Doelfunctie is het doel van het lineaire programmeringsprobleem, zoals de naam al doet vermoeden. Bij lineair programmeren of lineaire optimalisatie gebruiken we verschillende technieken en methoden om, met enkele beperkingen, de optimale oplossing voor het lineaire probleem te vinden. De techniek kan ook ongelijkheidsbeperkingen omvatten. De objectieve functie bij lineair programmeren is optimaliseren om de optimale oplossing voor een bepaald probleem te vinden.

In dit artikel leren we alles over de objectieve functie, inclusief de definitie ervan, typen, hoe we een objectieve functie kunnen formuleren voor een bepaald probleem, enz. We zullen ook verschillende representaties van objectieve functies leren, zoals lineaire objectieve functies of niet-lineaire objectieve functies. functies. Laten we dus beginnen met het leren over dit fundamentele concept in lineaire programmering, dat wil zeggen de objectieve functie.

Wat is objectieve functie?

Zoals de naam al doet vermoeden, bepaalt de objectieve functie feitelijk het doel van het probleem. Het richt zich op besluitvorming op basis van beperkingen. Het is een functie met reële waarde die afhankelijk van de beperkingen moet worden gemaximaliseerd of geminimaliseerd. Het is als een winst- of verliesfunctie. Het wordt meestal aangeduid met Z.

De terminologieën die verband houden met de doelfunctie zijn als volgt:

• Beperkingen: Het zijn in feite de voorwaardelijke vergelijkingen die de lineaire functie bepalen
• Beslissingsvariabelen: De variabelen waarvan de waarden moeten worden achterhaald. De vergelijkingen worden opgelost om de optimale waarde van deze variabelen te verkrijgen.
• Haalbaar gebied: Het is het gebied in de grafiek waar aan de beperkingen wordt voldaan en de beslissingsvariabelen bevinden zich op de hoeken van het gebied.
• Optimale oplossing: De best mogelijke oplossing die aan alle beperkingen voldoet en het hoogste of laagste doel bereikt.
• Onhaalbare oplossing: Een oplossing die een of meer beperkingen schendt en niet kan worden geïmplementeerd of uitgevoerd.

Doelfunctie in lineaire programmering

Bij lineair programmeren is een objectieve functie een lineaire functie die twee beslissingsvariabelen omvat. Het is een lineaire functie die afhankelijk van de beperkingen moet worden gemaximaliseerd of geminimaliseerd. Als a en b constanten zijn en x en y beslissingsvariabelen zijn waarbij x> 0 en y> 0, dan is de doelfunctie

Z = bijl + door

Dus om de optimale waarde van de optimalisatiefunctie te krijgen, moeten we eerst de beperkingen oplossen met behulp van een van de technieken en de beslissingsvariabelen achterhalen. Vervolgens plaatsen we de waarden van beslissingsvariabelen in de functie Doelstelling om de optimale waarde te genereren.

Een objectieve functie formuleren

Bij lineair programmeren gaat het erom de optimale waarden van de beslissingsvariabelen te vinden en die waarden in de doelfunctie te plaatsen om zo een maximale of minimale waarde te genereren. Er zijn veel technieken, zoals de Simplex-methode en de Grafische methode, om lineaire programmering op te lossen. Vanwege zijn eenvoud heeft de grafische methode echter meestal de voorkeur. De stappen om de optimale waarden van de doelfunctie te verkrijgen zijn als volgt:

• Genereer de beperkingsvergelijkingen en de objectieve functie van het probleem.
• Zet de beperkingsvergelijkingen in de grafiek.
• Identificeer nu de haalbare regio waar aan de beperkingen wordt voldaan.
• Genereer de waarden van beslissingsvariabelen die zich op de hoeken van het haalbare gebied bevinden.
• Plaats alle gegenereerde waarden in de doelfunctie en genereer de optimale waarde.

Veel voorkomende typen objectieve functies

Er zijn twee soorten objectieve functies.

• Maximalisatie Doelstelling Functie
• Minimalisatie Doelstelling Functie

Laten we deze twee typen als volgt in detail bespreken:

Maximalisatie Doelstelling Functie

Bij dit type streven we meestal naar het maximaliseren van de objectieve functie. De hoekpunten die worden gevonden nadat de beperkingen in een grafiek zijn weergegeven, hebben de neiging de maximale waarde van de doelfunctie te genereren. Laten we dit illustreren met behulp van een voorbeeld

Voorbeeld: Een man investeert maximaal 8 uur in het maken van portemonnees en schooltassen. Hij investeert 2 uur in het maken van portemonnees en 4 uur in schooltassen. Hij wil maximaal vijf portemonnees en schooltassen maken en wil deze verkopen en een winst van Rs 20 op een portemonnee en Rs 100 op een schooltas genereren. Zoek de objectieve functie.

