Afgeleide van inverse trigfunctie verwijst naar de mate van verandering in inverse trigonometrische functies. We weten dat de afgeleide van een functie de mate van verandering in een functie is ten opzichte van de onafhankelijke variabele. Voordat je dit leert, moet je de differentiatieformules van goniometrische functies kennen. Om de afgeleide van de inverse trigonometrische functie te vinden, zullen we eerst de trigonometrische functie gelijkstellen aan een andere variabele om de inverse ervan te vinden en deze vervolgens differentiëren met behulp van de impliciete differentiatieformule.

In dit artikel zullen we de D afgeleide van inverse trigfuncties, formules voor differentiatie van inverse trigfuncties, en los enkele voorbeelden op die daarop zijn gebaseerd. Maar voordat we verder gaan, laten we eerst het concept van opfrissen i nverse trigonometrische functies en impliciete differentiatie.

• Inverse trigonometrische functies
• Wat is impliciete differentiatie?
• Wat is een afgeleide van inverse trigonometrische functies?
• Bewijs van afgeleide van inverse trigfuncties
• Inverse Trig-afgeleide formule
• Inverse Trig-afgeleide voorbeelden

Inverse trigonometrische functies

Inverse trigonometrische functies zijn de inverse functies van de trigonometrische verhoudingen, dwz sin, cos, tan, cot, sec en cosec. Deze functies worden veel gebruikt op gebieden als natuurkunde, wiskunde, techniek en andere onderzoeksgebieden. Net zoals optellen en aftrekken de inverse van elkaar zijn, geldt hetzelfde voor de inverse van trigonometrische functies.

zonder θ = x

⇒ ik ​= z in ⁻¹ X ​

Vertegenwoordiging van inverse trigonometrische functies

Ze worden weergegeven door optelling boog in het voorvoegsel of door -1 toe te voegen aan de macht.

Inverse sinus kan op twee manieren worden geschreven:

• zonder^-1X
• arcsin x

Hetzelfde geldt voor cos en tan.

Opmerking: Verwar zonde niet^-1x met (zonde x)^-1. Ze zijn verschillend. Zonde schrijven^-1x is een manier om inverse sinus te schrijven, terwijl (sin x)^-1betekent 1/zonde x.

Domein van inverse trigonometrische functies

We weten dat een functie alleen differentieerbaar is als deze op dat punt continu is en als een functie op een bepaald punt continu is, dan is dat punt het domein van de functie. Daarom moeten we het domein van de inverse trigonometrische functies hiervoor leren.

Laten we nu kort de techniek van impliciete differentiatie leren.

Wat is impliciete differentiatie?

Impliciete differentiatie is een methode die gebruik maakt van de kettingregel om impliciet gedefinieerde functies te differentiëren. Een impliciete functie is de functie die twee variabelen bevat in plaats van één variabele. In zo'n geval kunnen we de functie soms expliciet in één variabele omzetten, maar dit is niet altijd het geval. Daarom is het over het algemeen niet eenvoudig om de functie expliciet te vinden en vervolgens te differentiëren. In plaats daarvan kunnen we f(x, y), dat wil zeggen beide variabelen, volledig differentiëren en vervolgens de rest van de vergelijking oplossen om de waarde van f'(x) te vinden.

Lees gedetailleerd: Calculus in wiskunde

Wat is een afgeleide van inverse trigonometrische functies?

Inverse Trig Derivative is de afgeleide van inverse trigonometrische functies. Er zijn zes trigonometrische functies en er bestaat een inverse voor elk van deze trigonometrische functies. Dit zijn zonde^-1x, co^-1x, dus^-1x, cosec^-1x, sec^-1x, kinderbed^-1X. We kunnen de afgeleide van inverse trigonometrische functies vinden met behulp van de impliciete differentiatiemethode. Laten we eerst eens kijken wat de afgeleiden zijn van inverse trigonometrische functies.

