logo

TechCodeview

Rij-echelonvorm

Een matrix heeft de vorm van een rij-echelon als deze de volgende eigenschappen heeft:

  • Elke rij die volledig uit nullen bestaat, bevindt zich onderaan de matrix.
  • Voor elke rij die niet geheel nullen bevat, is de eerste niet-nul invoer 1 (een zogenaamde leidende 1).
  • Voor twee opeenvolgende (niet-nul) rijen bevindt de leidende 1 in de hogere rij zich verder naar links dan de leidende 1 in de onderste rij.

Voor een gereduceerde rij-echelonvorm bevat de eerste 1 van elke rij een 0 onder en boven de waarde in die kolom.



Hieronder ziet u een voorbeeld van een rij-echelonvorm:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

java willekeurig getal

en gereduceerde rij-echelonvorm:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Elke matrix kan worden getransformeerd naar een gereduceerde rij-echelonvorm, met behulp van een techniek die Gaussiaanse eliminatie wordt genoemd. Dit is vooral handig voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen.

Gaussiaanse eliminatie

Gaussiaanse eliminatie is een manier om een ​​matrix om te zetten in de gereduceerde rij-echelonvorm. Het kan ook worden gebruikt als een manier om een ​​oplossing te vinden voor een oplossing voor het stelsel van lineaire vergelijkingen. Het idee hierachter is dat we een aantal wiskundige bewerkingen op de rij uitvoeren en doorgaan totdat er nog maar één variabele over is.



Hieronder vindt u enkele bewerkingen die wij kunnen uitvoeren:

np.nullen
  • Verwissel twee rijen
  • Voeg twee rijen samen.
  • Vermenigvuldig één rij met een constante die niet nul is (bijvoorbeeld 1/3, -1/5, 2).

Gegeven de volgende lineaire vergelijking:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

en de uitgebreide matrix hierboven

icloud-foto's naar Android

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Nu moeten we dit omzetten in de rij-echelonvorm. Om dit in rij-echelonvorm om te zetten, moeten we Gaussiaanse eliminatie uitvoeren.

  • Eerst moeten we 2*r aftrekken1van de r2en 4*r1van de r3om de 0 op de eerste plaats van r te krijgen2En R3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Vervolgens verwisselen we de rijen, r2 en r3, en trekken daarna 5*r af2van r3om de tweede 0 in de derde rij te krijgen.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Nu kunnen we de waarde afleiden Met van r3,d.w.z. 10 z =0 ⇾ z=0. Met behulp van de waarde van z =0 kunnen we deze op r2 zetten, y = 2. Op dezelfde manier kunnen we de waarde van y en z in r plaatsen1en we krijgen een waarde van x=3

Rang van matrix

De rangorde van de matrix is ​​het aantal niet-nul rijen in de rij-echelonvorm. Om de rang te vinden, moeten we de volgende stappen uitvoeren:

  • Zoek de rij-echelonvorm van de gegeven matrix
  • Tel het aantal rijen die niet nul zijn.

Laten we een voorbeeldmatrix nemen:

javascript

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Nu reduceren we de bovenstaande matrix tot een rij-echelonvorm

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Hier bevatten slechts twee rijen niet-nul elementen. De rangorde van de matrix is ​​dus 2.

Implementatie

  • Om een ​​matrix om te zetten in een gereduceerde rij-echelonvorm, hebben we het Sympy-pakket in Python gebruikt. Eerst moeten we het installeren.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Uitgang: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>