LU-ontleding van een matrix is ​​de factorisatie van een gegeven vierkante matrix in twee driehoekige matrices, een bovenste driehoekige matrix en een onderste driehoekige matrix, zodat het product van deze twee matrices de oorspronkelijke matrix oplevert. Het werd geïntroduceerd door Alan Turing in 1948, die ook de Turingmachine creëerde.

De LU-ontledingsmethode voor het in factoren ontbinden van een matrix als een product van twee driehoekige matrices heeft verschillende toepassingen, zoals de oplossing van een stelsel vergelijkingen, dat zelf een integraal onderdeel is van veel toepassingen, zoals het vinden van stroom in een circuit en het oplossen van discrete dynamische systeemproblemen ; het vinden van de inverse van een matrix en het vinden van de determinant van de matrix.

Wat is LU-ontleding?

Een vierkante matrix A kan worden ontleed in twee vierkante matrices L en U, zodat A = LU waarbij U een bovenste driehoekige matrix is ​​die is gevormd als gevolg van het toepassen van de Gauss-eliminatiemethode op A, en L een onderste driehoekige matrix is ​​met diagonale elementen gelijk aan 1.

Voor A=egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

database

Wij hebben L= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} en U =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

Zodanig dat A = L U, dat wil zeggen,left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

Hier de waarde van l_eenentwintig, in_elf, enz. kunnen worden vergeleken en gevonden.

Wat is de Gauss-eliminatiemethode?

Gaussiaanse eliminatie, ook bekend als Gauss-Jordan Eliminatie, is een methode die in de lineaire algebra wordt gebruikt om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen en de inverse van een matrix te vinden. Het is vernoemd naar de wiskundige Carl Friedrich Gauss en ook naar de wiskundige Wilhelm Jordan, die een belangrijke bijdrage hebben geleverd aan de ontwikkeling ervan.

Volgens de Gauss-eliminatiemethode:

1. Elke nulrij moet onderaan de matrix staan.
2. De eerste niet-nul-invoer van elke rij moet zich aan de rechterkant van de eerste niet-nul-invoer van de voorgaande rij bevinden. Deze methode reduceert de matrix tot een rij-echelonvorm.

LU-ontledingsmethode

Om elke vierkante matrix in twee driehoekige matrices te verwerken, d.w.z. de ene is een onderste driehoekige matrix en de andere een bovenste driehoekige matrix, kunnen we de volgende stappen gebruiken.

• Gegeven een reeks lineaire vergelijkingen, converteer ze dan eerst naar de matrixvorm A X = C, waarbij A de coëfficiëntenmatrix is, X de variabele matrix en C de matrix van getallen aan de rechterkant van de vergelijkingen.
• Verklein nu de coëfficiëntenmatrix A, d.w.z. de matrix verkregen uit de coëfficiënten van variabelen in alle gegeven vergelijkingen, zodat we voor 'n' variabelen een nXn-matrix hebben, naar rij-echelonvorm met behulp van de Gauss-eliminatiemethode. De aldus verkregen matrix is ​​U.
• Om L te vinden, hebben we twee methoden. De eerste is om de resterende elementen als kunstmatige variabelen aan te nemen, vergelijkingen te maken met behulp van A = LU en deze op te lossen om die kunstmatige variabelen te vinden. De andere methode is dat de resterende elementen de vermenigvuldigingscoëfficiënten zijn, waardoor de respectieve posities nul werden in de U-matrix. (Deze methode is een beetje lastig om met woorden te begrijpen, maar wordt duidelijk in het onderstaande voorbeeld)
• Nu hebben we A (de nXn-coëfficiëntmatrix), L (de nXn onderste driehoekige matrix), U (de nXn bovenste driehoekige matrix), X (de nX1-matrix van variabelen) en C (de nX1-matrix van getallen aan de rechterkant kant van de vergelijkingen).
• Het gegeven systeem van vergelijkingen is A X = C. We substitueren A = L U. We hebben dus L U X = C. We plaatsen Z = U X, waarbij Z een matrix of kunstmatige variabelen is en lossen eerst L Z = C op en lossen dan op U X = Z om X of de waarden van de variabelen te vinden, wat nodig was.

