Booleaanse algebra is een type algebra dat wordt gemaakt door het binaire systeem te bedienen. In het jaar 1854 stelde George Boole, een Engelse wiskundige, deze algebra voor. Dit is een variant van de propositielogica van Aristoteles die de symbolen 0 en 1, of Waar en Onwaar, gebruikt. Booleaanse algebra houdt zich bezig met binaire variabelen en logische bewerkingen.
Booleaanse algebra is van fundamenteel belang bij de ontwikkeling van digitale elektronische systemen, omdat ze allemaal het concept gebruiken Booleaanse algebra om opdrachten uit te voeren. Naast digitale elektronica vindt deze algebra ook toepassing in de verzamelingenleer, statistiek en andere takken van de wiskunde.
In dit artikel zullen we in detail leren over basis-Booleaanse bewerkingen, Booleaanse uitdrukkingen, waarheidstabellen, Booleaanse wetten en andere.
Inhoudsopgave
- Booleaanse algebrabewerkingen
- Tabel van Booleaanse Algbera
- Booleaanse expressie en variabelen
- Terminologieën van Booleaanse algebra
- Waarheidstabellen in Booleaanse algebra
- Booleaanse algebraregels
- Wetten voor Booleaanse algebra
- Booleaanse algebra-stellingen
- Opgeloste voorbeelden van Booleaanse algebra
Booleaanse algebrabewerkingen
Er zijn verschillende bewerkingen die worden gebruikt in de Booleaanse algebra, maar de basisbewerkingen die de basis vormen van de Booleaanse algebra zijn dat wel.
- Negatie of NIET-bediening
- Voegwoord of AND-bewerking
- Disjunctie of OF-operatie

Booleaanse algebra-expressie
Rekening: Basisprincipes van Booleaanse algebra in digitale elektronica
Deze bewerkingen hebben hun eigen symbolen en prioriteit en de onderstaande tabel toont het symbool en de prioriteit van deze operatoren.
Exploitant | Symbool | Voorrang onveranderlijke lijst |
---|---|---|
NIET | ‘ (of) ⇁ | Eerst |
EN | . (of) ∧ | Seconde |
OF | + (of) ∨ | Derde |
We kunnen deze bewerkingen eenvoudig definiëren met behulp van twee Booleaanse variabelen.
Laten we twee Booleaanse variabelen A en B nemen die een van de twee waarden 0 of 1 kunnen hebben, dat wil zeggen dat ze UIT of AAN kunnen zijn. Vervolgens worden deze bewerkingen uitgelegd als:
Ontkenning of NIET-operatie
De ... gebruiken NIET bewerking keert de waarde van de Booleaanse variabele om van 0 naar 1 of omgekeerd. Dit kan worden begrepen als:
- Als A = 1, dan hebben we met behulp van de NOT-bewerking (A)’ = 0
- Als A = 0, dan krijgen we met behulp van de NOT-bewerking (A)’ = 1
- We stellen de negatiebewerking ook voor als ~A, dat wil zeggen als A = 1, ~A = 0
Rekening: Eigenschappen van Booleaanse algebra
Conjunctie of AND-bewerking
De ... gebruiken EN bewerking voldoet aan de voorwaarde als zowel de waarde van de individuele variabelen waar is als als een van de waarden onwaar is, dan geeft deze bewerking het negatieve resultaat. Dit kan worden begrepen als,
- Als A = Waar, B = Waar, dan A . B = Waar
- Als A = Waar, B = Onwaar, of A = onwaar, B = Waar, dan is A . B = Onwaar
- Als A = Onwaar, B = Onwaar, dan A . B = Onwaar
Rekening: Booleaanse algebraïsche stellingen
Disjunctie (OR) operatie
De ... gebruiken OF bewerking voldoet aan de voorwaarde als een waarde van de afzonderlijke variabelen waar is, maar geeft alleen een negatief resultaat als beide waarden onwaar zijn. Dit kan worden begrepen als,
