logo

TechCodeview

De Driehoek van Pascal

De Driehoek van Pascal is een numeriek patroon gerangschikt in een driehoekige vorm. Deze driehoek levert de coëfficiënten voor de uitbreiding van elke binomiale uitdrukking, waarbij getallen zo zijn georganiseerd dat ze een driehoekige vorm vormen. d.w.z. de tweede rij in de driehoek van Pascal vertegenwoordigt de coëfficiënten in (x+y)2enzovoort.

In de driehoek van Pascal is elk getal de som van de twee bovenstaande getallen. De driehoek van Pascal heeft verschillende toepassingen in de waarschijnlijkheidstheorie, combinatoriek, algebra en diverse andere takken van de wiskunde.



Laten we er meer over leren De driehoek van Pascal, de constructie ervan en verschillende patronen in de driehoek van Pascal in detail in dit artikel.

Inhoudsopgave

Wat is de driehoek van Pascal?

Het is vernoemd naar de beroemde filosoof en wiskundige Balise ‘Pascal’ die een getallenpatroon ontwikkelde dat begint met 1 en de getallen daaronder zijn de optelling van de bovenstaande getallen. Schrijf eerst het getal 1 op om de driehoek van Pascal te maken. De tweede rij wordt opnieuw met twee 1's opgeschreven. Andere rijen worden gegenereerd met behulp van de voorgaande rijen om een ​​driehoek van getallen te maken. Elke rij begint en eindigt met een 1.



hoe Java te upgraden

Een basisstructuur van de Pascal-driehoek wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Wat is de driehoek van Pascal?

We definiëren de Pascal-driehoek als de basisreeks getallen die in een driehoekige reeks zijn gerangschikt, zodat elk element in de driehoek van Pascal de som is van de twee getallen erboven. De driehoek van Pascal begint met 1 en dit werd voor het eerst voorgesteld door de beroemde Franse wiskundige Balise Pascal en werd daarom de driehoek van Pascal genoemd.

Deze driehoek vertegenwoordigt de coëfficiënten van de binominale expansie voor verschillende machten. (we moeten ervoor zorgen dat de macht in de binominale expansie slechts een natuurlijk getal is, en alleen de driehoek van Pascal vertegenwoordigt de coëfficiënten in de binominale expansie).



Pascal's driehoeksdefinitie

De driehoek van Pascal is een driehoekige reeks getallen waarin elk getal de som is van de twee er direct boven.

Pascal's driehoeksconstructie

We kunnen eenvoudig de Pad=scal-driehoek construeren door simpelweg de twee getallen van de bovenstaande rij op te tellen om het volgende getal in de rij eronder te krijgen. We kunnen aannemen dat de nulde rij begint met een enkel element 1 en dat het element in de tweede rij dan 1 1 is, gevormd door het optellen van 1+0 en 1+0. Op dezelfde manier zijn de elementen in de tweede rij 1 2 1 2, die worden gevormd door het optellen van 1+0, 1+1 en 1+0, en zo worden de elementen in de derde rij verkregen. Als we dit concept uitbreiden naar de n-de rij, krijgen we een Pascal-driehoek met n+1 rijen.

De driehoek van Pascal tot en met de 3e rij wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding,

Uit de bovenstaande figuur kunnen we gemakkelijk zien dat het eerste en het laatste element in elke rij 1 is.

Pascal's driehoeksformule

Pascal Triangle Formula is de formule die wordt gebruikt om het getal te vinden dat moet worden ingevuld in de m-de kolom en de n-de rij. Zoals we weten zijn de termen in de driehoek van Pascal de som van de termen in de bovenstaande rij. We hebben dus de elementen in de (n-1)de rij en (m-1)de en n-de kolommen nodig om het vereiste aantal in de m-de kolom en de n-de rij te krijgen.

Lees gedetailleerd: Pascal's driehoeksformule

De elementen van de n-de rij van de driehoek van Pascal worden gegeven:NC0,NC1,NC2, …,NCN.

