De vergelijking van een lijn in een vlak wordt gegeven als y = mx + C waarbij x en y de coördinaten van het vlak zijn, m de helling van de lijn is en C het snijpunt is. De constructie van een lijn beperkt zich echter niet alleen tot een vlak.

We weten dat een lijn een pad is tussen twee punten. Deze twee punten kunnen zich overal bevinden, of ze zich nu in een enkel vlak bevinden of in de ruimte. In het geval van een vlak wordt de locatie van de lijn gekenmerkt door twee coördinaten gerangschikt in een geordend paar gegeven als (x, y), terwijl in het geval van ruimte de locatie van het punt wordt gekenmerkt door drie coördinaten uitgedrukt als (x , y, z).

In dit artikel zullen we de verschillende vormen van vergelijkingen van lijnen in de 3D-ruimte leren.

Inhoudsopgave

• Wat is vergelijking van een lijn?
• Vergelijking van lijn in 3D
• Cartesische vorm van lijnvergelijking in 3D
• Vectorvorm van vergelijking van lijn in 3D
• Formules voor 3D-lijnen
• Opgeloste voorbeelden van vergelijking van een lijn in 3D

Wat is vergelijking van een lijn?

De vergelijking van een lijn is een algebraïsche manier om een ​​lijn uit te drukken in termen van de coördinaten van de punten die deze verbindt. De vergelijking van een lijn zal altijd a zijn lineaire vergelijking .

Als we proberen de punten uit een lineaire vergelijking in kaart te brengen, wordt dit a rechte lijn . De standaardvergelijking van een lijn wordt gegeven als:

bijl + door + c = 0

waar,

• a en b zijn coëfficiënten van x en y
• c is constante term

Andere vormen van de lijnvergelijking worden hieronder vermeld:

Nu zullen we de vergelijking van de lijn in 3D leren.

Vergelijking van lijn in 3D

De vergelijking van een rechte lijn in 3D vereist twee punten die zich in de ruimte bevinden. De locatie van elk punt wordt gegeven met behulp van drie coördinaten, uitgedrukt als (x, y, z).

De 3D-vergelijking van een lijn wordt in twee formaten gegeven: cartesische vorm En vectorvorm . In dit artikel leren we de vergelijking van een lijn in 3D in zowel cartesiaanse als vectorvorm en leren we ook de vergelijking af te leiden. De verschillende gevallen voor lijnvergelijking worden hieronder opgesomd:

• Cartesiaanse vorm van lijn
  • Lijn die door twee punten gaat
  • Lijn die door een bepaald punt loopt en parallel loopt aan een bepaalde vector
• Vector Vorm van lijn
  • Lijn die door twee punten gaat
  • Lijn die door een bepaald punt loopt en parallel loopt aan een bepaalde vector

Cartesische vorm van lijnvergelijking in 3D

De cartesische lijnvorm wordt gegeven door de coördinaten te gebruiken van twee punten in de ruimte van waaruit de lijn loopt. Hierin zullen we twee gevallen bespreken: wanneer de lijn door twee punten gaat en wanneer de lijn door punten gaat en evenwijdig is aan een vector.

Geval 1: 3D-vergelijking van een lijn in cartesiaanse vorm die door twee punten gaat

Laten we aannemen dat we twee punten A en B hebben waarvan de coördinaten worden gegeven als A(x₁, En₁, Met₁) en B(x₂, En₂, Met₂).

Vervolgens wordt de 3D-vergelijking van een rechte lijn in cartesiaanse vorm gegeven als

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

waarbij x, y en z rechthoekige coördinaten zijn.

voorbestelling doorlopen

Afleiding van de vergelijking van een lijn die door twee punten gaat

We kunnen de cartesiaanse vorm van 3D-vergelijking van rechte lijnen afleiden door de volgende stappen te gebruiken:

• Stap 1: Vind de DR's (richtingsverhoudingen) door het verschil te nemen van de overeenkomstige positiecoördinaten van de twee gegeven punten. l = (x₂- X₁), M = (en₂- En₁), N = (z₂- Met₁); Hier l, m, n zijn de DR's.
• Stap 2: Kies een van de twee gegeven punten, zeg: wij kiezen (X₁, En₁, Met₁).
• Stap 3: Schrijf de vereiste vergelijking van de rechte lijn die door de punten gaat (X₁, En₁, Met₁) en (x₂, En₂, Met₂).
• Stap 4: De 3D-vergelijking van een rechte lijn in cartesiaanse vorm wordt gegeven als L: (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(En₂- En₁) = (z – z₁)/(Met₂- Met₁)

Waar (X en Z) zijn de positiecoördinaten van elk variabel punt dat op de rechte lijn ligt.

