De wet van De Morgan is de meest voorkomende wet in de verzamelingenleer, de Booleaanse algebra en de verzamelingenleer. In dit artikel zullen we meer te weten komen over de wet van De Morgan, de wet van De Morgan in de verzamelingenleer, en de wet van De Morgan in de Booleaanse algebra, samen met de bijbehorende bewijzen, waarheidstabellen en logische poortdiagrammen. Het artikel bevat ook het opgeloste voorbeeld van de wet van De Morgan en veelgestelde vragen over de wet van De Morgan. Laten we meer te weten komen over de wet van De Morgan.
Inhoudsopgave
- Wat is de wet van De Morgan
- De wet van De Morgan in de verzamelingenleer
- Eerste wet van De Morgan
- Tweede wet van De Morgan
- Bewijs met behulp van algebra van verzamelingen
- De wet van De Morgan in de Booleaanse algebra
- Uit de wetsformule van Morgan
- Opgeloste voorbeelden van de wet van De Morgan
- Logische toepassingen van de wet van De Morgan
Wat is de wet van De Morgan
De wet van De Morgan is de wet die de relatie geeft tussen vereniging, snijpunt en complementen in de verzamelingenleer. In de Booleaanse algebra geeft het de relatie tussen AND, OR en complementen van de variabele, en in de logica geeft het de relatie tussen AND, OR of de ontkenning van de bewering. Met behulp van de wet van De Morgan kunnen we verschillende Booleaanse circuits optimaliseren met logische poorten die ons helpen dezelfde bewerking uit te voeren, maar met heel weinig apparatuur.
De wet van De Morgan in de verzamelingenleer
De wet van De Morgan in de set theorie definieert de relatie tussen de unie, het snijpunt en de complementen van de sets, en wordt gegeven voor zowel het complement van de unie als het snijpunt van twee sets. In de verzamelingenleer zijn er twee wetten van De Morgan:
- Eerste wet van De Morgan
- Tweede wet van De Morgan
Laten we deze wetten in detail begrijpen, zoals hieronder:
geheel getal naar dubbel java
Eerste wet van De Morgan
Ten eerste stelt de wet van De Morgan dat Het complement van de vereniging van twee sets is gelijk aan het snijpunt van de complementen van elke set.
Stel dat A en B twee verzamelingen zijn, dan wordt wiskundig gezien de wet van Eerste De Morgan gegeven als:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Waar
- IN vertegenwoordigt de Unie-operatie tussen sets,
- ∩ vertegenwoordigt snijpuntbewerking tussen sets, en
- ' vertegenwoordigt complementbewerking op een set.
Het wordt ook wel genoemd De Morgan’s wet van eenheid.
Geef een gedetailleerd bewijs van de wet van De Morgan
| Stap | Uitleg |
|---|---|
| Stap 1: Formuleer de wet | De wet van De Morgan bestaat uit twee delen: ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B en ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B. |
| Stap 2: Kies een element | Laten we bewijzen dat ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. Neem een element x aan dat niet in A ∪ B zit. |
| Stap 3: Begrijp de aanname | Als x niet in A ∪ B zit, dan is x noch in A, noch in B. |
| Stap 4: Pas de definitie toe | Volgens de definitie van complement: als x niet in A en niet in B zit, dan is x in ¬A en in ¬B. |
| Stap 5: Sluit het bewijs af | Omdat x zowel in ¬A als in ¬B zit, zit x in ¬A ∩ ¬B. We hebben dus aangetoond dat ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B. |
Bewijs met behulp van algebra van verzamelingen
We moeten bewijzen: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Stel dat X = (A ∪ B)’ en Y = A’ ∩ B’
Laat p een willekeurig element van X zijn, dan p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)’
⇒ p ∉ (A ∪ B)
⇒ p ∉ A of p ∉ B
⇒ p ∈ A’ en p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∩ B’
⇒ p ∈ Y
∴X ⊂ Y. . . (Jij)
Laat q wederom een element van Y zijn, dan is q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’
⇒ q ∈ A’ en q ∈ B’
⇒ q ∉ A of q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∪ B)
⇒ q ∈ (A ∪ B)’
⇒ q ∈ X
∴Y ⊂X. . . (ii)
Uit (i) en (ii) X = Y
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Lees ook – Bewijs van de wetten van De-Morgan in de Booleaanse algebra
Bewijs met behulp van een Venn-diagram
Venn-diagram voor (A ∪ B)’
Venn-diagram voor A’ ∩ B’
Uit beide diagrammen kunnen we duidelijk zeggen:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Dat is de eerste wet van De Morgan.