De formule voor het vinden van een willekeurig getal in de driehoek van Pascal is:

N Cm= n-1 C m-1 + n-1 C M

Waar,

  • N C M vertegenwoordigt het (m+1)de element in de n-de rij., en
  • N is een niet-negatief geheel getal [0 ≤ m ≤ n]

We kunnen deze formule begrijpen aan de hand van het hieronder besproken voorbeeld:

Voorbeeld: Zoek het derde element in de derde rij van de driehoek van Pascal.

Oplossing:

We moeten het derde element in de derde rij van de driehoek van Pascal vinden.

Pascal-driehoeksformule is,

NCk=n-1Ck-1+n-1Ck

waarNCkvertegenwoordigen (k+1)eelement in nerij.

Het derde element in de derde rij is dus:

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

Het derde element in de derde rij van de driehoek van Pascal is dus 3.

Pascal's driehoeksbinominale expansie

We kunnen gemakkelijk de coëfficiënt van de vinden binomiale expansie met behulp van de driehoek van Pascal. De elementen in de (n+1)de rij van de Pascal-driehoek vertegenwoordigen de coëfficiënt van de uitgebreide uitdrukking van de polynoom (x + y)N.

We weten dat de uitbreiding van (x + y)Nis,

(x + y)N= een0XN+ een1Xn-1en + een2Xn-2En2+ … + eenn-1xyn-1+ eenNEnN

Hier een0, A1, A2, A3, …., ANzijn de term in de (n+1)de rij van de driehoek van Pascal

Zie bijvoorbeeld de uitbreiding van (x+y)4

(x + y)4=4C0X4+4C1X3en +4C2X2En2+4C3xy3+4C4X0En4

⇒ (x + y)4= (1)x4+ (4)x3y + (6)x2En2+ (4)xy3+ (1)j4

Hier zijn de coëfficiënten 1, 4, 6, 4 en 1 de elementen van de vierde rij van de driehoek van Pascal

Hoe gebruik je de driehoek van Pascal?

We gebruiken de Pascal-driehoek om de verschillende gevallen van de mogelijke uitkomsten in waarschijnlijkheidsomstandigheden te vinden. Dit kan worden begrepen aan de hand van het volgende voorbeeld: als we één keer een munt opgooien, krijgen we twee uitkomsten, d.w.z. H en T, dit wordt weergegeven door het element in de eerste rij van de driehoek van Pascal.

Op dezelfde manier krijgen we door twee keer een munt op te gooien drie uitkomsten, namelijk {H, H}, {H, T}, {T, H} en {T, T}. Deze voorwaarde wordt weergegeven door het element in de tweede rij van de driehoek van Pascal.

We kunnen dus gemakkelijk het mogelijke aantal uitkomsten bij het opgooien van een muntexperiment bepalen door simpelweg de respectieve elementen in de Pascal-driehoek te observeren.

De onderstaande tabel vertelt ons over de gevallen waarin een munt één keer, twee keer, drie keer en vier keer wordt opgeworpen, en de overeenstemming ervan met de driehoek van Pascal

Aantal worpen
OF
Rij van Pascals-driehoek

Mogelijke resultaten

Elementen in de Pascal-driehoek

1

{H},

{T}

elf

2

{HH},

{HT}, {TH} ,

{TT}

1 2 1

3

{HHH},

{HHT}, {HTH}, {THH}

{HTT}, {THT}, {TTH},

{TTT}

1 3 3 1

4

{HHHH},

{HHHT}, {HHTH}, {HTHH}, {THHH},

{HHTT}, {HTHT}, {HTTH}, {THHT}, {THTH}, {TTHH},

{HTTT}, {THTT}, {TTHT}, {TTTH},

{TTTT}

1 4 6 4 1

Pascal's driehoekspatronen

We zien verschillende patronen in de driehoek van Pascal:

  • Toevoeging van rijen
  • Priemgetallen in driehoek
  • Diagonalen in de driehoek van Pascal
  • Fibonacci-patroon

Toevoeging van rijen

Bij een nauwkeurige observatie van de driehoek van Pascal kunnen we concluderen dat de som van elke rij in de driehoek van Pascal gelijk is aan een macht van 2. De formule hiervoor is: Voor elke (n+1)erij in de driehoek van Pascal is de som van alle elementen 2N

Als we deze formule toepassen in de eerste vier rijen van de driehoek van Pascal, krijgen we:

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Priemgetallen in de driehoek van Pascal

Een ander heel interessant patroon in de Pascals-driehoek is dat als een rij begint met een priemgetal (waarbij 1 wordt verwaarloosd aan het begin van elke rij), alle elementen in die rij deelbaar zijn door dat priemgetal. Dit patroon geldt niet voor de samengestelde getallen.