Voorbeeld: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positiecoördinaten P (2, 3, 5) en Q (4, 6, 12) zijn, dan wordt de cartesiaanse vergelijking met behulp van de tweepuntsvorm gegeven door

Oplossing:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Het punt P kiezen (2, 3, 5)

De vereiste vergelijking van de lijn

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Geval 2: 3D-vergelijking van een lijn in cartesiaanse stijl die door een punt loopt en parallel loopt aan een gegeven vector

Laten we aannemen dat de lijn door een punt P(x) gaat₁, En₁, Met₁) en is parallel aan een vector gegeven alsvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Vervolgens wordt de lijnvergelijking gegeven als

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

waarbij x, y, z rechthoekige coördinaten zijn en a, b, c richtingscosinussen zijn.

Afleiding van de 3D-vergelijking van een lijn in cartesiaanse lijn die door een punt loopt en parallel loopt aan een gegeven vector

Laten we aannemen dat we een punt P hebben waarvan de positievector wordt gegeven alsvec pvanaf de oorsprong. Laat de lijn die door P gaat evenwijdig zijn aan een andere vectorvec n. Laten we een punt R nemen op de lijn die door P gaat, dan wordt de positievector van R gegeven alsvec r .

Omdat PR parallel loopt aanvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Als we nu op de lijn PR bewegen, zal de coördinaat van elk punt dat op de lijn ligt de coördinaat hebben in de vorm van (x₁+ λa), (en₁+ λb), (z₁+ λc), waarbij λ een parameter is waarvan de waarde varieert van -∞ tot +∞, afhankelijk van de richting vanaf P waar we naartoe bewegen.

De coördinaten van het nieuwe punt zullen dus zijn

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/A

j = j₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/B

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Als we de bovenstaande drie vergelijkingen vergelijken, krijgen we de vergelijking van lijn as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Voorbeeld: Vind de vergelijking van een lijn die door een punt (2, 1, 3) gaat en evenwijdig is aan een vector 3i – 2j + k

Oplossing:

De vergelijking van een lijn die door een punt gaat en evenwijdig is aan een vector wordt gegeven als

(x-x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

Van de vraag die we hebben, x₁= 2, en₁= 1, z₁= 3 en a = 3, b = -2 en c = k. Daarom zal de vereiste vergelijking van de lijn zijn

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vectorvorm van vergelijking van lijn in 3D

De vectorvorm van de lijnvergelijking in 3D wordt gegeven met behulp van een vectorvergelijking die de positievector van de punten omvat. In deze rubriek verkrijgen we voor twee gevallen de 3D-vergelijking van de lijn in vectorvorm.

Geval 1: 3D-vergelijking van een lijn die door twee punten loopt in vectorvorm

Laten we aannemen dat we twee punten A en B hebben waarvan de positievector wordt gegeven alsvec aEnvec b.

Vervolgens wordt de vectorvergelijking van lijn L gegeven als

reageer-tabel

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

waar(vec b – vec a)is de afstand tussen twee punten en λ is de parameter die ligt op de lijn.

Afleiding van de 3D-vergelijking van een lijn die door twee punten loopt in vectorvorm

Stel dat we twee punten A en B hebben waarvan de positievector wordt gegeven alsvec aEnvec b. Nu weten we dat een lijn de afstand is tussen twee willekeurige punten. Daarom moeten we de twee positievectoren aftrekken om de afstand te verkrijgen.

⇒vec d = vec b – vec a

Nu weten we dat elk punt op deze lijn zal worden gegeven als de som van de positievectorvec a space or space vec b met het product van de parameter λ en de positievector van de afstand tussen twee punten, d.w.z.vec d

Daarom zal de vergelijking van de lijn in de vectorvorm zijnvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ofvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Voorbeeld: Zoek de vectorvergelijking van een lijn in 3D die door twee punten gaat waarvan de positievectoren worden gegeven als 2i + j – k en 3i + 4j + k

Oplossing:

Gegeven dat de twee positievectoren worden gegeven als 2i + j – k en 3i + 4j + k

Afstand d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

We weten dat de vergelijking van de lijn wordt gegeven alsvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

De vergelijking van de lijn zal dus zijnvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Geval 2: Vectorvorm van 3D-vergelijking van een lijn die door een punt loopt en parallel loopt aan een vector

Laten we zeggen dat we een punt P hebben waarvan de positievector wordt gegeven alsvec p. Laat deze lijn evenwijdig zijn aan een andere lijn waarvan de positievector wordt gegeven alsvec d .

Linux voer cmd uit

Vervolgens wordt de vectorvergelijking van de lijn ‘l’ gegeven als

vec l = vec p + lambda vec d

waarbij λ de parameter is die op de lijn ligt.

Afleiding van de vectorvorm van de 3D-vergelijking van een lijn die door een punt loopt en parallel loopt aan een vector

Beschouw een punt P waarvan de positievector wordt gegeven alsvec p. Laten we nu aannemen dat deze lijn evenwijdig is aan een vectorvec ddan zal de vergelijking van de lijn zijnvec l = lambda vec d. Omdat de lijn ook door punt P gaat, zal de positievector van het punt de vorm hebben van als we ons in beide richtingen op de lijn van punt P verwijderen.vec p + lambda vec d . De vergelijking van de lijn zal dus zijnvec l = vec p + lambda vec dwaarbij λ de parameter is die op de lijn ligt.

