Acuut, stomp, gelijkbenig, gelijkzijdig…Als het om driehoeken gaat, zijn er veel verschillende varianten, maar slechts een paar die 'speciaal' zijn. Deze speciale driehoeken hebben zijden en hoeken die consistent en voorspelbaar zijn en kunnen worden gebruikt om je een weg te banen door je geometrie- of trigonometrieproblemen. En een 30-60-90-driehoek – uitgesproken als 'dertig-zestig-negentig' – blijkt inderdaad een heel speciaal type driehoek te zijn.

In deze gids laten we u zien wat een 30-60-90-driehoek is, waarom deze werkt en wanneer (en hoe) u uw kennis ervan kunt gebruiken. Dus laten we aan de slag gaan!

Wat is een 30-60-90-driehoek?

Een 30-60-90-driehoek is een speciale rechthoekige driehoek (een rechthoekige driehoek is elke driehoek die een hoek van 90 graden bevat) die altijd gradenhoeken heeft van 30 graden, 60 graden en 90 graden. Omdat het een speciale driehoek is, heeft deze ook zijdelengtewaarden die altijd in een consistente relatie met elkaar staan.

De basisdriehoeksverhouding van 30-60-90 is:

Zijde tegenover de hoek van 30°: $x$

Zijde tegenover de hoek van 60°: $x * √3$

Zijde tegenover de hoek van 90°: x$

Een driehoek van 30-60-90 graden kan bijvoorbeeld een zijdelengte hebben van:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

hoe verborgen apps op te halen

(Waarom is het langere been 3? In deze driehoek is het kortste been ($x$) $√3$, dus voor het langere been is $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. En de hypotenusa is 2 keer het kortste been, of √3$)

Enzovoort.

De zijde tegenover de hoek van 30° is altijd het kleinst , omdat 30 graden de kleinste hoek is. De zijde tegenover de hoek van 60° zal de middelste lengte zijn , omdat 60 graden de middelgrote hoek in deze driehoek is. En tenslotte zal de zijde tegenover de hoek van 90° altijd de grootste zijde zijn (de hypotenusa) omdat 90 graden de grootste hoek is.

Hoewel het op andere soorten rechthoekige driehoeken lijkt, is de reden dat een 30-60-90-driehoek zo speciaal is, dat je slechts drie stukjes informatie nodig hebt om elke andere maat te vinden. Zolang je de waarde kent van twee hoekmetingen en de lengte van één zijde (maakt niet uit welke kant), weet je alles wat je moet weten over je driehoek.

We kunnen bijvoorbeeld de driehoeksformule 30-60-90 gebruiken om alle resterende informatieruimten van de onderstaande driehoeken in te vullen.

voorbeeld 1

We kunnen zien dat dit een rechthoekige driehoek is waarin de hypotenusa tweemaal zo lang is als een van de benen. Dit betekent dat dit een driehoek van 30-60-90 moet zijn en dat de kleinere gegeven zijde tegenover de 30° ligt.

Het langere been moet daarom tegenover de hoek van 60° liggen en * √3$ of √3$ meten.

Voorbeeld 2

snel sorteren van Java

We kunnen zien dat dit een driehoek van 30-60-90 moet zijn, omdat we kunnen zien dat dit een rechthoekige driehoek is met één gegeven maat, 30°. De ongemarkeerde hoek moet dan 60° zijn.

Omdat 18 de maat is tegenover de hoek van 60°, moet deze gelijk zijn aan $x√3$. Het kortste been moet dan /√3$ bedragen.

(Merk op dat de beenlengte feitelijk /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ zal zijn, omdat een noemer geen radicaal/vierkantswortel kan bevatten).

En de hypotenusa wordt (18/√3)$

(Merk op dat je wederom geen radicaal in de noemer kunt hebben, dus het uiteindelijke antwoord zal in werkelijkheid 2 maal de beenlengte van √3$ => √3$ zijn).

Voorbeeld 3

Opnieuw krijgen we twee hoekmetingen (90° en 60°), dus de derde maat zal 30° zijn. Omdat dit een 30-60-90 driehoek is en de hypotenusa 30 is, zal het kortste been gelijk zijn aan 15 en het langere been gelijk aan 15√3.

Je hoeft de magische achtbal niet te raadplegen; deze regels werken altijd.

Waarom het werkt: 30-60-90 driehoeksstelling bewijs

Maar waarom werkt deze speciale driehoek zoals hij werkt? Hoe weten we dat deze regels legitiem zijn? Laten we eens kijken hoe de 30-60-90-driehoeksstelling precies werkt en bewijzen waarom deze zijdelengten altijd consistent zullen zijn.

Laten we eerst de rechthoekige driehoeken even vergeten en naar an kijken gelijkzijdige driehoek.

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met allemaal gelijke zijden en allemaal gelijke hoeken. Omdat de binnenhoeken van een driehoek altijd optellen tot 180° en 0/3 = 60$, een gelijkzijdige driehoek heeft altijd drie hoeken van 60°.