De achtste rij in de Pascal-driehoek is bijvoorbeeld:

1 7 21 35 35 21 7 1

Hier zijn alle elementen deelbaar door 7.

Voor rijen die beginnen met samengestelde getallen, zoals de vijfde rij,

1 4 6 4 1

Het patroon gaat niet op omdat 4 geen 6 deelt.

Diagonalen in de driehoek van Pascal

Elke diagonaal naar rechts van de driehoek van Pascal vertegenwoordigt, beschouwd als een reeks, de verschillende getallen, zoals de eerste diagonaal naar rechts vertegenwoordigt een reeks van nummer 1, de tweede diagonaal naar rechts vertegenwoordigt driehoekige getallen, de derde diagonaal naar rechts vertegenwoordigt de tetraëdrische getallen, de vierde diagonaal naar rechts vertegenwoordigt de Penelope-getallen enzovoort.

Fibonacci-reeks in de driehoek van Pascal

We kunnen de Fibonacci-reeks eenvoudig verkrijgen door simpelweg de getallen in de diagonalen van de driehoek van Pascal op te tellen. Dit patroon wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding,

Pascal's driehoekseigenschappen

Verschillende eigenschappen van de driehoek van Pascal zijn:

  • Elk getal in de Pascal-driehoek is de som van het getal erboven.
  • Het begin- en eindgetal in de driehoek van Pascal zijn altijd 1.
  • De eerste diagonaal in de driehoek van Pascal vertegenwoordigt het natuurlijke getal of de telgetallen.
  • De som van de elementen in elke rij van de driehoek van Pascal wordt gegeven met een macht van 2.
  • Elementen in elke rij zijn de cijfers van de macht van 11.
  • De Pascal-driehoek is een symmetrische driehoek.
  • De elementen in elke rij van de driehoek van Pascal kunnen worden gebruikt om de coëfficiënten van binominale expansie weer te geven.
  • Langs de diagonaal van de driehoek van Pascal observeren we de Fibonacci-getallen.
  • Binomiale stelling
  • Binomiale willekeurige variabelen en binominale verdeling

Pascal's driehoeksvoorbeelden

Voorbeeld 1: Vind de vijfde rij van de driehoek van Pascal.

Oplossing:

De Pascal-driehoek met 5 rijen wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding,

Voorbeeld 2: Uitbreiden met Pascal-driehoek (a + b) 2 .

Oplossing:

Schrijf eerst de generieke uitdrukkingen zonder de coëfficiënten.

(een + b)2= c0A2B0+ c1A1B1+ c2A0B2

Laten we nu een Pascal-driehoek voor 3 rijen bouwen om de coëfficiënten te achterhalen.

De waarden van de laatste rij geven ons de waarde van coëfficiënten.

C0= 1, c1= 2, c2=1

(een + b)2= een2B0+ 2a1B1+ een0B2

Zo geverifieerd.

Voorbeeld 3: Uitbreiden met Pascal-driehoek (a + b) 6 .

Oplossing:

Schrijf eerst de generieke uitdrukkingen zonder de coëfficiënten.

(een + b)6= c0A6B0+ c1A5B1+ c2A4B2+ c3A3B3+ c4A2B4+ c5A1B5+ c6A0B6

Laten we nu een Pascal-driehoek voor 7 rijen bouwen om de coëfficiënten te achterhalen.

De waarden van de laatste rij geven ons de waarde van coëfficiënten.

C0= 1, c1= 6, c2= 15, c3= 20, c4=15, c5= 6 en c6= 1.

(een + b)6= 1a6B0+ 6a5B1+ 15.00 uur4B2+ 20 uur3B3+ 15.00 uur2B4+ 6a1B5+ 1a0B6

Voorbeeld 4: Zoek het tweede element in de derde rij van de driehoek van Pascal.

Oplossing:

We moeten het tweede element in de derde rij van de driehoek van Pascal vinden.

