De omgekeerde van Matrix is de matrix die bij vermenigvuldiging met de oorspronkelijke matrix resulteert in een identiteitsmatrix. Voor elke matrix A wordt de inverse ervan aangegeven als A-1.
Laten we de Matrix Inverse in detail leren kennen, inclusief de definitie, formule, methoden voor het vinden van de inverse van een matrix en voorbeelden.
Inhoudsopgave
- Matrix omgekeerd
- Termen gerelateerd aan Matrix Inverse
- Hoe de inverse van de matrix te vinden?
- Inverse van een matrixformule
- Inverse Matrix-methode
- Inverse van 2×2 matrixvoorbeeld
- Determinant van de inverse matrix
- Eigenschappen van inverse van matrix
- Matrix Inverse opgeloste voorbeelden
Matrix omgekeerd
De inverse van een matrix is een andere matrix die, vermenigvuldigd met de gegeven matrix, de waarde oplevert multiplicatieve identiteit .
Voor matrix A en zijn inverse van A-1, geldt de identiteitseigenschap.
AA -1 = EEN -1 EEN = Ik
waar I is de identiteitsmatrix.
Termen gerelateerd aan Matrix Inverse
De onderstaande terminologie kan u helpen de inverse van een matrix duidelijker en gemakkelijker te begrijpen.
| Voorwaarden | Definitie | Formule/proces | Voorbeeld met Matrix A |
|---|---|---|---|
| Minderjarige | De minor van een element in een matrix is de determinant van de matrix die wordt gevormd door het verwijderen van de rij en kolom van dat element. | Voor onderdeel aij, verwijder de i-de rij en de j-de kolom om een nieuwe matrix te vormen en de determinant ervan te vinden. | Klein van A elf is de bepalende factor |
| Cofactor | De cofactor van een element is de minor van dat element vermenigvuldigd met (-1) ik+j , waarbij i en j de rij- en kolomindexen van het element zijn. | Cofactor van aij= (-1)ik+jKlein van eenij | Cofactor van A elf = (-1) 1+1 × Kleine van A elf = Kleine van A elf |
| Bepalend | De determinant van een matrix wordt berekend als de som van de producten van de elementen van een rij of kolom en hun respectievelijke cofactoren. | Voor een rij (of kolom) telt u het product van elk element en zijn cofactor bij elkaar op. | Determinant van A = A elf × Cofactor van A elf + A 12 × Cofactor van A 12 + A 13 × Cofactor van A 13 . |
| plaatsvervanger | De adjoint van een matrix is de transponering van zijn cofactormatrix. | Creëer een matrix van cofactoren voor elk element van de oorspronkelijke matrix en transponeer deze vervolgens. | Adjoint van A is de transpositie van de matrix gevormd door de cofactoren van alle elementen in A. |
Enkelvoudige matrix
Een matrix waarvan de waarde van de determinant nul is, wordt een singuliere matrix genoemd, dat wil zeggen dat elke matrix A een singuliere matrix wordt genoemd als |A| = 0. Inverse van een enkelvoudige matrix bestaat niet.
Niet-singuliere matrix
Een matrix waarvan de waarde van de determinant niet nul is, wordt een niet-singuliere matrix genoemd, dat wil zeggen dat elke matrix A een niet-singuliere matrix wordt genoemd als |A| ≠ 0. Er bestaat een inverse van een niet-singuliere matrix.
Identiteitsmatrix
Een vierkante matrix waarin alle elementen nul zijn, behalve de belangrijkste diagonale elementen, wordt de identiteitsmatrix genoemd. Het wordt weergegeven met I. Het is het identiteitselement van de matrix, zoals voor elke matrix A,
A×I = EEN
Een voorbeeld van een identiteitsmatrix is:
I3×3=
Dit is een identiteitsmatrix van orde 3×3.
Lees verder :
- Identiteitsmatrix
Hoe de inverse van de matrix te vinden?
Er zijn twee manieren om de inverse van een matrix in de wiskunde te vinden:
- Matrixformule gebruiken
- Met behulp van inverse matrixmethoden
Inverse van een matrixformule
Het omgekeerde van matrix A, dat wil zeggen A-1wordt berekend met behulp van de inverse van de matrixformule, waarbij de adjunct van een matrix wordt gedeeld door zijn determinant.
Inverse van een matrixformule
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
waar,
- bijvoeglijk naamwoord A = adjunct van de matrix A, en
- |EEN| = determinant van de matrix A.
Opmerking : Deze formule werkt alleen op vierkante matrices.
Volg deze stappen om de inverse van de matrix te vinden met behulp van de inverse van een matrixformule.
Stap 1: Bepaal de mineurs van alle A-elementen.
Stap 2: Bereken vervolgens de cofactoren van alle elementen en bouw de cofactormatrix door de elementen van A te vervangen door hun respectievelijke cofactoren.
Stap 3: Neem de transpositie van de cofactormatrix van A om de adjunct ervan te vinden (geschreven als adj A).
