Zodra je de kwadratische formule en de basisprincipes van kwadratische vergelijkingen onder de knie hebt, is het tijd voor het volgende niveau van je relatie met parabolen: leren over hun hoekpunt vorm .

Lees verder voor meer informatie over de vorm van de paraboolhoekpunten en hoe u een kwadratische vergelijking van standaardvorm naar hoekpuntvorm kunt converteren.

voorzien van afbeeldingskrediet: SBA73 /Flickr

Waarom is het hoekpuntformulier nuttig? Een overzicht

De hoekpunt vorm van een vergelijking is een alternatieve manier om de vergelijking van een parabool uit te schrijven.

Normaal gesproken ziet u een kwadratische vergelijking geschreven als $ax^2+bx+c$, die, wanneer deze wordt weergegeven, een parabool zal zijn. Vanuit dit formulier is het eenvoudig genoeg om de wortels van de vergelijking te vinden (waar de parabool de $x$-as raakt) door de vergelijking gelijk te stellen aan nul (of door de kwadratische formule te gebruiken).

Als u echter het hoekpunt van een parabool moet vinden, is de standaard kwadratische vorm veel minder nuttig. In plaats daarvan wil je je kwadratische vergelijking omzetten in een hoekpuntvorm.

Wat is de hoekpuntvorm?

Terwijl de standaard kwadratische vorm $ax^2+bx+c=y$ is, de hoekpuntvorm van een kwadratische vergelijking is $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

In beide vormen is $y$ de $y$-coördinaat, $x$ de $x$-coördinaat en $a$ de constante die aangeeft of de parabool naar boven ($+a$) of naar beneden wijst ($-a$). (Ik denk erover na alsof de parabool een kom appelmoes is; als er een $+a$ is, kan ik appelmoes aan de kom toevoegen; als er een $-a$ is, kan ik de appelmoes uit de kom schudden.)

Het verschil tussen de standaardvorm van een parabool en de hoekpuntvorm is dat de hoekpuntvorm van de vergelijking je ook het hoekpunt van de parabool geeft: $(h,k)$.

Kijk bijvoorbeeld eens naar deze fijne parabool, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Op basis van de grafiek lijkt het hoekpunt van de parabool ongeveer zo te zijn (-1,5,-2), maar het is moeilijk om op basis van alleen de grafiek precies te zeggen waar het hoekpunt zich bevindt. Gelukkig weten we op basis van de vergelijking $y=3(x+4/3)^2-2$ dat het hoekpunt van deze parabool $(-4/3,-2)$ is.

Waarom is het hoekpunt $(-4/3,-2)$ en niet $(4/3,-2)$ (behalve de grafiek, die zowel de $x$- als $y$-coördinaten van de hoekpunten zijn negatief)?

Herinneren: in de hoekpuntvormvergelijking wordt $h$ afgetrokken en $k$ opgeteld . Als je een negatieve $h$ of een negatieve $k$ hebt, moet je ervoor zorgen dat je de negatieve $h$ aftrekt en de negatieve $k$ optelt.

In dit geval betekent dit:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

en dus is het hoekpunt $(-4/3,-2)$.

Controleer altijd uw positieve en negatieve tekens wanneer u een parabool in de vorm van een hoekpunt schrijft , vooral als het hoekpunt geen positieve $x$- en $y$-waarden heeft (of voor jullie kwadranthoofden daarbuiten, als het niet in kwadrant I ). Dit is vergelijkbaar met de controle die u zou doen als u de kwadratische formule ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) zou oplossen en ervoor moest zorgen dat u uw positieve en negatieven rechtstreeks voor uw $a$s, $b$s en $c$s.

Hieronder staat een tabel met nog meer voorbeelden van enkele andere vergelijkingen van paraboolhoekpunten, samen met hun hoekpunten. Let vooral op het verschil in het $(x-h)^2$ deel van de vergelijking van de paraboolhoekpuntvorm wanneer de $x$-coördinaat van het hoekpunt negatief is.

Hoe u van standaard kwadratische vorm naar hoekpuntvorm kunt converteren

Als je wordt gevraagd kwadratische vergelijkingen tussen verschillende vormen om te zetten, ga je meestal van de standaardvorm ($ax^2+bx+c$) naar de hoekpuntvorm ($a(x-h)^2+k$ ).