We weten dat de n-de rij van de driehoek van Pascal isNC0,NC1,NC2,NC3…

De formule van de Pascal-driehoek is:

NCk=n-1Ck-1+n-1Ck

waarNCkvertegenwoordigen (k+1)eelement in nerij.

Het 2e element in de 3e rij is dus:

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

Het tweede element in de derde rij van de driehoek van Pascal is dus 3.

Java-code voorbeelden

Voorbeeld 5: Er wordt vier keer met een munt gegooid, bepaal de kans op precies 2 muntstukken.

Oplossing:

Met behulp van de Pascal-driehoeksformule,

Totaal aantal uitkomsten = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Hier krijgen we vier gevallen waarin we 2 staarten krijgen,

Dus,

Kans op twee staarten = Gunstige uitkomst/Totale uitkomst

= 4/16 = 1/4

Dus de kans om precies twee staarten te krijgen is 1/4 of 25%

Samenvatting – De Driehoek van Pascal

De Driehoek van Pascal is een driehoekige rangschikking van getallen waarbij elk getal de som is van de twee getallen er direct boven. Deze driehoek, genoemd naar de wiskundige Blaise Pascal, begint met een enkele 1 bovenaan, en elke rij begint en eindigt met 1. De getallen in de driehoek van Pascal komen overeen met de coëfficiënten in de binomiale uitbreiding, waardoor deze bruikbaar is in algebra, waarschijnlijkheid en combinatoriek. Patronen binnen de driehoek omvatten sommen van rijen die machten van 2 zijn, verbindingen met de Fibonacci-reeks en de aanwezigheid van priemgetallen. De Driehoek van Pascal is ook nuttig bij het berekenen van combinaties en het begrijpen van uitkomsten bij waarschijnlijkheidsexperimenten, zoals het opgooien van munten.

Veelgestelde vragen over de driehoek van Pascal

Wat is de driehoek van Pascal?

De driehoeksreeks van het getal voorgesteld door de beroemde wiskundige Balise Pascal wordt de driehoek van Pascal genoemd. Deze driehoek begint met 1 en in de volgende regel zijn de begin- en eindnummers vastgesteld op 1. Het middelste getal wordt gegenereerd door de som van de bovenstaande twee getallen te nemen.

Wat zijn de toepassingen van de driehoek van Pascal?

De driehoeken van Pascal hebben verschillende toepassingen,

  • Het wordt gebruikt om de binomiale coëfficiënt van de binominale expansie te vinden.
  • Het biedt een alternatieve manier om de binominale termen uit te breiden.
  • Het wordt gebruikt in de algebra, waarschijnlijkheidstheorie, permutatie en combinatie en andere takken van de wiskunde.

Wat is het gebruik van de driehoek van Pascal bij binominale expansie?

We gebruiken de driehoek van Pascal om gemakkelijk de coëfficiënt van elke term in de binomiale expansie te vinden. Elke rij van de driehoek van Pascal (zeg n-de) vertegenwoordigt de coëfficiënt van de binominale expansie van de (x+y)N. De tweede rij van de driehoek van Pascal is bijvoorbeeld 1 2 1 en de uitbreiding van (x+y)2

(x+y)2= x2+ 2xy + j2

Hier is de coëfficiënt van elke term 1 2 1, wat lijkt op de tweede rij van de driehoek van Pascal.

Wat zijn de verschillende patronen gevonden in de driehoek van Pascal?

Verschillende patronen die we gemakkelijk konden vinden in de driehoek van Pascal zijn:

  • Driehoekig patroon
  • Oneven en gelijkmatig patroon
  • Fibonacci-patroon
  • Symmetrisch patroon

Wat is de 5eRij van de driehoek van Pascal?

De vijfde rij van de driehoek van Pascal wordt hieronder weergegeven:

1 5 10 10 5 1

We weten dat de som van alle elementen in een rij wordt gegeven met behulp van 2Nwaarbij n het aantal rijen vertegenwoordigt. De som van alle termen in de 5e rij is dus:

25= 32

Wat is het eerste element van elke rij van de driehoek van Pascal?

Het eerste element van elke rij van de driehoek van Pascal is 1. We noemen deze term de 0-term van de rij.