Predicatenlogica houdt zich bezig met predicaten, dit zijn proposities en bestaan uit variabelen.
Predikaatlogica - Definitie
Een predikaat is een uitdrukking van een of meer variabelen die op een specifiek domein zijn bepaald. Van een predikaat met variabelen kan een voorstel worden gemaakt door ofwel een waarde aan de variabele toe te kennen, ofwel door de variabele te kwantificeren.
Hieronder volgen enkele voorbeelden van predikaten.- Beschouw E(x, y) als 'x = y'
- Beschouw X(a, b, c) als 'a + b + c = 0'
- Beschouw M(x, y) als 'x is getrouwd met y.'
Kwantificator:
De variabele van predikaten wordt gekwantificeerd door kwantoren. Er zijn twee soorten kwantificatoren in de predikatenlogica: existentiële kwantificator en universele kwantor.
Java is gelijk
Existentiële kwantificator:
Als p(x) een propositie is over het universum U. Dan wordt het aangeduid als ∃x p(x) en gelezen als 'Er bestaat minstens één waarde in het universum van variabele x zodat p(x) waar is. De kwantificator ∃ wordt de existentiële kwantificator genoemd.
Er zijn verschillende manieren om een propositie te schrijven, met een existentiële kwantificator, dat wil zeggen:
(∃x∈A)p(x) of ∃x∈A zodat p (x) of (∃x)p(x) of p(x) waar is voor bepaalde x ∈A.
Universele kwantificator:
Als p(x) een propositie is over het heelal U. Dan wordt deze aangegeven als ∀x,p(x) en gelezen als 'Voor elke x∈U is p(x) waar.' De kwantor ∀ wordt de universele kwantor genoemd.
Er zijn verschillende manieren om een voorstel te schrijven, met een universele kwantificator.
∀x∈A,p(x) of p(x), ∀x ∈A Of ∀x,p(x) of p(x) geldt voor alle x ∈A.
abstracte klasse
Ontkenning van gekwantificeerde stellingen:
Wanneer we een gekwantificeerde propositie ontkennen, d.w.z. wanneer een universeel gekwantificeerde propositie wordt ontkend, verkrijgen we een existentieel gekwantificeerde propositie, en wanneer een existentieel gekwantificeerde propositie wordt ontkend, verkrijgen we een universeel gekwantificeerde propositie.
De twee regels voor de ontkenning van een gekwantificeerde propositie zijn als volgt. Deze worden ook wel de wet van DeMorgan genoemd.
Voorbeeld: ontken elk van de volgende stellingen:
1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)
Zon: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)
2. (∃x∈U) (x+6=25)
Zon: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25
3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)
Zon: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))
hoeveel weken in een maand
Stellingen met meerdere kwantoren:
De propositie met meer dan één variabele kan worden gekwantificeerd met meerdere kwantificatoren. De meerdere universele kwantoren kunnen in elke volgorde worden gerangschikt zonder de betekenis van de resulterende propositie te veranderen. Ook kunnen de meerdere existentiële kwantoren in elke volgorde worden gerangschikt zonder de betekenis van de propositie te veranderen.
De propositie die zowel universele als existentiële kwantoren bevat, de volgorde van die kwantoren kan niet worden uitgewisseld zonder de betekenis van de propositie te veranderen, bijvoorbeeld de propositie ∃x ∀ y p(x,y) betekent 'Er bestaat een x zodat p (x, y) is waar voor elke y.'
Voorbeeld: Schrijf de ontkenning voor elk van de volgende zaken. Bepaal of de resulterende bewering waar of onwaar is. Stel dat U = R.
1.∀ x ∃ m(x2 Zon: Negatie van ∀ x ∃ m(x2 2. ∃ m∀ x(x2 Zon: Negatie van ∃ m ∀ x (x2