PUNT- EN KRUISPRODUCTEN OP VECTOREN

Een grootheid die niet alleen door de grootte maar ook door de richting ervan wordt gekenmerkt, wordt een vector genoemd. Snelheid, kracht, versnelling, momentum, etc. zijn vectoren.

Vectoren kunnen op twee manieren worden vermenigvuldigd:

Scalair product of puntproduct
Vectorproduct of kruisproduct

Inhoudsopgave

Scalair product/puntproduct van vectoren

Projectie van de ene vector op een andere vector

Eigenschappen van scalair product
Ongelijkheid op basis van puntproduct
Kruisproduct/vectorproduct van vectoren

Eigenschappen van kruisproduct
Kruisproduct in determinantvorm

Punt- en kruisproduct
Veelgestelde vragen over punt- en kruisproducten op vectoren

Scalair product/puntproduct van vectoren

Het resulterende scalaire product/puntproduct van twee vectoren is altijd een scalaire grootheid. Beschouw twee vectoren A En B . Het scalaire product wordt berekend als het product van de grootheden a, b en de cosinus van de hoek tussen deze vectoren.

Scalair product = |a||b| cos α
Linux-architectuur

Hier,

|een| = grootte van de vector A,
|b| = grootte van de vector B , En
α = hoek tussen de vectoren.

Vectoren a en b met hoek α ertussen

Projectie van de ene vector op een andere vector

Vector A kan worden geprojecteerd op lijn l, zoals hieronder weergegeven:

CD = projectie van vector a op vector b

Uit de bovenstaande figuur blijkt duidelijk dat we de ene vector over een andere vector kunnen projecteren. AC is de grootte van vector A. In de bovenstaande figuur is AD loodrecht op lijn l getekend. CD vertegenwoordigt de projectie van vector A op vector B .

Driehoek ACD is dus een rechthoekige driehoek en we kunnen goniometrische formules toepassen.

Als α de maat is voor hoek ACD, dan

cos α = CD/AC

Of, CD = AC cos a

Uit de figuur blijkt duidelijk dat CD de projectie is van vector a op vector b

We kunnen dus concluderen dat de ene vector over de andere vector kan worden geprojecteerd door de cosinus van de hoek ertussen.

Eigenschappen van scalair product

Scalair product van twee vectoren is altijd een reëel getal (scalair).
Scalair product is commutatief, d.w.z. a.b =b.a= |a||b| cos α
Als α 90° is, dan is het scalaire product nul, aangezien cos(90) = 0. Het scalaire product van eenheidsvectoren in x- en y-richtingen is dus 0.
Als α 0° is, dan is het scalaire product het product van de grootheden van A En B |a||b|.
Scalair product van een eenheidsvector met zichzelf is 1.
Scalair product van een vector a met zichzelf is |a|²
Als α 180 is⁰, is het scalaire product voor vectoren a en b -|a||b|
Scalair product is distributief over optelling

A. ( B + C ) = a.b + wisselstroom

Voor elke scalaire k en m geldt dan

l A. (M B ) = km a.b

Als de samenstellende vorm van de vectoren wordt gegeven als:

A = een₁x + een₂en + een₃Met

B = geb₁x + b₂j + b₃Met

dan wordt het scalaire product gegeven als

a.b = een₁B₁+ een₂B₂+ een₃B₃

Het scalaire product is nul in de volgende gevallen:
- De grootte van vector a is nul
- De grootte van vector b is nul
- De vectoren a en b staan loodrecht op elkaar

Ongelijkheid op basis van puntproduct

Er zijn verschillende ongelijkheden gebaseerd op het puntproduct van vectoren, zoals:

Cauchy-Schwartz-ongelijkheid
Driehoeksongelijkheid

Laten we deze als volgt in detail bespreken:

Cauchy-Schwartz-ongelijkheid

Volgens dit principe, voor elke twee vectoren A En B , is de grootte van het puntproduct altijd kleiner dan of gelijk aan het product van de grootheden van vector a en vector b

|a.b| ≤ |een| |b|

Bewijs:

Aangezien a.b = |a| |b| cos α

Wij weten dat 0

We concluderen dus dat |a.b| ≤ |a| |b|

Driehoeksongelijkheid

Voor elke twee vectoren A En B , dat hebben we altijd gedaan

| A + B | ≤ | A | + | B |

Driehoeksongelijkheid

Bewijs:

| A + B |²=| A + B || A + B |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | A |²+ 2 a.b +| B |²(puntproduct is commutatief)

≤ | A |²+ 2| een||b | + | B |²

≤ ( |een | + | b| )²

Dit bewijst dat | A + B | ≤ | A | + | b|

Voorbeelden van puntproduct van vectoren

Voorbeeld 1. Beschouw twee vectoren zodat |a|=6 en |b|=3 en α = 60°. Vind hun puntproduct.