Stap 4: Vermenigvuldig adj A met het omgekeerde van de determinant van A.
Voor elke niet-singuliere vierkante matrix A geldt
A -1 = 1 / |A| × Aanpassing (A)
Voorbeeld: Zoek de inverse van de matrix
We hebben,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Vind de adjunct van matrix A door de cofactoren van elk element te berekenen en vervolgens de transpositie van de cofactormatrix te verkrijgen.
bijvoeglijk naamwoord A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Zoek de waarde van de determinant van de matrix.
|EEN| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Het omgekeerde van de matrix is dus:
A-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ EEN-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Inverse Matrix-methode
Er zijn twee inverse matrixmethoden om de inverse matrix te vinden:
- Bepalende methode
- Elementaire transformatiemethode
Methode 1: Determinante methode
De belangrijkste methode om de matrixinverse te vinden is het gebruik van een determinant.
Java-invoer
De inverse matrix wordt ook gevonden met behulp van de volgende vergelijking:
A -1 = bijvoeglijk naamwoord(A) / det(A)
waar,
- bijvoeglijk naamwoord(A) is de adjunct van een matrix A, en
- het(A) is de determinant van een matrix A.
Voor het vinden van de adjunct van een matrix A is de cofactormatrix van A vereist. Dan is adjunct (A) de transponering van de cofactormatrix van A, dat wil zeggen:
bijvoeglijk naamwoord (A) = [C ij ] T
- Voor de cofactor van een matrix, dat wil zeggen Cij, kunnen we de volgende formule gebruiken:
C ij = (-1) ik+j het (M ij )
waar M ij verwijst naar de (ik, j) e kleine matrix wanneer i e rij en J e kolom wordt verwijderd.
Methode 2: Elementaire transformatiemethode
Volg de onderstaande stappen om een inverse matrix te vinden via de elementaire transformatiemethode.
Stap 1 : Schrijf de gegeven matrix als A = IA, waarbij I de identiteitsmatrix is van dezelfde orde als A.
Stap 2 : Gebruik de volgorde van rijbewerkingen of kolombewerkingen totdat de identiteitsmatrix op de LHS is bereikt. Gebruik ook soortgelijke elementaire bewerkingen op de RHS, zodat we I = BA krijgen. De matrix B op RHS is dus het omgekeerde van matrix A.
Stap 3 : Zorg ervoor dat we rijbewerking of kolombewerking gebruiken tijdens het uitvoeren van elementaire bewerkingen.
We kunnen gemakkelijk de inverse van de 2 × 2 matrix vinden met behulp van de elementaire bewerking. Laten we dit begrijpen met behulp van een voorbeeld.
Voorbeeld: Zoek de inverse van de 2 × 2, A =
Oplossing:
Gegeven:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Nu, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2- R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1- R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Dus het omgekeerde van de matrix A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} isA-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Inverse van 2×2 matrixvoorbeeld
De inverse van de 2×2-matrix kan ook worden berekend met behulp van de snelkoppelingsmethode, afgezien van de hierboven besproken methode. Laten we een voorbeeld bekijken om de snelkoppelingsmethode te begrijpen om de inverse van de 2 × 2 matrix te berekenen.
Voor gegeven matrix A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Wij weten het, |A| = (advertentie – bc)
en bijvoeglijk naamwoord A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} gebruik vervolgens de formule voor inverse
A-1= (1 / |A|) × Bijvoeglijk naamwoord A
⇒ EEN-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Zo wordt de inverse van de 2 × 2-matrix berekend.
Inverse van 3X3 matrixvoorbeeld
Laten we een willekeurige 3×3 matrix A = nemen
De inverse van de 3×3-matrix wordt berekend met behulp van de inverse matrixformule ,
A -1 = (1 / |A|) × Bijvoeglijk naamwoord A
Determinant van de inverse matrix
Determinant van de inverse matrix is het omgekeerde van de determinant van de oorspronkelijke matrix. d.w.z.,
het (A -1 ) = 1 / het(A)
Het bewijs van de bovenstaande bewering wordt hieronder besproken:
det(A × B) = det (A) × det(B) (al bekend)
⇒ EEN × EEN-1= I (volgens de eigenschap Inverse matrix)
⇒ het(A × A-1) = het(ik)
⇒ het(A) × het(A-1) = det(I) [maar, det(I) = 1]
⇒ het(A) × het(A-1) = 1
⇒ het(A-1) = 1 / het(A)
Bewezen dus.
Eigenschappen van inverse van matrix
Inverse matrix heeft de volgende eigenschappen:
- Voor elke niet-singuliere matrix A, (A -1 ) -1 = EEN
- Voor twee niet-singuliere matrices A en B, (AB) -1 = B -1 A -1
- Het omgekeerde van een niet-singuliere matrix bestaat, voor een enkelvoudige matrix bestaat het omgekeerde niet.