Het proces van het omzetten van uw vergelijking van een standaard kwadratische naar een hoekpuntvorm omvat het uitvoeren van een reeks stappen die het voltooien van het vierkant worden genoemd. (Lees dit artikel voor meer informatie over het voltooien van het vierkant.)

Laten we een voorbeeld bekijken van het converteren van een vergelijking van standaardvorm naar hoekpuntvorm. We beginnen met de vergelijking $y=7x^2+42x-3/14$.

Het eerste dat u wilt doen is de constante verplaatsen, of de term zonder $x$ of $x^2$ ernaast. In dit geval is onze constante $-3/14$. (We weten dat het zo is negatief $3/14$ omdat de standaard kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c$ is, en niet $ax^2+bx-c$.)

Eerst nemen we die $-3/14$ en verplaatsen we deze naar de linkerkant van de vergelijking:

$y+3/14=7x^2+42x$

De volgende stap is om de 7 (de waarde $a$ in de vergelijking) vanaf de rechterkant eruit te halen, als volgt:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Geweldig! Deze vergelijking lijkt veel meer op de vorm van een hoekpunt, $y=a(x-h)^2+k$.

Op dit punt denk je misschien: 'Het enige wat ik nu hoef te doen is de $3/14$ terug naar de rechterkant van de vergelijking te verplaatsen, toch?' Helaas, niet zo snel.

Als je een deel van de vergelijking tussen de haakjes bekijkt, zul je een probleem opmerken: deze heeft niet de vorm van $(x-h)^2$. Er zijn te veel $x$'s! We zijn dus nog niet helemaal klaar.

Wat we nu moeten doen is het moeilijkste deel: het vierkant voltooien.

Laten we het $x^2+6x$ deel van de vergelijking eens nader bekijken. Om $(x^2+6x)$ te ontbinden in iets dat lijkt op $(x-h)^2$, moeten we een constante toevoegen aan de binnenkant van de haakjes - en we moeten onthouden om die constante ook aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen (aangezien de vergelijking in evenwicht moet blijven).

Om dit in te stellen (en ervoor te zorgen dat we niet vergeten de constante aan de andere kant van de vergelijking toe te voegen), gaan we een lege ruimte creëren waar de constante aan weerszijden van de vergelijking komt:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Merk op dat we aan de linkerkant van de vergelijking ervoor hebben gezorgd dat we onze $a$-waarde, 7, hebben opgenomen vóór de ruimte waar onze constante zal komen; dit komt omdat we niet alleen de constante aan de rechterkant van de vergelijking optellen, maar we de constante vermenigvuldigen met wat er buiten de haakjes staat. (Als uw $a$-waarde 1 is, hoeft u zich hier geen zorgen over te maken.)

De volgende stap is het voltooien van het vierkant. In dit geval is het vierkant dat je invult de vergelijking tussen de haakjes. Door een constante toe te voegen, verander je deze in een vergelijking die als vierkant kan worden geschreven.

Om die nieuwe constante te berekenen, neem je de waarde naast $x$ (in dit geval 6), deel je deze door 2 en kwadraat je deze.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. De constante is 9.

De reden dat we de 6 halveren en het kwadrateren is omdat we weten dat in een vergelijking in de vorm $(x+p)(x+p)$ (wat we proberen te bereiken), $px+px= 6x$, dus $p=6/2$; om de constante $p^2$ te krijgen, moeten we dus $6/2$ (onze $p$) nemen en het kwadrateren.

Vervang nu de lege ruimte aan weerszijden van onze vergelijking door de constante 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Factoreer vervolgens de vergelijking tussen de haakjes. Omdat we het kwadraat hebben voltooid, kun je het factoriseren als $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Laatste stap: verplaats de niet-$y$-waarde van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gefeliciteerd! U hebt uw vergelijking met succes omgezet van de standaard kwadratische vorm naar de hoekpuntvorm.

Bij de meeste problemen wordt u niet alleen gevraagd uw vergelijkingen om te zetten van de standaardvorm naar de hoekpuntvorm; ze willen dat je daadwerkelijk de coördinaten van het hoekpunt van de parabool geeft.

Om te voorkomen dat we worden misleid door tekenwijzigingen, schrijven we de algemene vergelijking van de hoekpuntvorm direct boven de vergelijking van de hoekpuntvorm die we zojuist hebben berekend:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

En dan kunnen we gemakkelijk $h$ en $k$ vinden:

$-h=3$

$u=-3$

$+k=-{885/14}$

Het hoekpunt van deze parabool bevindt zich op coördinaten $(-3,-{885/14})$.

