TechCodeview

Een recursieve functie is een functie waarvan de waarde op elk punt kan worden berekend op basis van de waarden van de functie op een aantal voorgaande punten. Stel bijvoorbeeld een functie f(k) = f(k-2) + f(k-3) die is gedefinieerd via een niet-negatief geheel getal. Als we de waarde van de functie hebben op k = 0 en k = 2, kunnen we de waarde ervan ook vinden op elk ander niet-negatief geheel getal. Met andere woorden, we kunnen zeggen dat een recursieve functie verwijst naar een functie die zijn eigen voorgaande punten gebruikt om daaropvolgende termen te bepalen en zo een reeks termen vormt. In dit artikel zullen we leren over recursieve functies, samen met bepaalde voorbeelden.

Wat is recursie?

Recursie verwijst naar een proces waarin een recursief proces zichzelf herhaalt. Recursief is een soort functie van een of meer variabelen, meestal gespecificeerd door een bepaald proces dat waarden van die functie produceert door continu een bepaalde relatie met bekende waarden van de functie te implementeren.

Hier zullen we de recursie begrijpen met behulp van een voorbeeld.

Stel dat u een trap gaat nemen om vanaf de begane grond de eerste verdieping te bereiken. Om dit te doen, moet u dus één voor één stappen ondernemen. Er is slechts één manier om naar de tweede stap te gaan, namelijk naar de doordrenkte eerste stap. Stel dat u naar de derde stap wilt gaan; je moet eerst de tweede stap zetten. Hier kun je duidelijk het herhalingsproces zien. Hier kun je zien dat je bij elke volgende stap de vorige stap toevoegt als een herhaalde reeks met hetzelfde verschil tussen elke stap. Dit is het feitelijke concept achter de recursieve functie.

Stap 2: Stap 1 + laagste trede.

Stap 3: Stap 2 + Stap 1 + laagste trede.

Stap 4: Stap 3 + stap 2 + stap 1+ laagste stap, enzovoort.

Een reeks natuurlijke getallen is het basisvoorbeeld van de recursieve functies die beginnen bij één tot oneindig, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitief. Daarom vertoont de reeks natuurlijke getallen een recursieve functie, omdat je een gemeenschappelijk verschil tussen elke term als 1 kunt zien; het toont elke keer dat de volgende term zich herhaalt door de vorige term.

Wat is een recursief gedefinieerde functie?

De recursief gedefinieerde functies bestaan ​​uit twee delen. Het eerste deel behandelt de kleinste argumentdefinitie, en aan de andere kant behandelt het tweede deel de n-de termdefinitie. Het kleinste argument wordt aangegeven met f (0) of f (1), terwijl het n-de argument wordt aangegeven met f (n).

Volg het gegeven voorbeeld.

Stel dat een reeks 4,6,8,10 is

De expliciete formule voor de bovenstaande reeks is f (n) = 2n + 2

De expliciete formule voor de bovenstaande reeks wordt gegeven door

f(0) = 2

f(n) = f(n-1) + 2

Nu kunnen we de reekstermen verkrijgen door de recursieve formule als volgt toe te passen: f(2) f (1) + 2

f(2) = 6

f(0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f(1) = 2 + 2 = 4

f(2) = f(1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

f(3) = f(2) + 2

f(3) = 6 + 2 = 8

Met behulp van de bovenstaande recursieve functieformule kunnen we de volgende term bepalen.

Wat maakt de functie recursief?

Om elke functie recursief te maken, is een eigen term nodig om de volgende term in de reeks te berekenen. Als u bijvoorbeeld de n-de term van de gegeven reeks wilt berekenen, moet u eerst de vorige term en de term vóór de vorige term kennen. Daarom moet u de voorgaande term kennen om te bepalen of de reeks recursief of niet recursief is. We kunnen dus concluderen dat als de functie de vorige term nodig heeft om de volgende term in de reeks te bepalen, de functie als een recursieve functie wordt beschouwd.

De formule van de recursieve functie

Als een₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, ……..A_N,……veel sets of een reeks is, dan zal een recursieve formule alle termen moeten berekenen die eerder bestonden om de waarde van een te berekenen

A_N= een_{n-1 +}A₁

De bovenstaande formule kan ook worden gedefinieerd als recursieve formule voor rekenkundige reeksen. Je kunt in de hierboven genoemde reeks duidelijk zien dat het een rekenkundige reeks is, die bestaat uit de eerste term, gevolgd door de andere termen en een gemeenschappelijk verschil tussen elke term. Het gemeenschappelijke verschil verwijst naar een getal dat u erbij optelt of aftrekt.