Laten we nu een hoogte naar beneden gaan vanaf de bovenste hoek naar de basis van de driehoek.

Dat hebben we nu creëerde twee rechte hoeken en twee congruente (gelijke) driehoeken.

Hoe weten we dat het gelijke driehoeken zijn? Omdat we een hoogte hebben laten vallen van een gelijkzijdig driehoek, we hebben de basis precies in tweeën gedeeld. De nieuwe driehoeken delen ook één zijdelengte (de hoogte), en ze hebben elk dezelfde lengte van de hypotenusa. Omdat ze drie zijlengtes gemeenschappelijk hebben (SSS), betekent dit: de driehoeken zijn congruent.

sorteer array java

Opmerking: de twee driehoeken zijn niet alleen congruent op basis van de principes van zijdelingse zijdelingse lengtes, of SSS, maar ook gebaseerd op zijdelingse hoekzijdematen (SAS), hoekhoekzijde (AAS) en hoek-zijmaat (SAS), hoek-hoekzijde (AAS) en hoek-zijlengtes. zijhoek (ASA). In principe? Ze zijn zeker congruent.

Nu we de congruentie van de twee nieuwe driehoeken hebben bewezen, kunnen we zien dat de tophoeken elk gelijk moeten zijn aan 30 graden (omdat elke driehoek al hoeken van 90° en 60° heeft en opgeteld 180° moet zijn). Dit betekent we hebben twee 30-60-90 driehoeken gemaakt.

En omdat we weten dat we de basis van de gelijkzijdige driehoek doormidden hebben gesneden, kunnen we zien dat de zijde tegenover de hoek van 30° (de kortste zijde) van elk van onze 30-60-90 driehoeken precies de helft van de lengte van de hypotenusa is. .

Laten we dus onze oorspronkelijke zijdelengte $x$ en onze doorsneden lengte $x/2$ ​​noemen.

Nu hoeven we alleen nog maar de lengte van onze middenzijde te vinden die de twee driehoeken delen. Om dit te doen, kunnen we eenvoudigweg de stelling van Pythagoras gebruiken.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Er blijft dus over: $x/2, {x√3}/2, x$

Laten we nu elke maat met 2 vermenigvuldigen, gewoon om het leven gemakkelijker te maken en alle breuken te vermijden. Op die manier houden we over:

$x$, $x√3$, x$

We kunnen dus zien dat een 30-60-90-driehoek dat wel zal doen altijd consistente zijdelengten hebben van $x$, $x√3$ en x$ (of $x/2$, ${√3x}/2$ en $x$).

Gelukkig voor ons kunnen we bewijzen dat 30-60-90 driehoeksregels waar zijn zonder dit alles.

Wanneer moet u 30-60-90 driehoeksregels gebruiken?

Als u de 30-60-90-driehoeksregels kent, kunt u tijd en energie besparen bij een groot aantal verschillende wiskundige problemen, namelijk een grote verscheidenheid aan geometrie- en trigonometrieproblemen.

Geometrie

Een goed begrip van de 30-60-90 driehoeken zal je in staat stellen geometrievragen op te lossen die ofwel onmogelijk op te lossen zouden zijn zonder deze verhoudingsregels te kennen, of die op zijn minst aanzienlijke tijd en moeite zouden vergen om de 'lange weg' op te lossen.

Met de speciale driehoeksverhoudingen kunt u ontbrekende driehoekshoogten of beenlengtes berekenen (zonder de stelling van Pythagoras te hoeven gebruiken), de oppervlakte van een driehoek vinden met behulp van ontbrekende hoogte- of basislengte-informatie, en snel de omtrekken berekenen.

Elke keer dat u snelheid nodig heeft om een ​​vraag te beantwoorden, kan het onthouden van snelkoppelingen zoals uw 30-60-90-regels van pas komen.

Trigonometrie

Door de driehoeksverhouding 30-60-90 uit het hoofd te leren en te begrijpen, kunt u ook veel trigonometrieproblemen oplossen zonder dat u een rekenmachine nodig hebt of uw antwoorden in decimale vorm moet benaderen.

Een 30-60-90 driehoek heeft vrij eenvoudige sinussen, cosinussen en raaklijnen voor elke hoek (en deze metingen zullen altijd consistent zijn).

Sinus van 30° zal altijd /2$ zijn.

De cosinus van 60° zal altijd /2$ zijn.

Hoewel de andere sinussen, cosinussen en raaklijnen vrij eenvoudig zijn, zijn dit de twee die het gemakkelijkst te onthouden zijn en die waarschijnlijk bij tests zullen verschijnen. Als u deze regels kent, kunt u deze trigonometrische metingen zo snel mogelijk vinden.

Tips voor het onthouden van de 30-60-90-regels

U weet dat deze 30-60-90-verhoudingsregels nuttig zijn, maar hoe houdt u de informatie in uw hoofd? Het onthouden van de 30-60-90 driehoeksregels is een kwestie van het onthouden van de verhouding 1: √3: 2, en weten dat de kortste zijdelengte altijd tegenovergesteld is aan de kortste hoek (30°) en de langste zijdelengte altijd tegenovergesteld is aan de grootste hoek (90°).

