en enkele basisformules voor trigonometrische identiteiten en limieten gebruiken. De trigonometrische identiteiten en limietenformule die in het bewijs worden gebruikt, worden hieronder gegeven:

1. kinderbed x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / zonde x
3. want²x + zonde²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Laten we beginnen met het bewijs voor de differentiatie van de trigonometrische functie cot x

Sinds, door (1)

kinderbed x = cos x / sin x

(d/dx) kinderbed x = (d/dx)[cosx / sin x]

Door de quotiëntregel te gebruiken

(d/dx) kinderbed x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) kinderbed x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Door 4 en 5]

⇒ (d/dx) kinderbed x = [ -sin²x – cos²x] / zonde²X

⇒ (d/dx) kinderbed x = -[ zonde²x + cos²x] / zonde²X

⇒ (d/dx) kinderbed x = -1 / zonde²x [door 3]

⇒ (d/dx) kinderbed x = -cosec ² X [door 2]

Daarom is de differentiatie van ledikant x -cosec ² X.

Enkele andere trigfunctiederivaten

De differentiatie van de trigonometrische functies kan eenvoudig worden gedaan met behulp van de kettingregel. De complexe goniometrische functies en samengestelde goniometrische functies kunnen worden opgelost door toe te passen kettingregel van differentiatie. In de volgende paragrafen zullen we de differentiatie van de kettingregel en de samengestelde trig-functies in detail verder bestuderen.

• Differentiatie met behulp van de kettingregel
• Differentiatie van samengestelde trigfunctie

Laten we deze onderwerpen in detail bespreken.

Ketenregel en trigonometrische functie

De kettingregel stelt dat als p(q(x)) een functie is, de afgeleide van deze functie wordt gegeven door het product van de afgeleide van p(q(x)) en de afgeleide van q(x). Om onderscheid te maken wordt gebruik gemaakt van de kettingregel samengestelde functies . De kettingregel wordt meestal gebruikt om de samengestelde trig-functies gemakkelijk te differentiëren.

Voorbeeld: Vind de afgeleide van f(x) = tan 4x

Oplossing:

f(x) = bruin 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [bruin 4x]

Door de kettingregel toe te passen

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sec²4x)(4)

Differentiatie van samengestelde trigfunctie

Om de differentiatie van de samengestelde trig-functies te evalueren, passen we de ketendifferentiatieregel toe. De samengestelde trigfuncties zijn de functies waarin de hoek van de goniometrische functie zelf een functie is. De differentiatie van samengestelde trigonometrische functies kan eenvoudig worden geëvalueerd door de kettingregel en de differentiatieformules voor trig-functies toe te passen.

Voorbeeld: Vind de afgeleide van f(x) = cos(x ² +4)

Oplossing:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Door de kettingregel toe te passen

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Wat zijn inverse trigonometrische functies?

De inverse trigonometrische functies zijn de inverse functies van de trigonometrische functies. Er zijn zes inverse trigonometrische functies: sin^-1, omdat^-1, Dus^-1, cosec^-1, sec^-1, kinderbed^-1. De inverse trigonometrische functies worden ook wel boogfuncties genoemd.

Differentiatie van inverse trigonometrische functies

De afgeleiden van zes inverse trigonometrische functies zijn als volgt:

Voorbeeld: Vind de afgeleide van f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Oplossing:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [zonde^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Toepassingen op differentiatie van goniometrische functies

Er zijn veel verschillende toepassingen van de differentiatie van de trigonometrische functies in het echte leven. Hieronder volgen de toepassingen van de differentiatie van de trigonometrische functies.

• De helling van de raaklijn en de normaallijn van de goniometrische curve kan worden bepaald met behulp van de differentiatie van de goniometrische functies.
• Het kan ook worden gebruikt om de maxima en minima van de functie te bepalen.
• Het wordt ook gebruikt op het gebied van computers en elektronica.

Controleer ook

• Inverse Trig-afgeleide
• Antiderivaat
• Differentiatieformules

Voorbeeldproblemen bij differentiatie van trigfuncties

Probleem 1: Vind de afgeleide van f(x) = tan 2x.