• Afgeleid van zonde^-1x is d(zonde^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) voor alle x ϵ (-1, 1)
• Afgeleide van cos^-1x is d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) voor alle x ϵ (-1, 1)
• Afgeleide van tan^-1x is d(bruin^-1x)/dx = 1/(1 + x²) voor alle x ϵ R
• Afgeleide van cosec^-1x is d(cosec^-1x)/dx = -1/ voor alle x ϵ R – [-1, 1]
• Afgeleide van sec^-1x is d(sec^-1x)/dx = 1/x voor alle x ϵ R – [-1, 1]
• Afgeleid van kinderbedje^-1x is d(kinderbed^-1x)/dx = -1/(1 + x²) voor alle x ϵ R

De afbeelding voor de inverse trigonometrische afgeleide is hieronder bijgevoegd:

Nu we hebben geleerd wat de afgeleiden zijn van alle zes inverse trigonometrische functies, zullen we nu leren hoe we de afgeleide van de zes inverse trigonometrische functies kunnen vinden.

Bewijs van afgeleide van inverse trigfuncties

We kunnen de inverse trigonometrische functies differentiëren met behulp van het eerste principe en ook door een impliciete differentiatieformule te gebruiken, waarbij ook de kettingregel wordt gebruikt. Het vinden van de afgeleide van inverse trigonometrische functies met behulp van het eerste principe is een langdurig proces. In dit artikel leren we hoe we inverse goniometrische functies kunnen differentiëren met behulp van impliciete differentiatie. We kunnen de afgeleide (dy/dx) van inverse trig-functies vinden met behulp van de volgende stappen

Stap 1: Neem de trigonometrische functies aan in de vorm sin y = x

Stap 2: Vind de afgeleide van bovenstaande functie met behulp van impliciete differentiatie

Stap 3: Bereken dy/dx

Stap 4: Vervang de waarde van de trigonometrische functie die aanwezig is in stap 3 met behulp van trigonometrische identiteiten.

Afgeleide van zonde inverse x

Laten we aannemen dat zonde y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ cos en. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Omdat we weten dat Zonde²en + Cos²j = 1

⇒ Cos²y = 1 – zonde²En

karakter.vergelijk Java

⇒ gezellig = √(1 – zonde²y) = √(1 – x²) omdat we sin y = x hebben

Deze waarde van cos y in vergelijking (i) plaatsen

dy/dx = 1/√(1 – x²) waarbij y = zonde^-1X

Afgeleide van cos inverse X

Laten we aannemen dat cos y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ -zonder en. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Omdat we weten dat Zonde²en + Cos²j = 1

⇒ zonder²y = 1 – cos²En

⇒ zonde y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) omdat we cos y = x hebben

Deze waarde van sin y in vergelijking (i) plaatsen

dy/dx = -1/√(1 – x²) waarbij y = cos^-1X

Afgeleide van tan inverse X

Laten we aannemen dat tan y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ sec²j. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²en →(ik)

Omdat we weten dat sec²en dus²j = 1

⇒ sec²y = 1 + bruin²En

⇒ sec²y = (1 + bruin²y) = (1 + x²) omdat we tan y = x hebben

Door deze waarde van sec²y in vergelijking (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) waarbij y = bruin^-1X

Afgeleide van wieginverse X

Laten we aannemen dat wieg y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ -cosec²j. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²en →(ik)

Omdat we weten dat csec²en – kinderbedje²j = 1

⇒ cosec²y = 1 + kinderbed²En

⇒ cosec²y = (1 + kinderbed²y) = (1 + x²) omdat we kinderbedje y = x hebben

Door deze waarde van cosec²y in vergelijking (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) waarbij y = kinderbedje^-1X

Afgeleide van sec inverse X

Laten we aannemen dat sec y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

Omdat we weten dat sec²en dus²j = 1

⇒ dus²y = sec²en 1

⇒ bruin y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1) omdat we sec y = x hebben

Deze waarde van tan y in vergelijking (i) plaatsen

dy/dx = 1/x waarbij sec y = x en y = sec^-1X

Afgeleide van cosec inverse X

Laten we aannemen dat cosec y = x

Beide kanten differentiëren met betrekking tot x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Omdat we dat weten cosec²en – kinderbedje²j = 1

⇒ kinderbed²y = cosec²en 1

⇒ kinderbed y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1) omdat we cosec y = x hebben

Deze waarde van tan y in vergelijking (i) plaatsen

dy/dx = -1/x waarbij cosec y = x en y = cosec^-1X

Inverse Trig-afgeleide formule

Nu we hebben geleerd hoe we de inverse trigonometrische functies kunnen differentiëren, zullen we nu kijken naar de formules voor de afgeleide van de inverse trigonometrische functies die direct in de problemen kunnen worden gebruikt. Hieronder vindt u de tabel met de afgeleide van de formule voor de inverse trigonometrische functie.