Oplossing:

a.b = |een| |b| cos α

Dus, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Voorbeeld 2. Bewijs dat de vectoren a = 3i+j-4k en vector b = 8i-8j+4k loodrecht staan.

Oplossing :

We weten dat de vectoren loodrecht staan als hun puntproduct nul is

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0
nfa voorbeelden

Omdat het scalaire product nul is, kunnen we concluderen dat de vectoren loodrecht op elkaar staan.

Kruisproduct/vectorproduct van vectoren

Lezers zijn al bekend met een driedimensionaal rechtshandig rechthoekig coördinatensysteem. In dit systeem geeft een rotatie tegen de klok in van de x-as naar de positieve y-as aan dat een rechtshandige (standaard) schroef in de richting van de positieve z-as zou bewegen, zoals weergegeven in de afbeelding.

3D rechthoekig coördinatensysteem

De vectorproduct of kruisproduct van twee vectoren A En B met een hoek α ertussen wordt wiskundig berekend als

a × b = |a| |b| zonder α

Opgemerkt moet worden dat het kruisproduct een vector is met een gespecificeerde richting. De resultante staat altijd loodrecht op zowel a als b.

Ook als er twee vectoren zijn,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)Enmathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), wordt hun kruisproduct, aangegeven met a × b, berekend als:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

In het geval dat a en b parallelle vectoren zijn, zal de resultante nul zijn, aangezien sin(0) = 0

Eigenschappen van kruisproduct

Cross Product genereert een vectorhoeveelheid. De resultante staat altijd loodrecht op zowel a als b.
Het kruisproduct van parallelle vectoren/collineaire vectoren is nul aangezien sin(0) = 0.

ik × ik = j × j = k × k = 0

Kruisproduct van twee onderling loodrechte vectoren met eenheidsgrootte elk eenheid. (Sinds zonde(0)=1)
Kruisproduct is niet commutatief.

a × b is niet gelijk aan b × a

Het kruisproduct is distributief over de optelling

een × ( B + C ) = A × b + A × C

Als k een scalair is, dan

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Als we met de klok mee bewegen en het kruisproduct nemen van twee paar eenheidsvectoren, krijgen we de derde en tegen de klok in krijgen we de negatieve resultante.

Kruisproduct met de klok mee en tegen de klok in

De volgende resultaten kunnen worden vastgesteld:

ik × j = k	j × k = ik	k × ik = j
j × ik = -k	ik × k= -j	k × j = -i

Kruisproduct in determinantvorm

Als de vector A wordt weergegeven als a = a1x + a2y + a3z en vector B wordt weergegeven als b = b1x + b2y + b3z

Dan het kruisproduct a × b kan worden berekend met behulp van de determinantenvorm

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Dan, a × b = x(een₂B₃- B₂A₃) + y(een₃B₁- A₁B₃) + z(een₁B₂- A₂B₁)

Als a en b de aangrenzende zijden van het parallellogram OXYZ zijn en α de hoek is tussen de vectoren a en b.

Vervolgens wordt de oppervlakte van het parallellogram gegeven door | a × b | = |een| |b|zonde.a

Vectoren a en b als aangrenzende zijden van een parallellogram

Voorbeelden van C ross product van vectoren

Voorbeeld 1. Zoek het kruisproduct van twee vectoren a en b als hun grootheden respectievelijk 5 en 10 zijn. Gegeven dat de hoek daartussen 30° is.

Oplossing:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 loodrecht op A En B

Voorbeeld 2. Zoek de oppervlakte van een parallellogram waarvan de aangrenzende zijden zijn

a = 4i+2j -3k

b= 2 ik+j-4k

Oplossing :

De oppervlakte wordt berekend door het kruisproduct van aangrenzende zijden te vinden

a × b = x(een₂B₃- B₂A₃) + y(een₃B₁- A₁B₃) + z(een₁B₂- A₂B₁)

= ik(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Daarom is de omvang van het gebied gelijksqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}