Sommige mensen onthouden de verhouding door te denken: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' omdat de '1, 2, 3'-opeenvolging doorgaans gemakkelijk te onthouden is. De enige voorzorgsmaatregel bij het gebruik van deze techniek is om te onthouden dat de langste zijde eigenlijk x$ is, niet de $x$ maal $√3$.

voeten versus voet

Een andere manier om uw verhoudingen te onthouden is door gebruik een geheugensteuntje voor de verhouding 1: wortel 3: 2 in de juiste volgorde. Bijvoorbeeld: 'Jackie Mitchell schakelde Lou Gehrig uit en' won ook Ruthy '': één, grondtoon drie, twee. (En het is bovendien een waar feit uit de honkbalgeschiedenis!)

Speel met je eigen geheugensteuntjes als deze je niet aanspreken: zing de verhouding van een liedje, zoek je eigen 'één, wortel drie, twee'-zinnetjes, of bedenk een verhoudingsgedicht. Je kunt zelfs gewoon onthouden dat een driehoek van 30-60-90 een halve gelijkzijdige driehoek is en van daaruit de afmetingen berekenen als je ze niet graag uit je hoofd wilt leren.

Het is echter logisch dat u deze 30-60-90-regels onthoudt, maar houd die verhoudingen in uw hoofd voor uw toekomstige vragen over geometrie en trigonometrie.

Memoriseren is je vriend, maar je kunt het ook laten gebeuren.

Voorbeeld 30-60-90 Vragen

Nu we het hoe en waarom van 30-60-90 driehoeken hebben bekeken, gaan we enkele oefenproblemen doornemen.

Geometrie

Een bouwvakker leunt een ladder van 12 meter tegen de zijkant van een gebouw in een hoek van 30 graden ten opzichte van de grond. De grond is vlak en de zijkant van het gebouw staat loodrecht op de grond. Hoe ver reikt de ladder in het gebouw, tot op de dichtstbijzijnde voet?

Zonder onze speciale driehoeksregels 30-60-90 te kennen, zouden we trigonometrie en een rekenmachine moeten gebruiken om de oplossing voor dit probleem te vinden, aangezien we maar één zijdemaat van een driehoek hebben. Maar omdat we weten dat dit een speciaal driehoek, kunnen we het antwoord binnen enkele seconden vinden.

Als het gebouw en de grond loodrecht op elkaar staan, moet dat betekenen dat het gebouw en de grond een rechte hoek (90°) vormen. Het is ook een gegeven dat de ladder in een hoek van 30° de grond raakt. We kunnen dus zien dat de resterende hoek 60° moet zijn, wat dit een 30-60-90 driehoek maakt.

Nu weten we dat de hypotenusa (langste zijde) van deze 30-60-90 40 voet is, wat betekent dat de kortste zijde de helft van die lengte zal zijn. (Onthoud dat de langste zijde altijd twee keer (€2x$) zo lang is als de kortste zijde.) Omdat de kortste zijde tegenover de hoek van 30° ligt, en die hoek de maat is van de ladder vanaf de grond, betekent dit dat de bovenkant van de ladder raakt het gebouw 6 meter boven de grond.

Ons uiteindelijke antwoord is 20 voet.

Trigonometrie

Als in een rechthoekige driehoek sin Θ = /2$ en de kortste beenlengte 8 is. Wat is de lengte van de ontbrekende zijde die NIET de hypotenusa is?

Omdat u de 30-60-90-regels kent, kunt u dit probleem oplossen zonder dat u de stelling van Pythagoras of een rekenmachine nodig heeft.

Er is ons verteld dat dit een rechthoekige driehoek is, en we weten uit onze speciale rechthoekige driehoeksregels dat sinus 30° = /2$. De ontbrekende hoek moet dus 60 graden zijn, waardoor dit een 30-60-90 driehoek is.

Java Lambda-expressies

En omdat dit een 30-60-90 driehoek is, en ons werd verteld dat de kortste zijde 8 is, moet de hypotenusa 16 zijn en de ontbrekende zijde * √3$, of √3$.

Ons uiteindelijke antwoord is 8√3.

De take-aways

Het herinneren van de regels voor 30-60-90 driehoeken helpen je een weg te vinden door een verscheidenheid aan wiskundige problemen . Maar houd er rekening mee dat, hoewel het kennen van deze regels een handig hulpmiddel is om in de gaten te houden, u de meeste problemen nog steeds zonder deze regels kunt oplossen.

Houd de regels van $x$, $x√3$, x$ en 30-60-90 in de gaten, op welke manier dan ook, en probeer ze zo duidelijk mogelijk te houden, maar raak niet in paniek als je dat wilt. verdwijnt als het tijd is om te kraken. Hoe dan ook, je hebt dit.

En als je meer oefening nodig hebt, ga je gang en bekijk dit eens 30-60-90 driehoeksquiz . Veel testplezier!