Lees verder,

log4j

• Afgeleide in parametrische vorm
• Afgeleide formules
• Toepassing van derivaat
• Afgeleide van exponentiële functie

Inverse Trig-afgeleide voorbeelden

Voorbeeld 1: Maak onderscheid tussen zonde ^-1 (X)?

Oplossing:

Laten, En = zonder ⁻¹( X )

Het nemen van sinus aan beide zijden van de vergelijking geeft,

zonde y = zonde(zonde^-1X)

Door de eigenschap van inverse trigonometrie weten we: sin(sin^-1x) = x

zonde y = x

Nu differentiëren we beide kanten tov x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

We kunnen het nog eenvoudiger maken door de onderstaande observatie te gebruiken:

zonder²en + cos²j = 1

X²+ co²y = 1 {Als zonde y = x}

want²y = 1x²

cos y = √(1 – x²)

Als we de waarde vervangen, krijgen we

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Voorbeeld 2: Differentieer cos ^-1 (X)?

Oplossing:

Laten,

En = co⁻¹( X )

Het nemen van cosinus aan beide kanten van de vergelijking geeft,

cos y = cos(cos^-1X)

Door de eigenschap van inverse trigonometrie weten we: cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Nu differentiëren we beide zijden tov x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

We kunnen het nog eenvoudiger maken door de onderstaande observatie te gebruiken:

zonder²en + cos²j = 1

zonder²y + x²= 1 {Als cos y = x}

zonder²y = 1x²

zonde y = √(1 – x²)

Als we de waarde vervangen, krijgen we

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Voorbeeld 3: Differentieer tan ^-1 (X)?

Oplossing:

Laten, En = dus⁻¹( X )

Bruinen aan beide kanten van de vergelijking geeft,

bruin y = bruin(bruin^-1X)

Door de eigenschap van inverse trigonometrie weten we: tan(tan^-1x) = x

bruin y = x

Nu differentiëren we beide zijden tov x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sec²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sec²X

We kunnen het nog eenvoudiger maken door de onderstaande observatie te gebruiken:

sec²en dus²j = 1

sec²y-x²= 1

sec²y = 1 + x²

Als we de waarde vervangen, krijgen we

dy/dx = 1/sec²En

dy/dx = 1/(1 + x²)

Voorbeeld 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Vind dy/dx bij x = 1/2?

Oplossing:

Methode 1 (impliciete differentiatie gebruiken)

Gegeven, En = want ⁻¹(−2 X ²)

⇒ cos En = −2 X ²

Differentiëren van beide kanten tov x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Vereenvoudigen

zonder²en + cos²j = 1

zonder²en + (-2x²)²= 1 {Als cos y = -2x²}

zonder²j + 4x⁴= 1

zonder²y = 1 – 4x⁴

zonde y = √(1 – 4x⁴)

Door de verkregen waarde die we krijgen te plaatsen,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒dy/dx = 4/√3

Methode 2 (met behulp van de kettingregel omdat we de differentiatie van cos inverse x kennen)

Gegeven, En = want ⁻¹(−2 X ²)

Differentiëren van beide kanten tov x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Voorbeeld 5: Differentiëren egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Oplossingen:

Laten,

q1 q2 q3 q4

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Differentiëren van beide kanten tov x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Inverse Trig-afgeleide vragen

Probeer de volgende vragen over inverse trigafgeleide vragen

Vraag 1: Maak onderscheid tussen zonde ^-1 (3x – 4x ³ ) voor x ϵ -1/2