In dit artikel gaan we het symmetrische verschil tussen twee sets bespreken. Hier zullen we ook de eigenschappen van symmetrisch verschil tussen twee sets bespreken.
Ik hoop dat dit artikel je zal helpen om het symmetrische verschil tussen twee sets te begrijpen.
Wat is een symmetrisch verschil?
Een andere variant van verschil is het symmetrische verschil. Stel dat er twee sets zijn, A en B. Het symmetrische verschil tussen beide sets A en B is de set die de elementen bevat die in beide sets aanwezig zijn, behalve de gemeenschappelijke elementen.
Het symmetrische verschil tussen twee sets wordt ook wel as genoemd disjunctieve unie . Symmetrisch verschil tussen twee sets is een set elementen die zich in beide sets bevinden, maar niet op hun snijpunt. Het symmetrische verschil tussen twee sets A en B wordt weergegeven door A D B of A ? B .
We kunnen het begrijpen via voorbeelden.
Voorbeeld 1 Stel dat er twee sets zijn met enkele elementen.
Stel A = {1, 2, 3, 4, 5}
Set B = {3, 5}
Het symmetrische verschil tussen de gegeven sets A en B is dus {1, 2, 4}
Of we kunnen dat zeggen EENΔB = {1, 2, 4} .
Voorbeeld2 Stel dat er twee sets zijn met enkele elementen.
Stel A = {a, b, c, k, m, n}
Stel B = {c, n}
Het symmetrische verschil tussen de gegeven verzamelingen A en B is dus {a, b, k, m}
Of we kunnen dat zeggen EEN Δ B = {a, b, k, m} .
In het onderstaande Venn-diagram ziet u het symmetrische verschil tussen de twee sets.
Het deel dat in het bovenstaande Venn-diagram met de huidskleur is gearceerd, is het symmetrische verschil tussen de gegeven sets, dat wil zeggen: A D B .
Laten we enkele eigenschappen van symmetrisch verschil tussen twee sets bekijken.
Eigenschappen
Er zijn enkele eigenschappen van symmetrisch verschil die als volgt worden vermeld;
- Het symmetrische verschil kan worden weergegeven als de vereniging van beide relatieve complementen, dat wil zeggen:
EEN Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Het symmetrische verschil tussen twee sets kan ook worden uitgedrukt als de vereniging van twee sets minus het snijpunt daartussen -
EEN Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Het symmetrische verschil is zowel commutatief als associatief -
EEN Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = EEN Δ (B Δ C) - De lege set is neutraal (in de wiskunde wordt van een neutraal element gezegd dat het een speciaal type element is dat, wanneer het wordt gecombineerd met een element op de set om een binaire bewerking uit te voeren, het element ongewijzigd laat. Het staat ook bekend als de Identiteitselement ).
EEN Δ ∅ = A
EEN Δ EEN = ∅ - Als set A gelijk is aan set B, dan is het symmetrische verschil tussen beide sets -
EEN Δ B = ∅ {wanneer A = B}
'Symmetrisch verschil tussen twee sets' versus 'Verschil tussen twee sets'
Verschil tussen twee sets
Het verschil tussen twee verzamelingen A en B is een verzameling van al die elementen die tot A behoren maar niet tot B en wordt aangegeven met A - B .
Voorbeeld: Laat A = {1, 2, 3, 4}
en B = {3, 4, 5, 6}
dan A - B = {3, 4} en B - A = {5, 6}
Symmetrisch verschil tussen twee sets
Het symmetrische verschil tussen twee sets, A en B, is de set die alle elementen bevat die in A of B voorkomen, maar niet in beide. Het wordt vertegenwoordigd door A D B of A ? B .
Voorbeeld: Laat A = {1, 2, 3, 4}
en B = {3, 4, 5, 6}
dan A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Laten we nu enkele voorbeelden bekijken om het symmetrische verschil tussen twee sets duidelijker te begrijpen.
Vraag 1 - Stel dat je de sets A = {10, 15, 17, 19, 20} en B = {15, 16, 18} hebt. Ontdek het verschil tussen beide sets A en B en ontdek ook het symmetrische verschil daartussen.
Oplossing - Gegeven,
fibonacci-code java
EEN = {10, 15, 17, 19, 20}
en B = {15, 16, 18}
Het verschil tussen beide sets is -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symmetrisch verschil tussen beide sets is -
EENΔB = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Vraag 2 - Stel dat je de sets A = {2, 4, 6, 8} en B = {2, 5, 7, 8} hebt. Ontdek het symmetrische verschil B Δ A. Teken ook het Venn-diagram om het symmetrische verschil tussen beide gegeven sets weer te geven.
Oplossing - Gegeven, A = {2, 4, 6, 8} en B = {2, 5, 7, 8}
We weten dat B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Laten we proberen de vraag stap voor stap op te lossen. De eerste stap is dus het vinden van de vereniging van verzameling A en verzameling B.
Daarom (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Daarna moeten we het snijpunt tussen beide sets berekenen.
(B ∩ EEN) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Nu moeten we het verschil vinden tussen de vereniging en het snijpunt van verzamelingen A en B, zoals vermeld in de formule:
Dus (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Daarom B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Welke gelijk zal zijn aan de A Δ B, zoals hierboven vermeld: 'Symmetrisch verschil is commutatief'. Nu zullen we het symmetrische verschil tussen beide sets laten zien via het Venn-diagram.
In het Venn-diagram tekenen we eerst twee cirkels die verzamelingen A en B vertegenwoordigen. Zoals hierboven berekend is het snijpunt tussen beide verzamelingen {2, 8}, dus hebben we deze elementen in het kruisende gebied vermeld. Vervolgens vermelden we de resterende elementen in hun respectievelijke setcirkels, d.w.z. {4, 6} in set A en {5, 7} in set B. Na het rangschikken van de elementen zal het Venn-diagram zijn:
Als we naar het bovenstaande Venn-diagram kijken, is er een universele set U. Beide sets A en B zijn de subset van de universele set U. Elementen {2, 8} zijn de elkaar snijdende elementen, dus ze worden weergegeven in het kruisende gebied. Het gebied met een lichtoranje kleur is de vereniging van sets, behalve het kruisende gebied. Dit gebied is het symmetrische verschil tussen beide sets A en B, en wordt weergegeven als -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Vraag 3 - Stel dat je de sets A = {5, 6, 8, 9, 10} en B = {2, 4, 7, 10, 19} hebt.
Bewijs dat het symmetrische verschil commutatief is met behulp van de gegeven verzamelingen.
Oplossing - Gegeven, A = {5, 6, 8, 9, 10} en B = {2, 7, 8, 9, 10}
Bewijzen: EEN Δ B = B Δ A
Neem LHS,
EEN Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Dus A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Neem nu RHS
B Δ EEN = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ EEN) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Dus B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Daarom is A Δ B = B Δ A
Het symmetrische verschil is dus commutatief.