- Als A = Waar, B = Waar, dan A + B = Waar
- Als A = Waar, B = Onwaar, of A = Onwaar, B = Waar, dan is A + B = Waar
- Als A = Onwaar, B = Onwaar, dan A + B = Onwaar
Tabel van Booleaanse algebra
Hieronder vindt u de uitdrukking voor de Booleaanse algebra
Operatie | Symbool | Definitie |
---|---|---|
EN-bediening | ⋅ of ∧ | Retourneert alleen waar als beide invoerwaarden waar zijn. |
OF Operatie | + of ∨ | Retourneert waar als ten minste één invoer waar is. |
NIET Bediening | ¬ of ∼ | Keert de invoer om. |
XOR-operatie | ⊕ | Retourneert waar als precies één invoer waar is. |
NAND-bewerking | ↓ | Retourneert alleen false als beide invoerwaarden waar zijn. |
NOCH-operatie | ↑ | Retourneert false als ten minste één invoer waar is. |
XNOR-operatie | ↔ | Retourneert waar als beide invoergegevens gelijk zijn. |
Booleaanse expressie en variabelen
Booleaanse expressie is een expressie die bij evaluatie een Booleaanse waarde produceert, d.w.z. een echte waarde of een valse waarde. Terwijl Booleaanse variabelen variabelen zijn die Booleaanse getallen opslaan.
P + Q = R is een Booleaanse zin waarin P, Q en R Booleaanse variabelen zijn die slechts twee waarden kunnen opslaan: 0 en 1. De 0 en 1 zijn de synoniemen voor false en True en worden soms gebruikt in de Booleaanse algebra we gebruiken ook Ja in plaats van Waar en Nee in plaats van Onwaar.
We kunnen dus zeggen dat instructies die Booleaanse variabelen gebruiken en werken met Booleaanse bewerkingen, Booleaanse expressies zijn. Enkele voorbeelden van Booleaanse expressies zijn:
- A + B = Waar
- A.B = Waar
- (A)’ = Onwaar
Rekening: Axioma's van de Booleaanse algebra
Terminologieën van Booleaanse algebra
Er zijn verschillende terminologieën gerelateerd aan Booleaanse algebra, die worden gebruikt om verschillende parameters van te verklaren Booleaanse algebra . Dat omvat,
- Booleaanse algebra
- Booleaanse variabelen
- Booleaanse functie
- Letterlijk
- Aanvulling
- Waarheidstabel
Nu zullen we de belangrijke terminologieën van de Booleaanse algebra bespreken in het onderstaande artikel:
Booleaanse algebra
De tak van de algebra die zich bezighoudt met binaire bewerkingen of logische bewerkingen wordt Booleaanse algebra genoemd. Het werd halverwege de 19e eeuw geïntroduceerd door George Boole. Het wordt gebruikt om logische functies in binaire variabelen te analyseren en te manipuleren. Het wordt veelvuldig gebruikt op verschillende gebieden, zoals digitaal logisch ontwerp, informatica en telecommunicatie.
Booleaanse variabelen
Variabelen die in de Booleaanse algebra worden gebruikt en die de logische waarde 0 en 1 opslaan, worden de Booleaanse variabelen genoemd. Ze worden gebruikt om echte of valse waarden op te slaan. Booleaanse variabelen zijn van fundamenteel belang bij het representeren van logische toestanden of proposities in Booleaanse expressies en functies.
Booleaanse functie
Een functie van de Booleaanse algebra die wordt gevormd door het gebruik van Booleaanse variabelen en Booleaanse operatoren wordt de Booleaanse functie genoemd. Het wordt gevormd door het combineren van Booleaanse variabelen en logische expressies zoals AND, OR en NOT. Het wordt gebruikt om logische relaties, voorwaarden of bewerkingen te modelleren.
