Vectorprojectie is de schaduw van een vector over een andere vector. De projectievector wordt verkregen door de vector te vermenigvuldigen met de Cos van de hoek tussen de twee vectoren. Een vector heeft zowel grootte als richting. Van twee vectoren wordt gezegd dat ze gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben. Vectorprojectie is essentieel bij het oplossen van numerieke problemen in de natuurkunde en wiskunde.

In dit artikel zullen we in detail leren wat vectorprojectie is, het voorbeeld van de vectorprojectieformule, de vectorprojectieformule, de vectorprojectieformule-afleiding, vectorprojectieformule lineaire algebra, vectorprojectieformule 3d en enkele andere gerelateerde concepten.

Inhoudsopgave

• Wat is vectorprojectie?
• Vectorprojectieformule
• Afleiding van vectorprojectieformules
• Voorbeelden van vectorprojectieformules
• Praktische toepassingen en betekenis van vectorprojectie
• Real-World probleemoplossende voorbeelden van vectorprojectie

Wat is vectorprojectie?

Vectorprojectie is een methode om een ​​vector te roteren en deze op een tweede vector te plaatsen. Daarom wordt een vector verkregen wanneer een vector wordt opgelost in twee componenten, evenwijdig en loodrecht. De parallelle vector wordt de projectievector genoemd. De vectorprojectie is dus de lengte van de schaduw van een vector over een andere vector.

De vectorprojectie van een vector wordt verkregen door de vector te vermenigvuldigen met de Cos van de hoek tussen de twee vectoren. Laten we zeggen dat we twee vectoren ‘a’ en ‘b’ hebben en we moeten de projectie van de vector a op vector b vinden, dan zullen we de vector ‘a’ vermenigvuldigen met cosθ, waarbij θ de hoek is tussen vector a en vector b.

Vectorprojectieformule

Alsvec Awordt weergegeven als A envec Bwordt weergegeven als B, de vectorprojectie van A op B wordt gegeven als het product van A met Cos θ waarbij θ de hoek is tussen A en B. De andere formule voor vectorprojectie van A op B wordt gegeven als het product van A en B gedeeld door de grootte van B. De verkregen projectievector is een scalair veelvoud van A en heeft een richting in de richting van B.

Afleiding van vectorprojectieformules

De afleiding van de vectorprojectieformule wordt hieronder besproken:

Laten we aannemen dat OP =vec Aen OQ =vec Ben de hoek tussen OP en OQ is θ. PN loodrecht op OQ getekend.

In de rechthoekige driehoek OPN is Cos θ = AAN/OP

⇒ AAN = AAN Cos θ

⇒ AAN = |vec A| Omdat θ

AAN is de projectievector vanvec Aopvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

JavaScript-reeks met meerdere regels

⇒ AAN =frac{vec A.vec B}

Daarom is de AAN =|vec A|.hat B

Dus de vectorprojectie vanvec Aopvec Bwordt gegeven alsfrac{vec A.vec B}

de vectorprojectie vanvec Bopvec Awordt gegeven alsfrac{vec A.vec B}

Controleer ook: Soorten vectoren

Vectorprojectie Belangrijke termen

Om de vectorprojectie te vinden, moeten we leren de hoek tussen twee vectoren te vinden en ook het puntproduct tussen twee vectoren te berekenen.

Hoek tussen twee vectoren

De hoek tussen de twee vectoren wordt gegeven als het omgekeerde van de cosinus van het puntproduct van twee vectoren gedeeld door het product van de grootte van twee vectoren.

Laten we zeggen dat we twee vectoren hebbenvec AEnvec Bde hoek daartussen is θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Puntproduct van twee vectoren

Laten we zeggen dat we twee vectoren hebbenvec AEnvec Bgedefinieerd alsvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kEnvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k dan wordt het puntproduct ertussen gegeven als

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= een₁B₁+ een₂B₂+een₃B₃

grijze code

Gerelateerd artikel:

• Vectortoevoeging
• Eenheid Vector
• Vectoralgebra
• Lineaire algebra

Voorbeelden van vectorprojectieformules

Voorbeeld 1. Zoek de projectie van de vector 4hat i + 2hat j + hat k op 5hat i -3hat j + 3hat k .

