Quotiëntregel is een methode voor het vinden van de afgeleide van een functie die het quotiënt is van twee andere functies. Het is een methode die wordt gebruikt voor het differentiëren van problemen waarbij de ene functie wordt gedeeld door de andere. We gebruiken de quotiëntregel als we de afgeleide moeten vinden van een functie van de vorm: f(x)/g(x).

Laten we leren over de quotiëntregel in Calculus, de formule en afleiding ervan, met behulp van opgeloste voorbeelden.

Definitie van quotiëntregel

De quotiëntregel is de regel van differentiatie van de functies die worden gegeven in de vorm van breuken , waar beide teller En noemer zijn individuele functies. De quotiëntregel is een fundamentele techniek in rekening voor het vinden van de afgeleide van een functie die het quotiënt (verhouding) van twee is differentieerbare functies . Het biedt een methode om uitdrukkingen te differentiëren waarbij de ene functie wordt gedeeld door een andere.

Stel dat we een functie f(x) = g(x)/h(x) krijgen, dan de differentiatie van f(x), f'(x) wordt gevonden als,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Quotiëntregelformule

De quotiëntregelformule is de formule die wordt gebruikt om de differentiatie van de functie te vinden die wordt uitgedrukt als de quotiëntfunctie. Hieronder staat de formule van de quotiëntregel:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Waar,

• jij(x) is de eerste functie die een differentieerbare functie is,
• jij'(x) is de afgeleide van functie u(x),
• v(x) is de tweede functie die een differentieerbare functie is, en
• v'(x) is de afgeleide van de functie v(x).

Bewijs van quotiëntregel

We kunnen de quotiëntregel afleiden met behulp van de volgende methoden:

• Ketenregel gebruiken
• Impliciete differentiatie gebruiken
• Gebruik van derivaten- en limieteigenschappen

Laten we ze nu in detail leren kennen.

Afleiding van de quotiëntregel met behulp van de kettingregel

Bewijzen: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

js ingesteld

Gegeven: H(x) = f(x)/g(x)

Bewijs:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Met behulp van de productregel,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Het toepassen van de machtsregel,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Daarmee is de quotiëntregel bewezen.

Lees verder:

• Kettingregel

Afleiding van de quotiëntregel met behulp van impliciete differentiatie

Laten we een differentieerbare functie f(x) nemen, zodat f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

met behulp van de productregel,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Nu oplossen voor f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Vervanging van de waarde van f(x) als: f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Daarmee is de quotiëntregel bewezen.

Lees verder

• Impliciete differentiatie

Afleiding van de quotiëntregel met behulp van afgeleide en limieteigenschappen

Laten we een differentieerbare functie f(x) nemen zodat f(x) = u(x)/v(x),

We weten dat,

f'(x) = lim_{u → 0}[f(x+h) – f(x)] / u

Vervanging van de waarde van f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_{u → 0}[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / u

f'(x) = lim_{u → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

De limiet verdelen,

f'(x) = {lim_{u → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_{u → 0}1/v(x).v(x+h)}

probeer vangen in java

⇒ f'(x) = {lim_{u → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_{u → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_{u → 0}[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1 in²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_{u → 0}[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_{u → 0}[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1 in²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Dat is de vereiste quotiëntregel.

Lees verder

• Eigenschappen van grenzen
• Regels voor derivaten

Hoe de quotiëntregel te gebruiken bij differentiatie?

Om de quotiëntregel toe te passen, volgen we de volgende stappen:

Stap 1: Schrijf de afzonderlijke functies als u(x) en v(x).

Stap 2: Zoek de afgeleide van de individuele functie u(x) en v(x), d.w.z. zoek u'(x) en v'(x). Pas nu de quotiëntregelformule toe,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Stap 3: Vereenvoudig de bovenstaande vergelijking en het geeft de differentiatie van f(x).

We kunnen dit concept begrijpen met behulp van een voorbeeld.