Letterlijk
Een variabele of het complement van de variabele in de Booleaanse algebra wordt de letterlijke genoemd. Letterlijke waarden zijn de basisbouwstenen van de Booleaanse expressies en functies. Ze vertegenwoordigen de operanden in logische bewerkingen.
Aanvulling
De inverse van de Booleaanse variabele wordt het complement van de variabele genoemd. Het complement van 0 is 1 en het complement van 1 is 0. Het wordt weergegeven door ‘ of (¬) boven de variabele. Complementen worden gebruikt om logische negaties in Booleaanse expressies en functies weer te geven.
Waarheidstabel
Tabel met alle mogelijke waarden van de logische variabelen en de combinatie van de variabele samen met de gegeven bewerking wordt de waarheidstabel genoemd. Het aantal rijen in de waarheidstabel hangt af van het totaal aantal Booleaanse variabelen dat in die functie wordt gebruikt. Het wordt gegeven met behulp van de formule,
Aantal rijen in waarheidstabel = 2 N
waarbij n het aantal gebruikte Booleaanse variabelen is.
Rekening:
- Stel theorie in
- Statistieken
Waarheidstabellen in Booleaanse algebra
Een waarheidstabel vertegenwoordigt alle combinaties van invoerwaarden en uitvoer in tabelvorm. Alle mogelijkheden van de invoer en uitvoer worden erin weergegeven en vandaar de naam waarheidstabel. Bij logische problemen worden waarheidstabellen vaak gebruikt om verschillende gevallen weer te geven. T of 1 staat voor ‘Waar’ en F of 0 staat voor ‘False’ in de waarheidstabel.
Voorbeeld: Teken de waarheidstabel van de voorwaarden A + B en A.B, waarbij A en b Booleaanse variabelen zijn.
Oplossing:
De vereiste waarheidstabel is,
A | B | X=A+B java if else-instructie | Y = AB |
---|---|---|---|
T | T | T | T |
T | F | T | F |
F | T | T | F |
F | F | F | F |
Booleaanse algebraregels
In de Booleaanse algebra zijn er verschillende fundamentele regels voor logische expressie.
- Binaire representatie: In Booleaanse algebra kunnen de variabelen slechts twee waarden hebben: 0 of 1, waarbij 0 laag staat en 1 hoog. Deze variabelen vertegenwoordigen de logische toestanden van het systeem.
- Complementaire vertegenwoordiging: Het complement van de variabelen wordt weergegeven door (¬) of (‘) boven de variabele. Dit duidt op een logische negatie of inversie van de waarde van de variabele. Het complement van variabele A kan dus worden weergegeven door
overline{A} Als de waarde van A=0 dan is het complement ervan 1. - OF Operatie: De OR-bewerking wordt weergegeven door (+) tussen de variabelen. De OR-bewerking retourneert waar als ten minste één van de operanden waar is. Laten we bijvoorbeeld drie variabelen A,B,C nemen. De OR-bewerking kan worden weergegeven als A+B+C.
- EN-bediening: De AND-bewerking wordt tussen de variabelen aangegeven met (.). De AND-bewerking retourneert alleen waar als alle operanden waar zijn. Laten we bijvoorbeeld drie variabelen A,B,C nemen. De AND-bewerking kan worden weergegeven als A.B.C of ABC.
Wetten voor Booleaanse algebra
De basiswetten van de Booleaanse algebra zijn toegevoegd in de onderstaande tabel,
Wet | OF formulier | EN vorm |
---|---|---|
Identiteitsrecht | P + 0 = P | P.1 = P |
Idempotente wet | P+P=P | P.P = P |
Commutatieve wet | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
Associatief recht | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
Distributief recht | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
Inversie wet | (A’)’ = A | (A’)’ = A |
Uit de wet van Morgan | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Laten we deze wetten in detail leren kennen.
Identiteitsrecht
In de Booleaanse algebra hebben we identiteitselementen voor zowel AND(.) als OR(+) bewerkingen. De identiteitswet stelt dat we in de Booleaanse algebra zulke variabelen hebben dat we bij het werken met AND en OR hetzelfde resultaat krijgen, d.w.z.