Oplossing:

Hier,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

We weten dat projectie van vector a op vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Voorbeeld 2. Zoek de projectie van de vector 5hat i + 4hat j + hat k op 3hat i + 5hat j – 2hat k

Oplossing:

Hier,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

We weten dat projectie van vector a op vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Voorbeeld 3. Zoek de projectie van de vector 5hat i – 4hat j + hat k op 3hat i – 2hat j + 4hat k

Oplossing:

Hier,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

We weten dat projectie van vector a op vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

np.argmax

Voorbeeld 4. Zoek de projectie van de vector 2hat i – 6hat j + hat k op 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Oplossing:

Hier,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

We weten dat projectie van vector a op vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Voorbeeld 5. Zoek de projectie van de vector 2hat i – hat j + 5hat k op 4hat i – hat j + hat k .

Oplossing:

Hier,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

We weten dat projectie van vector a op vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

vind geblokkeerde nummers op Android

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Rekening: Vectoroperaties

Praktische toepassingen en betekenis van vectorprojectie

Natuurkunde

• Forceer ontbinding : In de natuurkunde is de vectorprojectieformule cruciaal voor het ontbinden van krachten in componenten evenwijdig aan en loodrecht op oppervlakken. Om bijvoorbeeld de kracht te begrijpen die wordt uitgeoefend door een touw tijdens een spelletje touwtrekken, moet de krachtvector op de richting van het touw worden geprojecteerd.

• Werkberekening : De arbeid die door een kracht tijdens verplaatsing wordt verricht, wordt berekend met behulp van vectorprojectie. Het werk is het puntproduct van de krachtvector en de verplaatsingsvector, waarbij in wezen de ene vector op de andere wordt geprojecteerd om de krachtcomponent in de verplaatsingsrichting te vinden.

Engineering

• Structurele analyse : Ingenieurs gebruiken vectorprojectie om spanningen op componenten te analyseren. Door krachtvectoren op structurele assen te projecteren, kunnen ze de spanningscomponenten in verschillende richtingen bepalen, wat helpt bij het ontwerpen van veiligere en efficiëntere constructies.

• Vloeiende Dynamica : In de vloeistofdynamica helpt vectorprojectie bij het analyseren van de vloeistofstroom rond objecten. Door snelheidsvectoren van vloeistoffen op oppervlakken te projecteren, kunnen ingenieurs stromingspatronen en krachten bestuderen, die cruciaal zijn voor aerodynamisch ontwerp en waterbouwkunde.

Computer beelden

• Rendertechnieken : Vectorprojectie is van fundamenteel belang in computergraphics voor het weergeven van schaduwen en reflecties. Door lichtvectoren op oppervlakken te projecteren, berekent grafische software de hoeken en intensiteiten van schaduwen en reflecties, waardoor het realisme in 3D-modellen wordt vergroot.

• Animatie en gameontwikkeling : Bij animatie wordt vectorprojectie gebruikt om bewegingen en interacties te simuleren. Om bijvoorbeeld te bepalen hoe een personage over oneffen terrein beweegt, worden bewegingsvectoren op het terreinoppervlak geprojecteerd, waardoor realistische animaties mogelijk zijn.

Rekening: Basisvectoren in lineaire algebra

Real-World probleemoplossende voorbeelden van vectorprojectie

Voorbeeld 1: GPS-navigatie

• Context : In GPS-navigatiesystemen wordt vectorprojectie gebruikt om het kortste pad tussen twee punten op het aardoppervlak te berekenen.
• Sollicitatie : Door de verplaatsingsvector tussen twee geografische locaties op de aardoppervlakvector te projecteren, kunnen GPS-algoritmen nauwkeurig afstanden en richtingen berekenen, waardoor reisroutes worden geoptimaliseerd.

