Als we de omgekeerde, inverse en contrapositieve uitspraken willen leren, moeten we ons vorige artikel, Logical Connectives, lezen.
Logische verbindingen
Logische connectieven zijn een type operator dat wordt gebruikt om een of meer proposities te combineren. Er zijn in principe vijf soorten connectieven in de propositielogica. In deze sectie gaan we leren over het omgekeerde, het omgekeerde en het contrapositieve van voorwaardelijke uitspraken.
Convers, omgekeerd en contrapositief
Als er een voorwaardelijke verklaring x → y is, dan
- De omgekeerde verklaring is y → x
- De omgekeerde verklaring is ∼x → ∼y
- De contrapositieve verklaring is ∼y → ∼x
Belangrijke aantekeningen:
Er zijn enkele belangrijke punten die we in gedachten moeten houden en die als volgt worden beschreven:
Opmerking 1: We kunnen de omgekeerde, inverse en contrapositieve uitspraken alleen schrijven voor de voorwaardelijke uitspraken x → y.
Opmerking 2: Als we twee acties uitvoeren, is de uitvoer altijd de derde.
Bijvoorbeeld:
- Contrapositief kan worden omschreven als het omgekeerde van het omgekeerde.
- Converse kan worden omschreven als het omgekeerde van contrapositief.
- Contrapositief kan worden omschreven als het omgekeerde van het omgekeerde.
- Inverse kan worden omschreven als het omgekeerde van contrapositief.
- Converse kan worden omschreven als een contrapositief van inverse.
- Inverse kan worden omschreven als een contrapositief van conversatie.
Notitie 3:
Voor een voorwaardelijke verklaring x → y,
Er zal een gelijk resultaat zijn tussen de omgekeerde verklaring (y → x) en de omgekeerde verklaring (∼x → ∼y).
Er zal ook hetzelfde resultaat zijn tussen x → y en de contrapositieve verklaring ervan (∼y → ∼x).
Probleemgebaseerd op Converse, Inverse en Contrapositief
Er zijn enkele problemen op basis van het omgekeerde, het omgekeerde en het contrapositieve, en we zullen er enkele als volgt laten zien:
Probleem 1:
Hier zullen we het omgekeerde, het omgekeerde en het contrapositieve van enkele uitspraken opschrijven, die hieronder worden weergegeven:
- Als het zonnig weer is, ga ik naar school.
- Als 3y - 2 = 10, dan is x = 1.
- Als het regent, ga ik naar buiten om ervan te genieten.
- Alleen als je hard studeert, krijg je goede cijfers.
- Ik ga naar de markt als mijn neven en nichten komen.
- Ik ga naar de universiteit als mijn vrienden komen.
- Ik geef je alleen een feestje als ik een goede jurk koop.
- Als ik beroemd word, verdien ik veel geld.
Oplossing:
Deel 1:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven stelling is: 'Als het zonnig weer is, dan ga ik naar school.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'als x dan y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
x: Het is zonnig weer
y: Ik ga naar school
Omgekeerde verklaring: Als ik naar school ga, is het zonnig weer.
Omgekeerde verklaring: Als het niet zonnig weer is, ga ik niet naar school.
Contrapositieve verklaring: Als ik niet naar school ga, is het geen zonnig weer.
Deel 2:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven verklaring is: 'Als 3a - 2 = 10, dan is a = 1.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'als x dan y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
x: 3a - 2 = 10
en: a = 1
Omgekeerde verklaring: Als a = 1, dan is 3a - 2 = 10.
Omgekeerde verklaring: Als 3a - 2 ≠ 10, dan a ≠ 1.
Contrapositieve verklaring: Als a ≠ 1, dan 3a - 2 ≠ 10.
Deel 3:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven uitspraak is: 'Als het regent, dan ga ik naar buiten om ervan te genieten.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'als x dan y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Er is regenachtig weer
Y: Ik ga naar buiten om ervan te genieten
Omgekeerde verklaring: Als ik naar buiten ga om ervan te genieten, dan is het regenachtig weer.
Omgekeerde verklaring: Als het geen regenachtig weer is, ga ik niet naar buiten om ervan te genieten.
Contrapositieve verklaring: Als ik niet naar buiten ga om ervan te genieten, dan is er geen regenachtig weer.
Deel 4:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven stelling is: 'Je krijgt alleen goede cijfers als je hard studeert.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'x alleen als y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Je krijgt goede cijfers
Y: Je studeert hard
Omgekeerde verklaring: Als je hard studeert, krijg je goede cijfers.
Omgekeerde verklaring: Als je geen goede cijfers haalt, studeer je niet hard.
Contrapositieve verklaring: Als je niet hard studeert, haal je geen goede cijfers.