Tweede wet van De Morgan
Ten tweede stelt de wet van De Morgan dat Het complement van het snijpunt van twee sets is gelijk aan de vereniging van de complementen van elke set.
Stel dat A en B twee verzamelingen zijn, dan wordt wiskundig gezien de wet van Eerste De Morgan gegeven als:
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Waar
- IN vertegenwoordigt de Unie-operatie tussen sets,
- ∩ vertegenwoordigt snijpuntbewerking tussen sets, en
- ' vertegenwoordigt complementbewerking op een set.
Het wordt ook wel genoemd De Morgan's wet van kruispunt .
Bewijs met behulp van algebra van verzamelingen
Tweede wet van De Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Stel dat X = (A ∩ B)’ en Y = A’ ∪ B’
Laat p een willekeurig element van X zijn, dan p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)’
⇒ p ∉ (A ∩ B)
⇒ p ∉ A en p ∉ B
⇒ p ∈ A’ of p ∈ B’
⇒ p ∈ A’ ∪ B’
⇒ p ∈ Y
∴ X ⊂ Y ————–(i)
Laat q wederom een element van Y zijn, dan is q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’
⇒ q ∈ A’ of q ∈ B’
⇒ q ∉ A en q ∉ B
⇒ q ∉ (A ∩ B)
⇒ q ∈ (A ∩ B)’
⇒ q ∈ X
∴ Y ⊂ X ————–(ii)
Uit (i) en (ii) X = Y
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Bewijs met behulp van een Venn-diagram
Venn-diagram voor (A ∩ B)’
wat is directoryverzending
Venndiagram voor A’ ∪ B’
Uit beide diagrammen kunnen we duidelijk zeggen
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Dat is de tweede wet van De Morgan.
De wet van De Morgan in de Booleaanse algebra
De Booleaanse algebra van De Morgan definieert de relatie tussen OR, AND en de complementen van variabelen, en wordt gegeven voor zowel het complement van AND als OR van twee waarden. In de Booleaanse algebra zijn er twee wetten van De Morgan:
- Eerste wet van De Morgan
- Tweede wet van De Morgan
Laten we deze wetten in detail begrijpen, zoals hieronder:
Eerste wet van De Morgan in de Booleaanse algebra
Ten eerste stelt de wet van De Morgan dat Het complement van OR van twee of meer variabelen is gelijk aan het EN van het complement van elke variabele.
Stel dat A en B twee variabelen zijn, dan wordt wiskundig gezien de wet van Eerste De Morgan gegeven als:
(A+B)’ = A’. B'
Waar
- + vertegenwoordigt de OR-operator tussen variabelen,
- . vertegenwoordigt AND-operator tussen variabelen, en
- ' vertegenwoordigt complementbewerking op variabele.
Eerste De Morgan’s Law Logic Gates
In de context van logische poorten en Booleaanse algebra stelt de wet van De Morgan dat beide logische poortcircuits, d.w.z. NIET-poort wordt toegevoegd aan de uitgang van de OF-poort, en NIET-poort wordt toegevoegd aan de ingang van de EN-poort, gelijkwaardig zijn. Deze twee logische poortcircuits worden als volgt gegeven:
Eerste waarheidstabel van De Morgan
De waarheidstabel voor de eerste wet van De Morgan wordt als volgt gegeven:
| A | B | A+B | (A+B)’ | A' | B' | A'. B' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 t ff |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tweede wet van De Morgan in de Booleaanse algebra
Ten tweede stelt de wet van De Morgan dat Het complement van AND van twee of meer variabelen is gelijk aan het OR van het complement van elke variabele.
Stel dat A en B twee variabelen zijn, dan wordt wiskundig gezien de tweede wet van De Morgan gegeven als:
(A. B)’ = A’ + B’
Waar
- + vertegenwoordigt de OR-operator tussen variabelen,
- . vertegenwoordigt AND-operator tussen variabelen, en
- ' vertegenwoordigt complementbewerking op variabele.