Voorbeeld 2: Sportanalyse

• Context : Bij sportanalyses, vooral bij voetbal of basketbal, helpt vectorprojectie bij het analyseren van spelersbewegingen en balbanen.
• Sollicitatie : Door de bewegingsvectoren van spelers op het speelveld of de baan te projecteren, kunnen analisten patronen, snelheden en efficiëntie van bewegingen bestuderen, wat bijdraagt ​​aan strategische planning en prestatieverbetering.

Voorbeeld 3: Hernieuwbare energietechniek

• Context : Bij het ontwerp van windturbines is het begrijpen van de windkrachtcomponenten essentieel voor het optimaliseren van de energieproductie.
• Sollicitatie : Ingenieurs projecteren windsnelheidsvectoren op het vlak van de turbinebladen. Deze analyse helpt bij het bepalen van de optimale hoek en oriëntatie van de bladen om de opvang van windenergie te maximaliseren.

Voorbeeld 4: Augmented Reality (AR)

• Context : In augmented reality-toepassingen wordt vectorprojectie gebruikt om virtuele objecten nauwkeurig in ruimtes in de echte wereld te plaatsen.
• Sollicitatie : Door vectoren van virtuele objecten te projecteren op echte vlakken die zijn vastgelegd door AR-apparaten, kunnen ontwikkelaars ervoor zorgen dat virtuele objecten realistisch interacteren met de omgeving, waardoor de gebruikerservaring wordt verbeterd.

Rekening: Componenten van Vector

Veelgestelde vragen over vectorprojectie

Definieer projectievector.

Projectievector is de schaduw van een vector op een andere vector.

Wat is de vectorprojectieformule?

De formule voor projectie van vector wordt gegeven alsfrac{vec A.vec B}

Hoe projectievector te vinden?

De projectievector wordt gevonden door het puntproduct van de twee vectoren te berekenen, gedeeld door de waarop de schaduw wordt geworpen.

Wat zijn de concepten die nodig zijn om de projectievector te berekenen?

We moeten de hoek tussen twee vectoren en het puntproduct van twee vectoren kennen om de vectorprojectie te berekenen.

Waar wordt projectievector gebruikt?

Projection Vector wordt gebruikt om verschillende numerieke natuurkundige berekeningen op te lossen waarbij de vectorhoeveelheid in zijn componenten moet worden opgesplitst.

Wat is de betekenis van vectorprojectie in de natuurkunde?

In de natuurkunde is vectorprojectie cruciaal voor het ontbinden van krachten, het berekenen van de arbeid die door een kracht in een specifieke richting wordt gedaan en het analyseren van beweging. Het helpt bij het begrijpen hoe verschillende componenten van een vector bijdragen aan effecten in verschillende richtingen.

Kan vectorprojectie negatief zijn?

Ja, de scalaire component van een vectorprojectie kan negatief zijn als de hoek tussen de twee vectoren groter is dan 90 graden, wat aangeeft dat de projectie in de tegenovergestelde richting van de basisvector gaat.

Hoe wordt vectorprojectie gebruikt in de techniek?

Ingenieurs gebruiken vectorprojectie om structurele spanningen te analyseren, ontwerpen te optimaliseren door krachten op te splitsen in beheersbare componenten, en in de vloeistofdynamica om stromingspatronen tegen oppervlakken te bestuderen.

Wat is het verschil tussen scalaire en vectorprojectie?

Scalaire projectie geeft de grootte van de ene vector in de richting van een andere vector en kan positief of negatief zijn. Vectorprojectie houdt daarentegen niet alleen rekening met de grootte, maar geeft ook de richting van de projectie als vector aan.

Wat zijn real-world toepassingen van vectorprojectie?

Vectorprojectie heeft toepassingen in GPS-navigatie, sportanalyses, computergraphics voor het weergeven van schaduwen en reflecties, en in augmented reality voor het plaatsen van virtuele objecten in ruimtes in de echte wereld.