Voorbeeld: Vind f'(x) als f(x) = 2x ³ /(x+2)

Gegeven,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Als we vergelijken met f(x) = u(x)/v(x), krijgen we

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x+2)

Nu onderscheid maken tussen u(x) en v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Met behulp van de quotiëntregel,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​)/(x + 1)²

Product- en quotiëntregel

De productdifferentiatieregel wordt gebruikt om de differentiatie van een functie te vinden wanneer de functie wordt gegeven als product van twee functies.

Productdifferentiatieregel stelt dat , als P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Terwijl de quotiëntregel voor differentiatie wordt gebruikt om een ​​functie te differentiëren die wordt weergegeven als een deling van twee functies, d.w.z. f(x) = p(x)/q(x).

Dan is de afleiding van f(x) met behulp van de quotiënt regel wordt berekend als,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Moet lezen

• Productregel in Calculus
• Kettingregel
• Differentiatie- en integratieformule
• Logaritmische differentiatie
• Grondbeginselen van Calculus
• Toepassing van derivaten

Voorbeelden van quotiëntregels

Laten we enkele voorbeeldvragen over de quotiëntregel oplossen.

Voorbeeld 1: Differentiëren old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Oplossing:

Zowel de teller- als de noemerfuncties zijn differentieerbaar.

Quotiëntregel toepassen,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Voorbeeld 2: Differentiëren, f(x) = tan x.

Oplossing:

tan x wordt geschreven als sinx/cosx, d.w.z.

tan x = (zonde x) / (cos x)

Zowel de teller- als de noemerfuncties zijn differentieerbaar.

vlc om YouTube-video's te downloaden

Quotiëntregel toepassen,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Voorbeeld 3: Differentiëren, f(x)= e ^X /X ²

Oplossing:

Zowel de teller- als de noemerfuncties zijn differentieerbaar.

Quotiëntregel toepassen,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Voorbeeld 4: Differentiëren, y=frac{cosx}{x^2}

Oplossing:

Zowel de teller- als de noemerfuncties zijn differentieerbaar.

Quotiëntregel toepassen,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Voorbeeld 5: Differentiëren, f(p) = p+5/p+7

Oplossing:

Zowel de teller- als de noemerfuncties zijn differentieerbaar.

Quotiëntregel toepassen,

hoe java af te drukken

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Oefen problemen

Hier zijn een paar oefenproblemen met de quotiëntregel die u kunt oplossen.

P1. Vind de afgeleide van f(x) = (x ² + 3)/(zonder x)

P2. Vind de afgeleide van f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Vind de afgeleide van f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Bereken de afgeleide van f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Quotiëntregel van afgeleide – Veelgestelde vragen

Wat is de quotiëntregel van differentiatie?

De quotiëntregel voor differentiatie is de regel die wordt gebruikt om de differentiatie van de functie te vinden die in de quotiëntvorm wordt gegeven, dat wil zeggen een functie die wordt gegeven als de deling van twee functies.

Wat is de quotiëntregelformule?

Quotiëntregelformule is,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Deze formule geeft de differentiatie van de functie die wordt weergegeven als f(x)/g(x).

Hoe de formule van de quotiëntregel af te leiden?

De quotiëntregel kan worden afgeleid met behulp van drie methoden:

• Op derivaten- en limieteigenschappen
• Door impliciete differentiatie
• Volgens kettingregel

Hoe de quotiëntregel te gebruiken?

De quotiëntregel wordt gebruikt om de differentiatie van de functie te vinden, uitgedrukt als de deling van twee functies die alle functies van de vorm f(x) en g(x) omvat, zodat individuele differentiatie van f(x) en g(x) bestaat en g(x) kan nooit nul zijn.

Hoe vind je de afgeleide van een deelfunctie?

De afgeleide van de delingsfunctie kan gemakkelijk worden gevonden met behulp van de quotiëntregelformule, dat wil zeggen als we de differentiatie van H(x) zo moeten vinden dat H(x) wordt uitgedrukt als H(x) = f(x)/g(x) dan wordt de afgeleide ervan uitgedrukt als,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Wat is de limiet van de quotiëntregel?

De quotiëntregel voor limieten stelt dat de limiet van een quotiëntfunctie gelijk is aan het quotiënt van de limiet van elke functie.