Voorbeeld van LU-decompositie

Los het volgende stelsel vergelijkingen op met behulp van de LU-decompositiemethode:

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

Oplossing: Hier hebben we A =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

En

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

zodat A X = C. Laten we nu eerst kijken

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

en converteer het naar een rij-echelonvorm met behulp van de Gauss-eliminatiemethode. Dus door te doen

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

we krijgen

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

Nu, door te doen

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

We krijgen

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(Vergeet niet om altijd het ‘ – ‘ teken ertussen te laten staan, vervang het ‘ + ‘ teken door twee ‘ – ‘ tekens) We krijgen dus L =

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

en U =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(merk op dat in de L-matrix,

l_{21} = 4

komt uit (1),

l_{31} = 3

komt uit (2) en

l_{32} = -2

komt uit (3)) Nu nemen we aan dat Z

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

en los L Z = C op.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

Dus we hebben

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

wat mijn monitorgrootte is

Oplossen, we krijgen het

z_1 = 1

,

z_2 = 2

En

z_3 = 5

. Nu lossen we U X = Z op

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

Daarom krijgen wij

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

,

-10x_3 = 5 .

De oplossing voor het gegeven systeem van lineaire vergelijkingen is dus:

x_1 = 1

,

x_2 = 0.5

,

x_3 = -0.5

en dus de matrix X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

Oefening over LU-decompositie

In de LU-ontleding van de matrix

| 2 2 |
| 4 9 |

, als de diagonale elementen van U beide 1 zijn, dan is de onderste diagonale invoer l22 van L (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Voor oplossing, zie POORT | GATE-CS-2015 (Set 1) | Vraag 65 .

Veelgestelde vragen over LU-decompositie

Wat is de LU-decompositiemethode?

LU-decompositie, een afkorting van Lower-Upper-decompositie, is een matrixfactorisatietechniek die wordt gebruikt om een ​​vierkante matrix op te splitsen in het product van een onderste driehoekige matrix (L) en een bovenste driehoekige matrix (U). Het wordt vaak gebruikt om het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen te vereenvoudigen en determinanten te berekenen.

Waarom is LU-decompositie uniek?

De LU-decompositie is uniek omdat het een manier biedt om een ​​vierkante matrix A op unieke wijze te ontbinden in onderste en bovenste driehoekige matrices (L en U), waardoor een efficiënte oplossing van lineaire systemen en determinantenberekening mogelijk wordt.

Hoe wordt de LU-ontleding berekend?

De LU-decompositie wordt berekend met behulp van Gaussiaanse eliminatie, waarbij u een vierkante matrix A omzet in onderste (L) en bovenste (U) driehoekige matrices door rijbewerkingen uit te voeren terwijl u de veranderingen in afzonderlijke matrices bijhoudt. Dit proces is iteratief en gaat door totdat A volledig is ontleed. De methode met alle stappen voor LU-decompositie wordt gegeven in het artikel.

Wanneer LU-decompositie niet mogelijk is?

LU-ontleding is mogelijk niet mogelijk wanneer de matrix A singulier is (niet-inverteerbaar) of wanneer deze moet worden gezwenkt voor stabiliteit, maar het draaielement wordt nul, waardoor tijdens het ontbindingsproces een deling door nul ontstaat.

wat is uri

Zijn er alternatieven voor de ontbinding van LU?

Ja, alternatieven voor LU-decompositie omvatten Cholesky-ontbinding voor symmetrische positief definitieve matrices, QR-decompositie voor algemene matrices, en op eigenwaarden gebaseerde methoden zoals spectrale decompositie en singuliere-waarde-decompositie (SVD) voor verschillende matrixbewerkingen en toepassingen.

Kan LU-decompositie worden toegepast op niet-vierkante matrices?

LU-decompositie wordt doorgaans toegepast op vierkante matrices. Voor rechthoekige matrices wordt QR-decompositie vaker gebruikt. Variaties zoals LUP-ontleding kunnen echter ook rechthoekige matrices aan, waarbij P een permutatiematrix is.