Algebra is een van de basisonderwerpen van de wiskunde. Polynomen zijn een essentieel onderdeel van de algebra. De formule van Vieta wordt gebruikt in polynomen. Dit artikel gaat over de formule van Vieta die de som en het product van wortels relateert aan de coëfficiënt van de polynoom. Deze formule wordt specifiek gebruikt in de algebra.
De formule van Vieta
De formules van Vieta zijn die formules die de relatie weergeven tussen de som en het product van de wortels van het polynoom met de coëfficiënten van de polynomen. De formule van Vieta beschrijft de coëfficiënten van de polynoom in de vorm van de som en het product van zijn wortel.
De formule van Vieta
De formule van Vieta gaat over de som en het product van de wortels en de coëfficiënt van de polynoom. Het wordt gebruikt wanneer we de polynoom moeten vinden wanneer wortels worden gegeven of wanneer we de som of het product van de wortels moeten vinden.
Vieta's formule voor kwadratische vergelijking
- Als f(x) = bijl 2 + bx + c is een kwadratische vergelijking met wortels A En B Dan,
- Som van wortels = α + β = -b/a
- Product van wortels = αβ = c/a
- Als de som en het product van de wortels worden gegeven, wordt de kwadratische vergelijking gegeven door:
- X 2 – (som van wortels)x + (product van wortels) = 0
Vieta's formule voor de kubische vergelijking
- Als f(x) = bijl 3 + bx 2 +cx+d is een kwadratische vergelijking met wortels een, b En C Dan,
- Som van wortels = α + β + γ = -b/a
- Som van het product van twee wortels = αβ + αγ + βγ = c/a
- Product van wortels = αβγ = -d/a
- Als de som en het product van de wortels worden gegeven, wordt de derdegraadsvergelijking gegeven door:
- X 3 – (som van wortels)x 2 + (som van het product van twee wortels)x – (product van de wortels) = 0
Vieta's formule voor gegeneraliseerde vergelijking
Als f(x) = een N X N + een n-1 X n-1 + een n-2 X n-2 + ……… + een 2 X 2 + een 1 x+een 0 is een kwadratische vergelijking met wortels R 1 , R 2 , R 3 , …… R n-1 , R N Dan,
len van string in Java
R 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r N = -een n-1 /A N
(R 1 R 2 + r 1 R 3 +…. +r 1 R N ) + (r 2 R 3 + r 2 R 4 +……. +r 2 R N ) + ……… + r n-1 R N = een n-2 /A N
:
:
R 1 R 2 …R N = (-1) N (A 0 /A N )
Voorbeeldproblemen
Probleem 1: Als α, β de wortels zijn van de vergelijking: x 2 – 10x + 5 = 0 , zoek dan de waarde van (α 2 + b 2 )/(A 2 b + ab 2 ).
Oplossing:
Gegeven Vergelijking:
- X2– 10x + 5 = 0
Volgens Vita's formule
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Als een2+b2) = (een + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(A2+b2) = 90
Nu waarde van (α2+ b2)/(A2b + ab2)
= (een2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Probleem 2: Als α, β de wortels zijn van de vergelijking: x 2 + 7x + 2 = 0 en zoek vervolgens de waarde van 14 ÷ (1/α + 1/ β).
Oplossing:
Gegeven vergelijking:
- X2+ 7x + 2 = 0
Volgens Vita's formule
oneindige lusa + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Nu geldt (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Nu waarde van 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Probleem 3: Als α, β de wortels zijn van de vergelijking: x 2 + 10x + 2 = 0 en bepaal vervolgens de waarde van (α/β + β/α).
Oplossing:
Gegeven vergelijking:
- X2+ 10x + 2 = 0
Volgens Vita's formule
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Als een2+b2) = (een + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Nu waarde van (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
Java voor lus= 48
Probleem 4: Als α en β de wortels van de vergelijking zijn en gegeven dat α + β = -100 en αβ = -20, zoek dan de kwadratische vergelijking.
Oplossing:
Gegeven,
- Som van wortels = α + β = -100
- Product van wortels = αβ = -20
Kwadratische vergelijking wordt gegeven door:
X2– (som van wortels)x + (product van wortels) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Probleem 5: Als α, β en γ de wortels van de vergelijking zijn en gegeven dat α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 en αβ γ = -6, zoek dan de derdegraadsvergelijking.
Oplossing:
Gegeven,
- Som van wortels = α + β + γ = 10,
- Som van het product van twee wortels = αβ + αγ + βγ = -1
- Product van wortels = gem = -6
Kubieke vergelijking wordt gegeven door:
X3– (som van wortels)x2+ (som van het product van twee wortels)x – (product van de wortels) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Probleem 6: Als α, β en γ de wortels zijn van de vergelijking x 3 + 1569x 2 – 3 = 0 en zoek dan de waarde van [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b)] 3 + [(1/c) + (1/a)] 3
Oplossing:
Gegeven,
- Som van wortels = α + β + γ = -b/a = -1569/1 = -1569
- Som van het product van twee wortels = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Product van wortels = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Sinds (blz3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Laat, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Java-generator voor willekeurige getallenUit vergelijking (1):
(P3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
P3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/a)]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)
= -3/gemiddeld = -3/3
= -1
Probleem 7: Als α en β de wortels zijn van de vergelijking x 2 – 3x +2 =0 zoek dan de waarde van α 2 - B 2 .
Oplossing:
Gegeven,
- Som van wortels = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Product van wortels = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Zoals (a – b)2= (een + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Sinds,
A2- B2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
A 2 - B 2 = 3