In de wiskunde is de sommatie de basisoptelling van een reeks getallen, genaamd addends of summands; het resultaat is hun som of totaal. In de wiskunde kunnen getallen, functies, vectoren, matrices, polynomen en, in het algemeen, elementen van elk wiskundig object worden geassocieerd met een bewerking die optelling/sommatie wordt genoemd en die wordt aangeduid als +.

De sommatie van een expliciete reeks wordt aangeduid als een opeenvolging van optellingen. De sommatie van (1, 3, 4, 7) kan bijvoorbeeld worden aangeduid als 1 + 3 + 4 + 7, en het resultaat voor de bovenstaande notatie is 15, dat wil zeggen 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Omdat de optelbewerking is zowel associatief als commutatief, er zijn geen haakjes nodig bij het opsommen van de reeks/reeks, en het resultaat zal hetzelfde zijn, ongeacht de volgorde van de sommaties.

Inhoudsopgave

• Wat is sommatieformule?
• Waar moet ik de sommatieformule gebruiken?
• Eigenschappen van sommatie
• Standaard sommatieformules
• Voorbeeld van sommatieformule
• Veelgestelde vragen over de sommatieformule

Wat is sommatieformule?

Sommatie of sigma (∑) notatie is een methode die wordt gebruikt om een ​​lange som op een beknopte manier uit te schrijven. Deze notatie kan aan elke formule of functie worden gekoppeld.

Bijvoorbeeld, _ik=1 ∑ ¹⁰(i) is een sigma-notatie van de optelling van de eindige reeks 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 waarbij het eerste element 1 is en het laatste element 10.

Sommatieformules

Waar moet ik de sommatieformule gebruiken?

Sommatienotatie kan op verschillende gebieden van de wiskunde worden gebruikt:

• Volgorde in serie
• Integratie
• Waarschijnlijkheid
• Permutatie en combinatie
• Statistieken

Opmerking: Een sommatie is een korte vorm van herhaalde optelling. We kunnen de sommatie ook vervangen door een lus van optelling.

Eigenschappen van sommatie

Eigendom 1

_ik=1 ∑ ^Nc = c + c + c + …. + c (n) maal = nc

Bijvoorbeeld: Zoek de waarde van_ik=1 ∑ ⁴C.

Door eigenschap 1 te gebruiken, kunnen we direct de waarde berekenen van_ik=1 ∑ ⁴c als 4×c = 4c.

Eigenschap 2

_c=1 ∑ ^Nkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) keer = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ^NC

Bijvoorbeeld: Zoek de waarde van_ik=1 ∑ ⁴5i.

Door eigenschap 2 en 1 te gebruiken, kunnen we de waarde van direct berekenen_{ik= 1} ∑ ⁴5i als 5×_ik=1 ∑ ⁴ik = 5 × (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Eigendom 3

_c=1 ∑ ^N(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) keer = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ^NC

Bijvoorbeeld: Zoek de waarde van_ik=1∑⁴(5+ik).

Door eigenschap 2 en 3 te gebruiken, kunnen we de waarde van direct berekenen_ik=1 ∑ ⁴(5+i) als 5×4+_ik=1 ∑ ⁴ik = 20 + (1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Eigendom 4

_k=1 ∑ ^N(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ^Nf(k) +_k=1 ∑ ^Ng(k)

Bijvoorbeeld: Zoek de waarde van_ik=1∑⁴(ik + ik²).

Door eigenschap 4 te gebruiken, kunnen we de waarde van direct berekenen_ik=1 ∑ ⁴(ik + ik²) als_ik=1 ∑ ⁴ik +_ik=1 ∑ ⁴i²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standaard sommatieformules

Verschillende sommatieformules zijn,

cloud computing-toepassingen

Som van de eerste n natuurlijke getallen: (1+2+3+…+n) =_ik=1 ∑ ^N(i) = [n ×(n+1)]/2

Som van het kwadraat van de eerste n natuurlijke getallen: (1²+2²+3²+…+n²) =_ik=1 ∑ ^N(i²) = [n × (n+1) × (2n+1)]/6