- EEN + 0 = EEN
- A.1 = EEN
Commutatieve wet
Binaire variabelen in de Booleaanse algebra volgen de commutatieve wet. Deze wet stelt dat het bedienen van de booleaanse variabelen A en B vergelijkbaar is met het bedienen van de booleaanse variabelen B en A. Dat wil zeggen:
- A.B = B.A
- EEN+B=B+A
Associatief recht
De associatieve wet stelt dat de volgorde van het uitvoeren van de Booleaanse operator onlogisch is, omdat het resultaat altijd hetzelfde is. Dit kan worden begrepen als,
- (A.B). C = EEN. (B.C)
- ( EEN + B ) + C = EEN + ( B + C)
Distributief recht
Booleaanse variabelen volgen ook de distributieve wet en de uitdrukking voor distributieve wet wordt gegeven als:
- A . ( B + C) = (A. B) + (A. C)
Inversie wet
De inversiewet is de unieke wet van de Booleaanse algebra. Deze wet stelt dat het complement van het complement van elk getal het getal zelf is.
- (A’)’ = A
Afgezien van deze andere wetten worden hieronder vermeld:
EN Wet
AND-wet van de Booleaanse algebra gebruikt AND-operator en de AND-wet is,
- A . 0 = 0
- A . 1 = EEN
- A . EEN = EEN
OF wet
OR-wet van de Booleaanse algebra gebruikt de OR-operator en de OR-wet is:
- EEN + 0 = EEN
- EEN+1=1
- EEN + EEN = EEN
De wetten van De Morgan worden ook wel genoemd Uit de stelling van Morgan . Het zijn de belangrijkste wetten in Booleaanse algebra en deze zijn hieronder toegevoegd onder de kop Stelling van Booleaanse Algebra
Booleaanse algebra-stellingen
Er zijn twee basisstellingen die van groot belang zijn in de Booleaanse algebra, namelijk de eerste wetten van De Morgan en de tweede wetten van De Morgan. Dit worden ook wel de stellingen van De Morgan genoemd. Laten we nu beide in detail leren kennen.
De eerste wetten van De Morgan
De waarheidstabel hiervoor wordt hieronder gegeven:
P | Q | (P)' | (Q)' | (P.Q)’ | (P)’ + (Q)’ |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | T | T |
F | T | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | T |
We kunnen duidelijk zien dat de waarheidswaarden voor (P.Q)’ gelijk zijn aan de waarheidswaarden voor (P)’ + (Q)’, overeenkomend met dezelfde invoer. De eerste wet van De Morgan is dus waar.
Uit de tweede wetten van Morgan
Stelling: Het complement van de som (OR) van twee Booleaanse variabelen (of expressies) is gelijk aan het product (AND) van het complement van elke Booleaanse variabele (of expressie).
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
binair zoeken in Java
Bewijs:
De waarheidstabel hiervoor wordt hieronder gegeven:
P | Q | (P)' | (Q)' | (P+Q)’ | (P)’.(Q)’ |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | F | F |
F | T | T | F | F | F |
F | F | T | T | T | T |
We kunnen duidelijk zien dat de waarheidswaarden voor (P + Q)’ gelijk zijn aan de waarheidswaarden voor (P)’.(Q)’, overeenkomend met dezelfde invoer. De tweede wet van De Morgan is dus waar.
Lees verder,
Opgeloste voorbeelden van Booleaanse algebra
Teken de waarheidstabel voor P + P.Q = P
Oplossing:
De waarheidstabel voor P + P.Q = P
P Q PQ P + PQ T T T T T F F T F T F F F F F F In de waarheidstabel kunnen we zien dat de waarheidswaarden voor P + P.Q precies hetzelfde zijn als P.