- Voor elke niet-singuliere A, (A T ) -1 = (A -1 ) T
Verwant:
- Omkeerbare matrix
- Matrices: eigenschappen en formules
- Wiskundige bewerking op matrices
- Determinant van Matrix
- Hoe vind je de determinant van de matrix?
Matrix Inverse opgeloste voorbeelden
Laten we enkele voorbeeldvragen over Inverse of Matrix oplossen.
Voorbeeld 1: Zoek de inverse van de matrix
Oplossing:
We hebben,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Vind de adjunct van matrix A door de cofactoren van elk element te berekenen en vervolgens de transpositie van de cofactormatrix te verkrijgen.
bijvoeglijk naamwoord A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Zoek de waarde van de determinant van de matrix.
|EEN| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Het omgekeerde van de matrix is dus:
A-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Voorbeeld 2: Vind de inverse van de matrix A=old{ met behulp van de formule.}
Oplossing:
We hebben,
EEN=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Vind de adjunct van matrix A door de cofactoren van elk element te berekenen en vervolgens de transpositie van de cofactormatrix te verkrijgen.
bijvoeglijk naamwoord A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Zoek de waarde van de determinant van de matrix.
|EEN| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Het omgekeerde van de matrix is dus:
A-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Voorbeeld 3: Zoek de inverse van de matrix A=
Oplossing:
We hebben,
EEN=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Vind de adjunct van matrix A door de cofactoren van elk element te berekenen en vervolgens de transpositie van de cofactormatrix te verkrijgen.
bijvoeglijk naamwoord A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Zoek de waarde van de determinant van de matrix.
|EEN| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Het omgekeerde van de matrix is dus:
A-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Voorbeeld 4: Zoek de inverse van de matrix A=
Oplossing:
We hebben,
EEN=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Vind de adjunct van matrix A door de cofactoren van elk element te berekenen en vervolgens de transpositie van de cofactormatrix te verkrijgen.
bijvoeglijk naamwoord A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Zoek de waarde van de determinant van de matrix.
|EEN| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Het omgekeerde van de matrix is dus:
A-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Veelgestelde vragen over de inverse van de matrix
Wat is het omgekeerde van de matrix?
Het omgekeerde van een matrix wordt de inverse van een matrix genoemd. Alleen vierkante matrices met determinanten die niet nul zijn, zijn inverteerbaar. Stel dat voor elke vierkante matrix A met inverse matrix B hun product altijd een identiteitsmatrix (I) van dezelfde orde is.
subtekenreeksfunctie java[A]×[B] = [I]
Wat is Matrix?
Matrix is een rechthoekige reeks getallen die zijn verdeeld in een bepaald aantal rijen en kolommen. Het aantal rijen en kolommen in een matrix wordt de dimensie of volgorde ervan genoemd.
Wat is het omgekeerde van de 2×2-matrix?
Voor elke matrix A of orde 3×3 wordt het omgekeerde gevonden met behulp van de formule:
A -1 = (1 / |A|) × Bijvoeglijk naamwoord A
Wat is het omgekeerde van de 3×3-matrix?
De inverse van elke vierkante 3×3-matrix (zeg A) is de matrix van dezelfde orde, aangegeven met A-1zodanig dat hun product een identiteitsmatrix van orde 3×3 is.
[A] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [ik] 3×3
Zijn Adjoint en Inverse van Matrix hetzelfde?
Nee, de adjunct van een matrix en de inverse van een matrix zijn niet hetzelfde.
Hoe gebruik je de inverse van Matrix?
De inverse van een matrix wordt gebruikt voor het oplossen van algebraïsche uitdrukkingen in matrixvorm. Om bijvoorbeeld AX = B op te lossen, waarbij A de coëfficiëntenmatrix is, X de variabele matrix en B de constante matrix. Hier wordt de variabele matrix gevonden met behulp van de inverse bewerking als:
X = EEN -1 B
Wat zijn inverteerbare matrices?
De matrices waarvan de inverse bestaat, worden inverteerbaar genoemd. Inverteerbare matrices zijn matrices met een determinant die niet nul is.
Waarom bestaat de Inverse van 2 × 3 Matrix niet?
Het omgekeerde van alleen een vierkante matrix bestaat. Omdat de 2 × 3-matrix geen vierkante matrix is, maar eerder een rechthoekige matrix, bestaat het omgekeerde niet.
Op dezelfde manier is de 2 × 1-matrix ook geen vierkante matrix, maar eerder een rechthoekige matrix, dus het omgekeerde bestaat niet.
Wat is het omgekeerde van de identiteitsmatrix?
Het omgekeerde van een identiteitsmatrix is de identiteitsmatrix zelf. Dit komt omdat de identiteitsmatrix, aangeduid als I (of I N voor een N × N matrix), is de enige matrix waarvoor elk element langs de hoofddiagonaal 1 is en alle andere elementen 0. Wanneer we een identiteitsmatrix met zichzelf vermenigvuldigen (of het omgekeerde ervan), krijgen we opnieuw de identiteitsmatrix.