Een beroemde wiskundige DeMorgan vond de twee belangrijkste stellingen van de Booleaanse algebra uit. De stellingen van DeMorgan worden gebruikt voor wiskundige verificatie van de gelijkwaardigheid van de NOR- en negatieve EN-poorten en de negatieve OF- en NAND-poorten. Deze stellingen spelen een belangrijke rol bij het oplossen van verschillende Booleaanse algebra-uitdrukkingen. In de onderstaande tabel wordt de logische bewerking voor elke combinatie van de invoervariabele gedefinieerd.
| Invoervariabelen | Uitvoerconditie | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | EN | NEN | OF | NOCH |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
De regels van de stelling van De-Morgan worden geproduceerd op basis van de Booleaanse uitdrukkingen voor OR , AND , en NOT met behulp van twee invoervariabelen x en y. De eerste stelling van Demorgan zegt dat als we de EN-bewerking van twee invoervariabelen uitvoeren en vervolgens de NOT-bewerking van het resultaat uitvoeren, het resultaat hetzelfde zal zijn als de OF-bewerking van het complement van die variabele. De tweede stelling van DeMorgan zegt dat als we de OR-bewerking van twee invoervariabelen uitvoeren en vervolgens de NIET bewerking van het resultaat, zal het resultaat hetzelfde zijn als de EN-bewerking van het complement van die variabele.
De eerste stelling van De-Morgan
Volgens de eerste stelling is het complementresultaat van de AND-bewerking gelijk aan de OR-bewerking van het complement van die variabele. Het is dus equivalent aan de NAND-functie en is een negatieve OF-functie die bewijst dat (A.B)' = A'+B' en we kunnen dit aantonen met behulp van de volgende tabel.
| Ingangen | Uitvoer voor elke term | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (AB)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De tweede stelling van De-Morgan
Volgens de tweede stelling is het complementresultaat van de OR-bewerking gelijk aan de AND-bewerking van het complement van die variabele. Het is dus het equivalent van de NOR-functie en is een negatieve EN-functie die bewijst dat (A+B)' = A'.B' en we kunnen dit aantonen met behulp van de volgende waarheidstabel.
| Ingangen | Uitvoer voor elke term | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Laten we enkele voorbeelden nemen waarin we enkele uitdrukkingen gebruiken en de stellingen van DeMorgan toepassen.
Voorbeeld 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Voorbeeld 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Voorbeeld 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Om de stelling van DeMorgan op deze uitdrukking toe te passen, moeten we de volgende uitdrukkingen volgen:
1) In volledige uitdrukking vinden we eerst die termen waarop we de stelling van DeMorgan kunnen toepassen en elke term als een enkele variabele kunnen behandelen.
Dus,
2) Vervolgens passen we de eerste stelling van DeMorgan toe. Dus,
3) Vervolgens gebruiken we regel nummer 9, d.w.z. (A=(A')') voor het annuleren van de dubbele maten.
4) Vervolgens passen we de tweede stelling van DeMorgan toe. Dus,
5) Pas opnieuw regel nummer 9 toe om de dubbele balk te annuleren
Deze uitdrukking heeft geen term waarop we enige regel of stelling kunnen toepassen. Dit is dus de laatste uitdrukking.
Voorbeeld 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
opzet opzet