Tweede De Morgan’s Law Logic Gates
In de context van logische poorten en Booleaanse algebra stelt de wet van De Morgan dat beide logische poortcircuits, d.w.z. NIET-poort wordt toegevoegd aan de uitgang van EN-poort, en NIET-poort wordt toegevoegd aan de invoer van OF-poort, gelijkwaardig zijn. Deze twee logische poortcircuits worden als volgt gegeven:
Tweede waarheidstabel van De Morgan
De waarheidstabel voor de tweede wet van De Morgan wordt als volgt gegeven:
| A | B | A . B | (A.B)’ | A' | B' | A’+B’ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 sorteer een arraylist in Java | 0 | 0 | 0 |
Uit de wetlogica van Morgan
In de wet van De Morgan voor de logica zijn de onderstaande voorzetsels tautologie:
∼ (een ∧ b) ≡ ∼ een ∨ ∼ b
∼ (een ∨ b) ≡ ∼ een ∧ ∼ b
Waar,
- ∧ vertegenwoordigt de combinatie van staten,
- ∨ vertegenwoordigt de disjunctie van uitspraken,
- ~ vertegenwoordigt de ontkenning van de verklaring, en
- ≡ vertegenwoordigt de gelijkwaardigheid van uitspraken.
Uit de wetsformule van Morgan
Laten we alle formules voor de wet van De Morgan in de volgende lijst samenvatten.
Voor verzamelingenleer:
- (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Voor Booleaanse algebra:
- (A+B)’ = A’. B'
- (A. B)’ = A’ + B’
Voor logica:
- ∼ (een ∧ b) ≡ ∼ een ∨ ∼ b
- ∼ (een ∨ b) ≡ ∼ een ∧ ∼ b
Opgeloste voorbeelden van de wet van De Morgan
Probleem 1: Gegeven dat U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} en B = {2, 3, 9}. Bewijs de tweede wet van De Morgan.
Oplossing:
U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} en B = {2, 3, 9}
Bewijzen: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(EEN ∩ B) = {2}
(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}
(A ∩ B)’ = {3, 7, 8, 9}
EEN’ = U – EEN = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}
EEN’ = {3, 8, 9}
B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}
B’ = {7, 8}
A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}
A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}
arp-opdracht(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Probleem 2: Gegeven dat U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} en B = {4, 6, 9}. Bewijs de eerste wet van De Morgan.
Oplossing:
U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} en B = {4, 6, 9}
Bewijzen: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}
(A ∪ B)’ = {8}
EEN’ = U – EEN = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}
EEN’ = {4, 6, 8}
B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}
B’ = {1, 8}
A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}
A’ ∩ B’ = {8}
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
Vandaar bewezen
Probleem 3: Vereenvoudig de Booleaanse expressie: Y = [(A + B).C]’
Oplossing:
Y = [(A + B).C]’
Toepassing van de wet van De Morgan (A. B)’ = A’ + B’
Y = (A + B)’ + C’
Toepassing van de wet van De Morgan (A + B)’ = A’. B'
Y = EEN'. B'+C'
Probleem 4: Vereenvoudig de Booleaanse expressie: X = [(A + B)’ + C]’
Oplossing:
X = [(A + B)’ + C]’
Toepassing van de wet van De Morgan (A + B)’ = A’. B'
X = [(A + B)’]’ . C'
X = (A+B). C'
Bekijk deze bronnen voor meer:
| Onderwerp voor onderlinge verbindingen | Gerelateerd aan |
|---|---|
| Booleaanse algebra | Uit Morgan's Law Booleaanse algebra |
| Stel theorie in | De wet van De Morgan in de verzamelingenleer |
| Logische poorten | Uit de wetlogica van Morgan |
| Discrete wiskunde | Uit Morgan's Law Discrete Wiskunde |
| Java-programmeervoorbeelden | Uit Morgan's Law Java |
Voorbeelden van de wet van De Morgan
| Context | Voorbeeld |
|---|---|
| Logische puzzels | Puzzel : Als het niet waar is dat het regent en koud is, wat kunnen we dan concluderen? Toepassing van de wet van De Morgan : We kunnen concluderen dat het niet regent of dat het niet koud is. Hierbij wordt de wet van De Morgan gebruikt om de ontkenning van een conjunctie in een disjunctie te vereenvoudigen. |
| Programmering | Scenario : Controleren of een getal niet positief is en zelfs niet in een programmeertaal staat. Codefragment (pseudocode) :if !(number>0 en getal % 2 == 0)>kan worden vereenvoudigd met behulp van de wet van De Morganif (number <= 0 or number % 2 != 0)>. Dit laat zien hoe de wet van De Morgan helpt bij het vereenvoudigen van voorwaardelijke uitspraken. |
| Wiskundige bewijzen | Stelling : Bewijs dat het complement van het snijpunt van twee verzamelingen A en B gelijk is aan de vereniging van hun complementen. Toepassing van de wet van De Morgan : Volgens de wet van De Morgan geldt (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. Dit laat zien hoe de wet van De Morgan wordt gebruikt om uitdrukkingen in de verzamelingenleer te vereenvoudigen. |
Uit de praktische voorbeelden van de wet van Morgan
Voorbeeld 1: Pizzatoppings
Stel je voor dat je op een pizzafeestje bent en je wordt verteld dat je alle toppings kunt kiezen, behalve champignons en olijven samen.