Oplossing:

if else-verklaring java

Laat x het aantal rotis zijn en y het aantal brood.

Een man kan maximaal 8 uur investeren door 2 uur te investeren in het maken van een portemonnee en 4 uur in het maken van een schooltas. Daarom is de eerste beperkingsvergelijking:

2x + 4j ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Het maximale aantal dat hij kan maken is 5

x+y ⩽ 5

Laat de objectieve functie worden aangegeven met Z

Daarom Z = 20x + 100y

Minimalisatie Doelstelling Functie

Bij dit type streven we er meestal naar de objectieve functie te minimaliseren. De hoekpunten die worden gevonden nadat de beperkingen in een grafiek zijn weergegeven, hebben de neiging de minimumwaarde van de doelfunctie te genereren. Laten we dit illustreren met behulp van een voorbeeld

Voorbeeld: Gegeven dat de som van de twee variabelen minstens 20 is. Er wordt aangenomen dat één variabele groter is dan gelijk aan 9. Leid de doelfunctie af als de kosten van één variabele 2 eenheden zijn en de kosten van een andere variabele 9 eenheden.

Oplossing:

Laat x en y de twee variabelen zijn. Er wordt aangegeven dat de som van de twee variabelen minimaal 20 moet zijn.

x+y ⩾ 20

en x ⩾ 9

Boven twee ongelijkheden zijn beperkingen voor de volgende objectieve functie.

Laat de objectieve functie worden aangegeven met Z. Daarom is Z

java als anders

Z = 2x + 9j

Wiskundige weergave van objectieve functie

Zoals we hebben besproken over de objectieve functie in de context van lineaire programmering, kan de objectieve functie ook niet-lineair zijn.

• Lineaire objectieve functies: In dit type objectieve functie zijn zowel de beperkingen als de objectieve functies lineair van aard. De exponenten van de variabelen zijn 1.
• Niet-lineaire objectieve functies: Bij dit type objectieve functie zijn zowel de beperkingen als de objectieve functies lineair van aard. De exponenten van de variabelen zijn 1 of groter dan 1.

Toepassingen van objectieve functies

Doelfuncties zijn belangrijk in realistische scenario's. Deze functies worden bijvoorbeeld gebruikt door zakenmensen. Zakenlieden gebruiken het om hun winst te maximaliseren. Doelfuncties zijn ook nuttig bij transportproblemen. Door een functie in te stellen, kan men analyseren hoeveel brandstofverbruik er plaatsvindt en hoe de gebruiker de prijzen daarvoor kan verlagen. Objectieve functies zijn ook nuttig bij afstandsproblemen.

Opgeloste problemen met de objectieve functie

Probleem 1: Iemand wil riemen en portemonnees. Hij heeft een totaal spaargeld van Rs 6000 en wil al zijn spaargeld besteden aan de aanschaf van riemen en portemonnees, zodat hij deze later kan verkopen. De waarde van de portemonnee is Rs 20 en de waarde van de riem is Rs 10. Hij wil ze in een kast opbergen en de maximale capaciteit van de kast is 50 eenheden. Hij verwacht een winst van Rs 2 op de band en Rs 3 op de portemonnee. Zoek de beperkingen en de resulterende doelfunctie.

afdrukinstructie in Java

Oplossing:

Laat x het aantal aan te schaffen portemonnees zijn en y het aantal aan te schaffen riemen. Opgemerkt moet worden dat wanneer maximum in het probleem wordt genoemd, we ‘⩽’ moeten gebruiken om de beperkingen te vinden

De maximale investering is Rs 6000. De eerste beperkingsvergelijking is

20x+10y⩽6000

De maximale opslagcapaciteit van de kast is 50

x+y⩽50

Hier is de winstfunctie in feite de objectieve functie. Laat dit worden aangegeven met P. Daarom is de winstfunctie

P = 3x + 2j

Probleem 2: Identificeer de beperkingsvergelijkingen en de objectieve functie uit de gegeven verzameling

• 2x + 3j ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4j ⩽ 40
• Z = 7x + 8j

Waar x en y groter zijn dan 0.

