In de wiskunde worden de termen exponenten en machten gebruikt wanneer een getal een bepaald aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld 4 × 4 × 4= 64. Dit kan ook in korte vorm worden geschreven als 4³= 64. Hier 4³betekent dat het getal 4 drie keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, en de verkorte vorm 4³is de exponentiële uitdrukking. Het getal 4 is het grondtal, terwijl het getal 3 de exponent is, en we lezen de gegeven exponentiële uitdrukking als 4 verheven tot de macht 3. In een exponentiële uitdrukking is de grondtal de factor die herhaaldelijk met zichzelf wordt vermenigvuldigd, terwijl de exponent is het aantal keren dat de factor voorkomt.

Definitie van exponenten en machten

Als een getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd n keer , staat de resulterende expressie bekend als de nde macht van het opgegeven getal. Er is een heel dunne lijn van verschil tussen exponent en macht. Een exponent is het aantal keren dat een bepaald getal met zichzelf is vermenigvuldigd, terwijl de macht de waarde is van het product van het grondtal verheven tot een exponent. Met behulp van de exponentiële vorm van getallen kunnen we gemakkelijker extreem grote en kleine getallen uitdrukken. 100000000 kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt als 1 × 10⁸, en 0,0000000000013 kan worden uitgedrukt als 13 × 10^-13. Dit maakt cijfers gemakkelijker te lezen, helpt de nauwkeurigheid ervan te behouden en bespaart ons ook tijd.

Regels voor exponenten en machten

De regels voor exponenten en machten leggen uit hoe je exponenten kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en hoe je verschillende soorten wiskundige vergelijkingen met exponenten en machten kunt oplossen.

Regel 1: Productwet van exponenten

Volgens deze wet worden de exponenten bij elkaar opgeteld als exponenten met dezelfde grondtallen worden vermenigvuldigd.

Productwet van exponenten:^M× een^N= een^{(m+ n)}

Regel 2: Quotiëntregel van exponenten

Volgens deze wet moeten we, om twee exponenten met dezelfde grondtallen te delen, de exponenten van elkaar aftrekken.

Quotiëntregel van exponenten:^M/A^N= een^{(m – n)}

Regel 3: Macht van een machtsregel

Volgens deze wet worden de machten vermenigvuldigd als een exponentieel getal tot een andere macht wordt verheven.

Kracht van een machtsregel: (a^M)^N= een^{(m× n)}

Regel 4: De kracht van een productregel

Volgens deze wet moeten we de verschillende basen vermenigvuldigen en dezelfde exponent verheffen tot het product van basen.

Kracht van een productregel:^M× b^M=(een × b)^M.

Regel 5: Kracht van een quotiëntregel

Volgens deze wet moeten we de verschillende bases verdelen en dezelfde exponent verheffen tot het quotiënt van bases.

Kracht van een quotiëntregel:^M÷ b^M=(a/b)^M

Regel 6: Regel van nul-exponent

Volgens deze wet is de waarde van een grondtal tot de macht nul gelijk aan 1.

Nul-exponentregel:⁰=1

Regel 7: Negatieve exponentregel

Volgens deze wet, als een exponent negatief is, verander dan de exponent in positief door het omgekeerde van een exponentieel getal te nemen.

Negatieve exponentregel:^-M= 1/een^M

Regel 8: Regel van fractionele exponenten

Volgens deze wet resulteert dit in radicalen als we een fractionele exponent hebben.

Fractionele exponentregel:^(1/n)=^N√een

A^(m/n)=^N√een^M

Wat betekent 10 tot de macht van 4?

Oplossing:

Laten we de waarde van 10 tot het vierde gemiddelde berekenen, d.w.z. 10⁴

We weten dat volgens de machtsregel van exponenten,

A^M= a × a × a… m keer

Daarom kunnen we 10 schrijven⁴als 10 × 10 × 10 × 10 = 10000

Daarom,

de waarde van 10 verhoogd tot de macht 4, d.w.z. 10⁴is 10000.

Voorbeeldproblemen

Probleem 1: Vind de waarde van 3⁶.

Oplossing:

De gegeven uitdrukking is 3⁶.

De basis van de gegeven exponentiële uitdrukking is 3, terwijl de exponent 6 is, d.w.z. de gegeven uitdrukking wordt gelezen als 3 tot de macht 6.

Dus door 3 uit te breiden⁶, wij krijgen er 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Vandaar de waarde van 3⁶is 729.

Probleem 2: Bepaal de exponent en macht voor de uitdrukking (12)⁵.

Oplossing:

De gegeven uitdrukking is 12⁵.

De basis van de gegeven exponentiële uitdrukking is 12, terwijl de exponent 5 is, dat wil zeggen dat de gegeven uitdrukking wordt gelezen als 12 tot de macht 5.

Probleem 3: Evalueer (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Oplossing:

Gegeven: (2/7)^-5×(2/7)⁷

Hoe een script op Linux uit te voeren

Wij weten dat, a^M× een^N= een^{(m + n)}

Dus, (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Daarom (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

Probleem 4: Zoek de waarde van x in de gegeven uitdrukking: 5^3x-2= 625.

Oplossing:

gegeven, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

Door de exponenten van dezelfde basis te vergelijken, krijgen we

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

De waarde van x is dus 2.

Probleem 5: Vind de waarde van k in de gegeven uitdrukking: (-2/3)⁴23)^-vijftien= (23)^7k+3

Oplossing:

Gegeven,

(-23)⁴23)^-vijftien= (23)^7k+3

23)⁴23)^-vijftien= (23)^7k+3{Sinds (-x)⁴= x⁴}

Wij weten dat, a^M× een^N= een^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^-elf= (23)^7k+3

Door de exponenten van dezelfde basis te vergelijken, krijgen we

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

De waarde van k is dus -2.