Teken de waarheidstabel voor P.Q + P + Q
Oplossing:
De waarheidstabel voor P.Q + P + Q
P Q PQ P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Oplossen
Oplossing:
Met behulp van de wet van De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Gebruik maken van distributierecht
applet
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Dus de vereenvoudigde uitdrukking voor de gegeven vergelijking
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Conclusie
Booleaanse algebra dient als een fundamenteel raamwerk voor het weergeven en manipuleren van logische expressies met behulp van binaire variabelen en logische operatoren. Het speelt een cruciale rol op verschillende gebieden, zoals digitaal logisch ontwerp, computerprogrammering en circuitanalyse. Door een systematische manier te bieden om logische relaties te beschrijven en te analyseren, maakt Booleaanse Algebra de ontwikkeling van complexe systemen en algoritmen mogelijk. De principes en werkingen ervan, waaronder AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR en XNOR, vormen de bouwstenen voor het ontwerpen van logische circuits, het schrijven van efficiënte code en het oplossen van logische problemen.
Booleaanse algebra - Veelgestelde vragen
Wat is Booleaanse algebra?
Booleaanse algebra wordt ook wel genoemd Logische algebra is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met Booleaanse variabelen zoals 0 en 1.
Wat zijn belangrijkste Booleaanse operatoren?
Er zijn drie belangrijke Booleaanse operators:
- EN (Comjunctie)
- OF (Disjunctie)
- NIET (ontkenning)
Hoe de Booleaanse functie minimaliseren?
Er zijn verschillende methoden om Booleaanse functies te minimaliseren, waaronder:
- Algebraïsche vereenvoudiging:
- Karnaugh-kaarten (K-kaarten):
- Quine-McCluskey-algoritme:
- Tabelleringsmethode:
- Don't-Care-voorwaarden:
Wat zijn toepassingen van Booleaanse algebra?
Booleaanse algebra kent verschillende toepassingen. Het wordt gebruikt om logische circuits te vereenvoudigen die de ruggengraat vormen van moderne technologie.
Wat vertegenwoordigt 0 in de Booleaanse algebra?
De 0 in Booleaanse algebra vertegenwoordigt een Onwaar-conditie of vertegenwoordigt de Uitschakel-conditie.
Wat vertegenwoordigt 1 in de Booleaanse algebra?
De 1 in Booleaanse algebra vertegenwoordigt een True-toestand of vertegenwoordigt de Inschakel-voorwaarde.
Wat zijn Booleaanse algebra-wetten?
Booleaanse algebrawetten zijn regels voor het manipuleren van logische uitdrukkingen met binaire variabelen, zorgen voor consistentie en vereenvoudiging bij bewerkingen als optellen, vermenigvuldigen en complementeren, cruciaal op gebieden als digitale elektronica en informatica.
Wat zijn de vijf wetten van de Booleaanse algebra?
Booleaanse algebra wordt beheerst door vijf primaire wetten, die als basis dienen voor het manipuleren van logische uitdrukkingen:
1. Identiteitsrecht voor AND
2. Identiteitsrecht voor OR
3. Aanvullingswet voor AND
4. Aanvullingswet voor OR
5. Idempotente wet
Wat zijn de drie wetten in de Booleaanse logica?
De drie fundamentele wetten in de Booleaanse logica zijn:
- De identiteitswet (door nul op te tellen of te vermenigvuldigen met één blijft de variabele ongewijzigd)
- De overheersingswet (een variabele toevoegen aan zijn complement resulteert in 1 en vermenigvuldigen met zijn complement resulteert in 0)
- De commutatieve wet (de volgorde van de variabelen kan bij optellen of vermenigvuldigen worden gewijzigd zonder het resultaat te veranderen).
Wat is de stelling van De Morgan?
De stelling van De Morgan stelt dat t het complement van een logische AND-bewerking is equivalent aan de OR-bewerking van de complementen van de afzonderlijke termen, en vice versa. Het is een fundamenteel principe in de Booleaanse algebra dat wordt gebruikt voor het vereenvoudigen van logische expressies en het optimaliseren van logische circuits.