- Met behulp van de wet van De Morgan : Dit betekent dat als u niet zowel champignons als olijven wilt (niet (champignons en olijven)), u geen champignons (geen champignons) of geen olijven (niet olijven) op uw pizza kunt hebben. Je kunt dus een pizza eten met alleen champignons, alleen olijven, of geen van beide!
Voorbeeld 2: Bibliotheekboeken
Je leraar zegt dat je geen boeken over tovenaars of draken mee naar de klas mag nemen.
- Met behulp van de wet van De Morgan : Dit betekent dat als je geen boeken over tovenaars of draken mag meenemen (Not (Wizards or Dragons)), je geen boeken over tovenaars mag meenemen (Not Wizards) en je geen boeken over draken mag meenemen (Not Dragons). Boeken over de ruimte of dieren zijn dus nog steeds oké!
Voorbeeld 3: Buiten spelen
Je moeder zegt dat je niet buiten kunt spelen als het tegelijkertijd regent en koud is.
- Met behulp van de wet van De Morgan : Dit betekent dat als je niet naar buiten gaat omdat het regent en koud is (Niet (Regen en Koud)), je niet naar buiten gaat als het alleen maar regent (Niet Regent) of gewoon koud is (Niet Koud). Maar als het zonnig en warm is, ben je klaar om te gaan!
Voorbeeld 4: Een film kiezen
Je vriend zegt dat hij geen enge of saaie film wil zien.
- Met behulp van de wet van De Morgan : Dit betekent dat als je vriend geen enge of saaie film wil (Not (Scary or Boring)), hij of zij geen enge film wil (Not Scary) en geen saaie film (Not Boring) . Een grappige of spannende film zou dus perfect zijn!
Logische toepassingen van de wet van De Morgan
| Toepassingsgebied | Beschrijving |
|---|---|
| Logische redenering | Bij logische puzzels of argumenten helpt de wet van De Morgan complexe ontkenningen te vereenvoudigen. Als u bijvoorbeeld Alle appels zijn rood negeert naar Niet alle appels zijn rood, betekent dit dat Sommige appels niet rood zijn. |
| Computertechnologie | De wet van De Morgan is cruciaal bij het optimaliseren van voorwaardelijke uitspraken bij het programmeren. Het stelt programmeurs in staat complexe logische omstandigheden te vereenvoudigen, waardoor code efficiënter en leesbaarder wordt. |
| Ontwerp van elektronische schakelingen | In de digitale elektronica wordt de wet van De Morgan gebruikt om circuits te ontwerpen en te vereenvoudigen. Het helpt bijvoorbeeld bij het omzetten van EN-poorten in OF-poorten (en omgekeerd) met behulp van NIET-poorten, waardoor het creëren van efficiëntere circuitlay-outs wordt vergemakkelijkt. |
Uit de wet van Morgan – Veelgestelde vragen
Geef de eerste wetsverklaring van De Morgan in de verzamelingenleer weer.
De eerste wet van De Morgan in de verzamelingenleer stelt dat het complement van de vereniging van twee verzamelingen gelijk is aan het snijpunt van hun individuele complementen.
Geef de tweede wetsverklaring van De Morgan weer in de Booleaanse algebra.
De tweede wet van De Morgan in de Booleaanse algebra stelt dat het complement van AND van twee of meer variabelen gelijk is aan het OR van het complement van elke variabele.
Schrijf de formule voor de wet van De Morgan in de verzamelingenleer.
De formule voor de wet van De Morgan in de verzamelingenleer:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Schrijf de formule voor de wet van De Morgan in de Booleaanse algebra.
De formule voor de wet van De Morgan in de Booleaanse algebra:
(i) (A+B)’ = A’ . B'
(ii) (A. B)’ = A’ + B’
Schrijf enkele toepassingen van de wet van De Morgan.
Enkele toepassingen van de wet van De Morgan zijn het minimaliseren van de complexe Booleaanse uitdrukking en het simpelweg vereenvoudigen ervan.
Hoe bewijs je de wet van De Morgan?
De wet van De Morgan in de verzamelingenleer kan worden bewezen door de Venn-diagrammen en de wet van De Morgan in de Booleaanse algebra kan worden bewezen door waarheidstabellen.