Oplossing:

De beperkingen kunnen ongelijkheid of ongelijkheidsformaat zijn. Maar een objectieve functie heeft altijd een gelijkheidssymbool

Daarom zijn de beperkingsvergelijkingen:

2x + 3j ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4j ⩽ 40

De objectieve vergelijking is Z = 7x + 8y

Probleem 3: Een vrouw investeert maximaal 7 uur tijd in het maken van rotis en brood. Ze investeert 2 uur in rotis en 4 uur in brood. Ze streeft ernaar om maximaal 20 brood en roti's te maken en wil deze verkopen en een winst genereren van Rs 2 op roti en Rs 1 op brood. Zoek de objectieve functie.

Oplossing:

Laat x het aantal rotis zijn en y het aantal brood.

Een vrouw kan maximaal 7 uur investeren door 2 uur te investeren in het maken van een roti en 4 uur in het maken van brood. Daarom is de eerste beperkingsvergelijking:

2x + 4j ⩽ 7

Het maximale aantal brood en rotis dat ze kan maken is 20

x + y ⩽ 20

Laat de objectieve functie worden aangegeven met Z

Daarom Z = 2x + y.

Probleem 4: Het bedrijf wil product A en product B vervaardigen. Voor product A zijn 4 eenheden cacaopoeder en 1 eenheid melkpoeder nodig. Voor product B zijn 3 eenheden cacaopoeder en 2 eenheden melkpoeder nodig. Er zijn 87 eenheden cacaopoeder beschikbaar en 45 eenheden melkpoeder beschikbaar. De winst die op elk product kan worden verdiend, bedraagt ​​respectievelijk $ 3 en $ 5. Zoek de objectieve functie.

Oplossing:

Laat x het aantal producten A aanduiden en y het aantal artikelen van type B.

vervolggegevenstypen

De maximale hoeveelheid cacaopoeder is 87 eenheden. De eerste beperkingsvergelijking is dus

4x + 3j ⩽ 87

De maximaal beschikbare hoeveelheid melkpoeder is 45 eenheden. De tweede beperkingsvergelijking is dus

x + 2y ⩽ 45

Hier is ons doel het maximaliseren van de winst. Onze winstfunctie is dus de Doelfunctie. Laat het worden aangegeven met Z

Z = 3x + 5j

Probleem 5: Er moeten twee soorten voedselpakketten A en B worden gegenereerd die uit vitamines bestaan. Er moeten minimaal 45 eenheden van voedselpakket A beschikbaar worden gesteld en de productie van beide voedselpakketten moet minimaal 30 zijn. Genereer de te genereren doelfunctie waarbij voedselpakket A 6 eenheden vitamines heeft en voedselpakket B 8 eenheden .

Oplossing:

Laat x het aantal voedselpakketten A zijn en y het aantal voedselpakketten B

Er moeten minimaal 45 voedselpakketten beschikbaar worden gesteld. Daarom is de eerste beperkingsvergelijking:

x ⩾ 45

hadoop-tutorial

De tweede beperkingsvergelijking is

x + y ⩾ 30

De objectieve functie is als volgt:

Z = 6x + 8j

Veelgestelde vragen over doelfunctie

Vraag 1: Wat is de objectieve functie in het lineaire programmeringsprobleem?

Antwoord:

Een objectieve functie is een functie met reële waarde die afhankelijk van de beperkingen moet worden gemaximaliseerd of geminimaliseerd. Het omvat twee beslissingsvariabelen.

Vraag 2: Wat is het doel van de objectieve functie?

Antwoord:

Het doel van de doelfunctie is het maximaliseren of minimaliseren van de resulterende waarde. Het is een vergelijking die wordt uitgedrukt in termen van beslissingsvariabelen en die een cruciale rol speelt bij lineaire programmering.

Vraag 3: Hoe begrijpen we of een functie moet worden gemaximaliseerd of geminimaliseerd?

Antwoord:

Om te controleren of een functie gemaximaliseerd moet worden of niet, moeten we bekend zijn met termen als ‘hoogstens’, ‘minstens’. Als de term ‘minstens’ in kwestie wordt gebruikt, moet de objectieve functie worden geminimaliseerd. Voor de term ‘hoogstens’ dient de functie gemaximaliseerd te worden.

Vraag 4: Noem de veelvoorkomende typen doelfuncties.

Antwoord:

Er zijn twee soorten doelfuncties:

• Maximalisatie Doelfunctie
• Minimalisatie Doelstelling Functie

Vraag 5: Wat zijn de toepassingen van de doelfunctie?

Antwoord:

Er zijn verschillende toepassingen van de Doelfunctie. Ze zijn nuttig in real-life scenario's. Ze worden in principe gebruikt om de winst of het verlies in elk geval te schatten. Doelfuncties zijn nuttig bij transportproblemen, problemen met tijdsbeperkingen enz.