Deel 5:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven uitspraak is: 'Ik ga naar de markt als mijn neven en nichten komen.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'y als x'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Mijn neven en nichten komen
Y: Ik ga naar de markt
Omgekeerde verklaring: Als ik naar de markt ga, komen mijn neven en nichten.
Omgekeerde verklaring: Als mijn neven en nichten niet komen, ga ik niet naar de markt.
Contrapositieve verklaring: Als ik niet naar de markt ga, komen mijn neven en nichten ook niet.
Deel 6:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven verklaring is: 'Ik ga naar de universiteit wanneer mijn vrienden komen.'
In deze verklaring kan 'wanneer' worden vervangen door 'als'.
Na vervanging zal de zin zijn: 'Ik ga naar de universiteit als mijn vrienden komen'
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Mijn vrienden komen
Y: Ik ga naar de universiteit
Omgekeerde verklaring: Als ik naar de universiteit ga, komen mijn vrienden.
Omgekeerde verklaring: Als mijn vrienden niet komen, ga ik niet naar de universiteit.
Contrapositieve verklaring: Als ik niet naar de universiteit ga, komen mijn vrienden niet.
Deel 7:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven uitspraak is: 'Ik geef je alleen een feestje als ik een goede jurk koop.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'x alleen als y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Ik geef je alleen een feestje
Y: Ik koop een goede jurk
Omgekeerde verklaring: Als ik een goede jurk koop, dan geef ik je een feestje.
Omgekeerde verklaring: Als ik je geen feestje geef, koop ik geen goede jurk.
Contrapositieve verklaring: Als ik geen goede jurk koop, geef ik je geen feestje.
Deel 8:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven uitspraak is: 'Als ik beroemd word, dan verdien ik veel geld.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'Als x dan y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y, waarbij
X: Ik word beroemd
Y: Ik zal veel geld verdienen
Omgekeerde verklaring: Als ik veel geld verdien, word ik beroemd.
Omgekeerde verklaring: Als ik niet beroemd word, verdien ik niet veel geld.
Contrapositieve verklaring: Als ik niet veel geld verdien, word ik niet beroemd.
Probleem 2:
Hier moeten we het omgekeerde bepalen van een uitspraak, dat wil zeggen: 'Ik ga alleen naar school als het zonnig weer is' tussen alle gegeven uitspraken.
Java-schakelaar
- Als het zonnig weer is, ga ik naar school
- Als ik naar school ga, is het zonnig weer
- Als het niet zonnig weer is, ga ik niet naar school.
- Als ik niet naar school ga, is het zonnig weer.
Oplossing:
We hebben de volgende gegevens:
De gegeven stelling is: 'Ik ga alleen naar school als het mooi weer is.'
Deze verklaring moet de vorm hebben: 'x alleen als y'. We kunnen het ook schrijven als 'Als x, dan y'.
Deze verklaring bevat dus een symbolische vorm, namelijk x → y. Het omgekeerde van deze vorm is y → x, waarbij
X: Ik ga naar school
Y: Het is zonnig weer
Zoals we weten, zal de tegenovergestelde verklaring van de gegeven verklaring zijn: 'Als het zonnig weer is, dan ga ik naar school', wat de vorm heeft van 'als y dan x'.
- De eerste verklaring is WAAR . De eerste stelling luidt: 'Als het mooi weer is, ga ik naar school'. Deze verklaring heeft de vorm 'x als y'. We kunnen het ook schrijven als 'als x dan y', wat aangeeft dat 'als het zonnig weer is, ik naar school ga', wat het tegenovergestelde is van een bepaalde uitspraak. Daarom is de eerste bewering waar.
- De tweede verklaring is vals . De tweede uitspraak is: 'Als ik naar school ga, dan is het zonnig weer' en deze uitspraak heeft de vorm 'als x dan y'. De tweede verklaring is al in de vraag gegeven. Daarom is het niet waar.
- De derde verklaring is vals . De derde stelling is: 'Als het niet zonnig weer is, ga ik niet naar school'. Deze verklaring heeft de vorm '∼y → ∼x'. Het is niet het tegenovergestelde, omdat deze verklaring het omgekeerde is van de verklaring die in de vraag wordt gegeven. Daarom is deze verklaring niet waar.
- De vierde verklaring is vals . De vierde stelling is: 'Als ik niet naar school ga, dan is het zonnig weer'. Deze verklaring heeft de vorm '∼x → y. Deze vorm is iets anders omdat hij noch omgekeerd, noch omgekeerd, noch contrapositief is. Dit komt omdat de ene kant negatief is en de andere kant niet negatief, dus deze past in geen van de categorieën. Daarom is deze verklaring niet waar.
Optie (A) is dus waar.