Oplossing:

f(x) = bruin 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) bruin 2x

Door de kettingregel toe te passen

f'(x) = (d/dx) [bruin 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sec²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sec²2x

Probleem 2: Vind de afgeleide van y = cos x / (4x ² )

Oplossing:

y = cos x / (4x²)

Quotiëntregel toepassen

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

obj in java

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Probleem 3: Evalueer de afgeleide f(x) = cosec x + x tan x

Oplossing:

f(x) = cosec x + x tan x

Door formule en productregel toe te passen

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x kinderbed x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x kinderbed x + tan x + xsec²X

Probleem 4: Vind de afgeleide van de functie f(x) = 6x ⁴ omdat x

Oplossing:

f(x) = 6x⁴omdat x

Door productregel toe te passen

f'(x) = (d/dx) [6x⁴omdat x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-zonder x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴zonder x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x zonde x]

Probleem 5: Evalueer de afgeleide: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Oplossing:

f(x) = (x + cos x) (1 – zonde x)

Door productregel toe te passen

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – zonde x) (1 – zonde x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – zonde x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + zonde²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Oefenproblemen met de differentiatie van goniometrische functies

Probleem 1: Bereken de afgeleide van y = sin(x) + cos(x).

Probleem 2: Bereken de afgeleide van y = 2sin(x) – 3cos(x).

Probleem 3: Zoek de afgeleide van y = 2sin(3x).

Probleem 4: Bepaal de afgeleide van y = tan(5x).

Probleem 5: Bereken de afgeleide van y = sin(x) cos(x).

Probleem 6: Bereken de afgeleide van y = cos²(X).

Probleem 7: Bepaal de afgeleide van y = tan²(X).

Probleem 8: Bepaal de afgeleide van y = tan(x) sec(x).

Veelgestelde vragen over differentiatie van goniometrische functies

Wat is differentiatie?

Differentiatie is een wiskundige bewerking die de snelheid berekent waarmee een functie verandert ten opzichte van zijn onafhankelijke variabele.

Wat is trigonometrische functie?

Trigonometrische functies zijn wiskundige functies die de hoeken van een rechthoekige driehoek in verband brengen met de verhoudingen van de zijden.

Wat zijn algemene trigonometrische functies?

Veel voorkomende trigonometrische functies zijn sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tan), cosecans (cosec), secans (sec) en cotangens (cot).

Definieer de differentiatie van goniometrische functies.

De methode voor het differentiëren van de goniometrische functies wordt differentiatie van goniometrische functies genoemd.

Hoe differentieer je de sinusfunctie, dat wil zeggen sin (x)?

De afgeleide van sin (x) is cos (x). In wiskundige notatie is d/dx(sin(x)) = cos(x).

Wat krijgen we na differentiatie van de cosinusfunctie, dat wil zeggen cos (x)?

De afgeleide van cos (x) is -sin (x). In wiskundige notatie is d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Hoe differentieer je de raaklijnfunctie, dat wil zeggen tan (x)?

De afgeleide van tan(x) is sec²(x), waarbij sec(x) de secansfunctie is. In wiskundige notatie is d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Wat zijn de formules voor differentiatie van goniometrische functies?

De formule voor de differentiatie van trigonometrische functies is:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) bruin x = sec²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x kinderbed x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) kinderbed x = -cosec²X

Geef een voorbeeld van het differentiëren van een goniometrische functie.

Laten we een functie bekijken f(x) = 2sin(3x).

Met behulp van de kettingregel,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Welke methoden worden gebruikt om de differentiatie van goniometrische functies af te leiden?

De verschillende manieren waarop de formule voor de differentiatie van trigonometrische functies kan worden afgeleid, zijn:

• Door gebruik te maken van het eerste principe van de derivaten
• Door gebruik te maken van de Quotiënt regel
• Door gebruik te maken van de kettingregel

Wat is anti-differentiatie van de trigonometrische functies?

De anti-differentiatie van de goniometrische functies betekent het vinden van de integratie van de goniometrische functies.