Oef, dat was een hoop geschuifel met cijfers! Gelukkig is het omzetten van vergelijkingen in de andere richting (van hoekpunt naar standaardvorm) een stuk eenvoudiger.

Hoe u van Vertex-formulier naar standaardformulier kunt converteren

Het omzetten van vergelijkingen van hun hoekpuntvorm naar de reguliere kwadratische vorm is een veel eenvoudiger proces: het enige dat u hoeft te doen is de hoekpuntvorm vermenigvuldigen.

Laten we onze voorbeeldvergelijking van eerder nemen, $y=3(x+4/3)^2-2$. Om dit in een standaardvorm om te zetten, breiden we gewoon de rechterkant van de vergelijking uit:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Je hebt $y=3(x+4/3)^2-2$ met succes geconverteerd naar de vorm $ax^2+bx+c$.

Oefening paraboolhoekpuntvorm: voorbeeldvragen

Om deze verkenning van de hoekpuntvorm af te ronden, hebben we vier voorbeeldproblemen en verklaringen. Kijk of je de problemen zelf kunt oplossen voordat je de uitleg doorleest!

#1: Wat is de hoekpuntvorm van de kwadratische vergelijking $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Converteer de vergelijking $7y=91x^2-112$ naar de vorm van een hoekpunt. Wat is het toppunt?

#3: Gegeven de vergelijking $y=2(x-3/2)^2-9$, wat zijn dan de $x$-coördinaten van waar deze vergelijking de $x$-as snijdt?

#4: Zoek het hoekpunt van de parabool $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabool Vertex-vormoefening: oplossingen

#1: Wat is de hoekpuntvorm van de kwadratische vergelijking ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Begin met het scheiden van de niet-$x$ variabele naar de andere kant van de vergelijking:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Omdat onze $a$ (zoals in $ax^2+bx+c$) in de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan 1, hoeven we deze hier niet uit de rechterkant te halen (hoewel je, als je wilt, kunt schrijven $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Deel vervolgens de $x$-coëfficiënt (2,6) door 2 en kwadrateer deze, en tel vervolgens het resulterende getal op aan beide zijden van de vergelijking:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Factor de rechterkant van de vergelijking tussen haakjes:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Combineer ten slotte de constanten aan de linkerkant van de vergelijking en verplaats ze vervolgens naar de rechterkant.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Ons antwoord is $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Converteer de vergelijking $7i y=91i x^2-112$ naar de vorm van een hoekpunt. Wat is het toppunt?

Wanneer je een vergelijking omzet in een hoekpuntvorm, wil je dat de $y$ een coëfficiënt van 1 heeft, dus het eerste wat we gaan doen is beide zijden van deze vergelijking delen door 7:

$7j= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Breng vervolgens de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$y+16=13x^2$

Bereken de coëfficiënt van het getal $x^2$ (de $a$) aan de rechterkant van de vergelijking

$y+16=13(x^2)$

Normaal gesproken zou je het vierkant aan de rechterkant van de vergelijking binnen de haakjes moeten invullen. $x^2$ is echter al een vierkant, dus u hoeft niets anders te doen dan de constante van de linkerkant van de vergelijking terug naar de rechterkant te verplaatsen:

$y=13(x^2)-16$.

Nu om het hoekpunt te vinden:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, dus $h=0$

$+k=-16$, dus $k=-16$

Het hoekpunt van de parabool bevindt zich op $(0, -16)$.

#3: Gegeven de vergelijking $i y=2(i x-3/2)^2-9$, wat is (zijn) de $i x$-coördinaat(en) van waar deze vergelijking snijdt met de $i x$-as?

Omdat de vraag u vraagt ​​om de $x$-snijpunten van de vergelijking te vinden, is de eerste stap het instellen van $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Vanaf hier zijn er een aantal manieren om verder te gaan. De stiekeme manier is om het feit dat er al een vierkant in de hoekpuntvormvergelijking is geschreven in ons voordeel te gebruiken.

Eerst verplaatsen we de constante naar de linkerkant van de vergelijking:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Vervolgens delen we beide zijden van de vergelijking door 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nu het stiekeme gedeelte. Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±