Som van de derde macht van de eerste n natuurlijke getallen: (1³+2³+3³+…+n³) =_ik=1 ∑ ^N(i³) = [n²×(n+1)²)]/4

Som van de eerste n even natuurlijke getallen: (2+4+…+2n) =_ik=1 ∑ ^N(2i) = [n ×(n+1)]

Som van de eerste n oneven natuurlijke getallen: (1+3+…+2n-1) =_ik=1 ∑ ^N(2i-1) = n²

Som van het kwadraat van de eerste n even natuurlijke getallen: (2²+4²+…+(2n)²) =_ik=1 ∑ ^N(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Som van het kwadraat van de eerste n oneven natuurlijke getallen: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_ik=1 ∑ ^N(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Som van de derde macht van de eerste n even natuurlijke getallen: (2³+4³+…+(2n)3) =_ik=1 ∑ ^N(2i)³= 2[n(n+1)]²

Som van de derde macht van de eerste n oneven natuurlijke getallen: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_ik=1 ∑ ^N(2i-1)³= n²(2n²- 1)

Gerelateerde artikelen:

• Som van natuurlijke getallen
• Som in wiskunde
• Rekenkundige bewerkingen
• Rekenkundige progressie en geometrische progressie

Voorbeeld van sommatieformule

Voorbeeld 1: Vind de som van de eerste 10 natuurlijke getallen met behulp van de sommatieformule.

Oplossing:

Gebruik de sommatieformule voor de som van n natuurlijk getal_ik=1∑^N(i) = [n ×(n+1)]/2

We hebben de som van de eerste 10 natuurlijke getallen =_ik=1∑¹⁰(i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Voorbeeld 2: Vind de som van 10 eerste natuurlijke getallen groter dan 5, met behulp van de sommatieformule.

Oplossing:

Volgens de vraag:

Som van 10 eerste natuurlijke getallen groter dan 5 =_ik=6∑^vijftien(i)

=_ik=1∑^vijftien(i) -_ik=1∑⁵(i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Voorbeeld 3: Vind de som van gegeven eindige reeks 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Oplossing:

Gegeven reeks is 1²+ 2²+ 3²+…8², het kan worden geschreven als_ik=1∑⁸i²met behulp van de eigenschap/formule van sommatie

_ik=1∑⁸i²= [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Voorbeeld 4: Vereenvoudig _c=1 ∑ ^N kc.

Oplossing:

Gegeven sommatieformule =_c=1∑^Nkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termen)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑^Nkc = k _c=1 ∑ ^N C

Voorbeeld 5: Vereenvoudig en evalueer x ₌₁ ∑ ^N (4+x).

Oplossing:

Gegeven sommatie is_x=1∑^N(4+x)

Zoals wij dat weten_c=1∑^N(k+c) = nk+_c=1∑^NC

Gegeven sommatie kan worden vereenvoudigd als:

stel scheidingsteken java in

4n+ _x=1 ∑ ^N (X)

Voorbeeld 6: Vereenvoudig _x=1 ∑ ^N (2x+x ² ).

Oplossing:

Gegeven sommatie is_x=1∑^N(2x+x²).

zoals wij dat weten_k=1∑^N(f(k) + g(k)) =_k=1∑^Nf(k) +_k=1∑^Ng(k)

gegeven sommatie kan worden vereenvoudigd als _x=1 ∑ ^N (2x) + _x=1 ∑ ^N (X ² ).

Veelgestelde vragen over de sommatieformule

Wat is de sommatieformule van natuurlijke getallen?

De som van de natuurlijke getallen van 1 tot n wordt gevonden met behulp van de formule n (n + 1) / 2. De som van de eerste 100 natuurlijke getallen is bijvoorbeeld 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Wat is de algemene sommatieformule?

Algemene sommatieformule die wordt gebruikt om de som van een reeks {a₁, A₂, A₃,…,A_N} is, ∑a _i = een ₁ + een ₂ + een ₃ + … + een _N

Hoe gebruik je ∑?

∑ is het symbool van sommatie en wordt gebruikt om de som van reeksen te vinden.

Wat is de formule voor n-sommatie?

De formule voor de som van n natuurlijk getal is, de formule voor de som van n getallen is [n(n+1)2]