Uniforme verdeling is de waarschijnlijkheidsverdeling die even waarschijnlijke uitkomsten vertegenwoordigt, dat wil zeggen dat de kans dat elke uitkomst optreedt hetzelfde is. Er zijn twee soorten uniforme distributie: discrete uniforme distributie en continue uniforme distributie (het meest voorkomende type in elementaire statistieken). Het definieert de dichtheidsfunctie van de willekeurige variabele, het gemiddelde en de variantie.

In dit artikel zullen we leren over uniforme verdeling, soorten uniforme verdeling en formules voor uniforme verdeling, samen met enkele opgeloste voorbeelden die daarop zijn gebaseerd.

Inhoudsopgave

• Uniforme verdeling
• Uniforme distributieformule
• Soorten uniforme distributie
• Continue uniforme verdelingen of rechthoekige verdelingen
• Discrete uniforme distributie

Uniforme verdeling

Een uniforme verdeling is een verdeling met een constante waarschijnlijkheid vanwege even waarschijnlijke gebeurtenissen. Het wordt ook wel rechthoekige verdeling genoemd (continue uniforme verdeling). Het heeft twee parameters a en b: a = minimum en b = maximum. De verdeling wordt geschreven als U (a, b).

Uniforme distributiedefinitie

Een uniforme verdeling is een soort kansverdeling waarbij elke mogelijke uitkomst een gelijke kans heeft om te voorkomen. Dit betekent dat alle waarden binnen een bepaald bereik even waarschijnlijk worden waargenomen.

Grafiek van uniforme verdeling

De hoogte van de rechthoek berekenen:

De maximale waarschijnlijkheid van de variabele X is 1, dus de totale oppervlakte van de rechthoek moet 1 zijn.

Oppervlakte van de rechthoek = basis × hoogte = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = hoogte van de rechthoek

Cumulatieve verdelingsfunctiegrafiek

Opmerking: Discrete uniforme verdeling: Px = 1/n. Waar, P_X= Waarschijnlijkheid van een discrete variabele, n = Aantal waarden in het bereik

Uniforme distributieformule

Van een willekeurige variabele X wordt gezegd dat deze uniform verdeeld is over het interval -∞

math.random java

en F(x) = 0 voor x b.

Functies genereren

Het genereren van functies biedt een manier om reeksen getallen als machtreeksen weer te geven. In de waarschijnlijkheidstheorie worden genererende functies vaak gebruikt om reeksen willekeurige variabelen te manipuleren. Ze kunnen berekeningen vereenvoudigen en belangrijke eigenschappen van willekeurige variabelen en verdelingen helpen afleiden.

Standaard uniforme distributie

De standaard uniforme verdeling is een speciaal geval van de continue uniforme verdeling waarbij het interval [0, 1] is. Het wordt veel gebruikt in simulaties, het genereren van willekeurige getallen en verschillende statistische toepassingen.

Eigenschappen van continue uniforme verdelingen

• Gelijke waarschijnlijkheidsdichtheid binnen het interval.
• De cumulatieve verdelingsfunctie neemt lineair toe binnen het interval.
• Het gemiddelde van een continue uniforme verdeling is het middelpunt van het interval.
• De variantie van een continue uniforme verdeling is [(b – a)²] / 12.

Toepassingen van continue uniforme verdelingen

• Modellering van onzekerheid op verschillende gebieden, zoals techniek, financiën en natuurkunde.
• Generatie van willekeurige getallen voor simulaties en games.
• Gebruikt bij statistische kwaliteitscontrole om uniformiteit in productieprocessen te modelleren.
• In cryptografie voor het genereren van sleutels en het creëren van willekeurige permutaties.
• Als basisverdeling voor vergelijking met andere verdelingen in statistische analyses.

Discrete uniforme distributie

Discrete uniforme distributie is a waarschijnlijkheid verdeling die de waarschijnlijkheid van uitkomsten beschrijft wanneer elke uitkomst in een eindige verzameling even waarschijnlijk is. Het wordt gekenmerkt door een constante waarschijnlijkheidsmassafunctie (PMF) over een eindig bereik van waarden.