Voorbeeld: Zoek de vectorvorm van de vergelijking van de lijn die door het punt (-1, 3, 2) gaat en evenwijdig is aan een vector 5i + 7j – 3k.

Oplossing:

We weten dat de vectorvorm van de vergelijking van een lijn die door een punt gaat en evenwijdig is aan een vector, wordt gegeven alsvec l = vec p + lambda vec d

Gegeven dat het punt (-1, 3, 2) is, zal de positievector van het punt dus -i + 3j + 2k zijn en de gegeven vector 5i + 7j – 3k.

Daarom zal de vereiste vergelijking van de lijn zijnvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formules voor 3D-lijnen

Soortgelijke lezingen

• Vergelijking van een rechte lijn
• Tangent en Normaal
• Helling van de lijn

Opgeloste voorbeelden van vergelijking van een lijn in 3D

Oefen lijnvergelijkingen in 3D met deze opgeloste oefenvragen.

Voorbeeld 1: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positievectoren (2 i + 3 j + 5 k) en (4 i + 6 j + 12 k) zijn, dan wordt de vectorvergelijking gebruikt met behulp van de tweepuntsvector vorm wordt gegeven door

Oplossing:

{vec {p}}= (4 i + 6 J + 12 k ) - (2 i + 3 J + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 J + 7 k ); Hier{vec {p}}is een vector evenwijdig aan de rechte lijn

Het kiezen van de positievector (2 i + 3 J + 5 k )

De vereiste vergelijking van de rechte lijn

L:{vec {r}}= (2 i + 3 J + 5 k ) + T . (2 i + 3 J + 7 k )

Voorbeeld 2: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positiecoördinaten (3, 4, -7) en (1, -1, 6) zijn, dan gebruikt de vectorvergelijking de tweepuntslijn vorm wordt gegeven door

Oplossing:

Positievectoren van de gegeven punten zijn (3 i + 4 j – 7 k) en (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 ik + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 ik + 5 j – 13 k) ; Hier{vec {p}}is een vector evenwijdig aan de rechte lijn

Kiezen van de positievector (i – j + 6 k)

De vereiste vergelijking van de rechte lijn

L:{vec {r}}= (ik – j + 6 k) + T . (2 ik + 5 j – 13 k)

Voorbeeld 3: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positievectoren (5 i + 3 j + 7 k) en (2 i + j – 3 k) zijn, dan gebruikt de vectorvergelijking de tweepuntsvorm is gegeven door

Oplossing:

{vec {p}}= (5 ik + 3 j + 7 k) – (2 ik + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 ik + 2 j + 10 k) ; Hier{vec {p}}is een vector evenwijdig aan de rechte lijn

Kiezen van de positievector (2 i + j – 3 k)

De vereiste vergelijking van de rechte lijn

L:{vec {r}}= (2 ik + j – 3 k) + T . (3 ik + 2 j + 10k)

Voorbeeld 4: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positiecoördinaten A (2, -1, 3) en B (4, 2, 1) zijn, dan wordt de cartesische vergelijking gebruikt met behulp van de tweepuntslijn vorm wordt gegeven door

Oplossing:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

java converteert char naar string

l = 2, m = 3, n = -2

Het punt A kiezen (2, -1, 3)

De vereiste vergelijking van de lijn

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 of

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Voorbeeld 5: Als een rechte lijn door de twee vaste punten in de driedimensionale ruimte gaat waarvan de positiecoördinaten X (2, 3, 4) en Y (5, 3, 10) zijn, dan wordt de cartesiaanse vergelijking met behulp van de tweepuntsvorm gegeven door

Oplossing:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Het punt X kiezen (2, 3, 4)

De vereiste vergelijking van de lijn

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 of

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Vergelijking van een lijn in 3D – Veelgestelde vragen

Wat is vergelijking van een lijn in 3D?

De vergelijking van een lijn in 3D wordt gegeven als (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(En₂- En₁) = (z – z₁)/(Met₂- Met₁)

Wat is de cartesiaanse vorm van de vergelijking van een lijn in 3D?

Voor twee gevallen wordt de cartesische vorm van de lijnvergelijking in 3D gegeven

Geval 1: Wanneer de lijn door twee punten gaat:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Geval 2: Wanneer een lijn door één punt gaat en evenwijdig is aan een vector:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Wat is een vectorvorm van vergelijking van een lijn in 3D?

De vectorvorm van de vergelijking van een lijn in 3D wordt voor twee gevallen gegeven:

Geval 1: Lijn die door twee punten gaat:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Geval 2: Lijn gaat door een punt en evenwijdig aan een vector:vec l = vec p + lambda vec d

Wat is de hellingspuntvergelijking van een lijn?

Hellingpunt De vergelijking van een lijn wordt gegeven als y = mx + C, waarbij m de helling is

Wat is de standaardvergelijking van een lijn?

Standaardvergelijking van een lijn is ax + by + c = 0