De discrete uniforme verdeling dient als een fundamenteel model in de waarschijnlijkheidstheorie en statistiek en biedt een eenvoudige maar effectieve manier om onzekerheid te beschrijven in situaties waarin de uitkomsten even waarschijnlijk zijn. De eigenschappen en toepassingen ervan strekken zich uit over verschillende disciplines, waardoor het een veelzijdig hulpmiddel is bij data-analyse en besluitvormingsprocessen.

Schatting van het maximum

In statistieken verwijst de schatting van het maximum naar methoden die worden gebruikt om de grootste waarde of de maximale waarneming in een dataset te schatten. Technieken zoals orderstatistieken en schatting van de maximale waarschijnlijkheid worden voor dit doel vaak gebruikt.

Willekeurige permutatie

Een willekeurige permutatie is een willekeurige rangschikking van een reeks items of elementen. Het wordt vaak gebruikt op verschillende gebieden, zoals cryptografie, statistiek en informatica. Het genereren van willekeurige permutaties is essentieel in algoritmen, simulaties en experimentele ontwerpen.

Eigenschappen van discrete uniforme distributie

• Elke uitkomst in de steekproefruimte heeft een gelijke waarschijnlijkheid van voorkomen.
• De waarschijnlijkheidsmassafunctie (PMF) is constant over het bereik van mogelijke uitkomsten.
• Het gemiddelde van een discrete uniforme verdeling is het gemiddelde van de minimum- en maximumwaarden.
• De variantie van een discrete uniforme verdeling is [(n^2 – 1) / 12], waarbij n het aantal mogelijke uitkomsten is.

Toepassingen van discrete uniforme distributie

• Eerlijke dobbelstenen gooien of eerlijke munten opgooien, waarbij elke uitkomst een gelijke waarschijnlijkheid heeft.
• Het modelleren van scenario's waarbij er geen voorkeur of vooringenomenheid is ten aanzien van een bepaalde uitkomst.
• Steekproeven nemen zonder vervanging, zoals het trekken van willekeurige steekproeven uit een eindige populatie.
• Het genereren van willekeurige getallen voor simulaties, Monte Carlo-methoden en gerandomiseerde algoritmen.
• Het creëren van willekeurige permutaties voor het schudden van kaartspellen, het ontwerpen van experimenten en cryptografische toepassingen.

Lees verder,

• Poisson-distributie
• Binomiale verdeling
• Normale verdeling

Voorbeeldvragen

Vraag 1: Een willekeurige variabele X heeft een uniforme verdeling over(-2, 2),

(i) vind k waarvoor P(X>k) = 1/2 (ii) Evalueer P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Oplossing:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Door op te lossen krijgen we k = 0

converteer int naar dubbele Java

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X-1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Vraag 2: Als X uniform verdeeld is in (-1, 4), dan

(i) het gemiddelde is ______________.

(ii) de variantie is ______________.

(iii) de standaardafwijking is ___________.

(iv) de mediaan is ______________.

Oplossing:

Hier geldt a = -1 en b = 4

(i) Gemiddelde (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Variantie(σ²) = (4+1)²/12 = 2,08

(iii) Standaardafwijking(σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Mediaan = (4-1)/2 = 1,5

Vraag 3: Als er 52 kaarten in het traditionele kaartspel zitten met vier kleuren: harten, schoppen, klaveren en ruiten. Elke suite bevat 13 kaarten, waarvan 3 kaarten plaatjeskaarten zijn. Het nieuwe kaartspel wordt gevormd door het aantal kaarten uit te sluiten. Wat is dan de kans dat je een hartenkaart uit de aangepaste stapel krijgt?

Oplossing:

In de vraag is het gegeven aantal kaarten eindig, dus het is een discrete uniforme verdeling.

De formule voor de waarschijnlijkheid in een discrete uniforme verdeling is P(X) = 1/n

Kans op hart in het aangepaste kaartspel = 1/4 = 0,25

Vraag 4: Gebruik de uniforme verdelingskansdichtheidsfunctie voor willekeurige variabele X, in (0, 20), zoek P(3