Een recursieve functie kan ook worden gedefinieerd als de geometrische reeks, waarbij de getallenreeksen of een reeks een gemeenschappelijke factor of gemeenschappelijke verhouding daartussen hebben. De formule voor de geometrische reeks wordt gegeven als

A_N= een_{n-1 *}R

Meestal wordt de recursieve functie in twee delen gedefinieerd. De eerste is de verklaring van de eerste term samen met de formule, en de andere is de verklaring van de eerste term samen met de regel die betrekking heeft op de opeenvolgende termen.

Hoe een recursieve formule voor een rekenkundige reeks te schrijven

Volg de gegeven stappen om de recursieve formule voor de rekenkundige reeksformule te schrijven

Stap 1:

In de eerste stap moet u ervoor zorgen dat de gegeven reeks rekenkundig is of niet (hiervoor moet u twee opeenvolgende termen optellen of aftrekken). Als u dezelfde uitvoer krijgt, wordt de reeks als een rekenkundige reeks beschouwd.

Stap 2:

Nu moet je het gemeenschappelijke verschil voor de gegeven reeks vinden.

Stap 3:

Formuleer de recursieve formule met behulp van de eerste term en maak vervolgens de formule met behulp van de vorige term en het gemeenschappelijke verschil; dus je krijgt het gegeven resultaat

A_N= een_{n-1 +}D

nu begrijpen we de gegeven formule met behulp van een voorbeeld

Diana Maria Zwarter

Stel dat 3,5,7,9,11 een gegeven reeks is

In het bovenstaande voorbeeld kun je gemakkelijk ontdekken dat het de rekenkundige reeks is, omdat elke term in de reeks met 2 wordt verhoogd. Het gemeenschappelijke verschil tussen twee termen is dus 2. We kennen de formule van de recursieve reeks

A_N= een_{n-1 +}D

Gegeven,

d = 2

A₁= 3

Dus,

A₂= een_(2-1)+ 2 = een₁+2 = 3+2 = 5

A₃= een_(3-1)+ 2 = een₂+2 = 5+2 = 7

A₄= een_(4-1)+ 2 = een₃+2 = 7+2 = 9

A₅= een_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, en het proces gaat verder.

Hoe schrijf je een recursieve formule voor geometrische reeks?

Volg de gegeven stappen om de recursieve formule voor de geometrische reeksformule te schrijven:

Stap 1

In de eerste stap moet u ervoor zorgen dat de gegeven reeks geometrisch is of niet (hiervoor moet u elke term vermenigvuldigen of delen met een getal). Als u van de ene term naar de volgende term dezelfde uitvoer krijgt, wordt de reeks als een geometrische reeks beschouwd.

Stap 2

Nu moet je de gemeenschappelijke verhouding voor de gegeven reeks vinden.

Stap 3

Formuleer de recursieve formule met behulp van de eerste term en maak vervolgens de formule met behulp van de vorige term en de gemeenschappelijke verhouding; dus je krijgt het gegeven resultaat

A_N= r_*A_n-1

Nu begrijpen we de gegeven formule met behulp van een voorbeeld

stel dat 2,8,32, 128,.een gegeven reeks is

In het bovenstaande voorbeeld kun je gemakkelijk ontdekken dat het de geometrische reeks is, omdat de opeenvolgende term in de reeks wordt verkregen door 4 te vermenigvuldigen met de vorige term. De gemeenschappelijke verhouding tussen twee termen is dus 4. We kennen de formule van recursieve reeks

A_N= r_*A_n-1

A_N= 4

A_n-1= ?

Gegeven,

r=4

A₁= 2

Dus,

A₂= een_(2-1)* 4 = een₁+ * 4 = 2* 4 = 8

A₃= een_(3-1)* 4 = een₂* 4 = 8 * 4 = 32

A₄= een_(4-1)* 4 = een₃* 4 = 32* 4 = 128, en het proces gaat door.

Voorbeeld van recursieve functie

Voorbeeld 1:

Bepaal de recursieve formule voor de reeks 4,8,16,32,64, 128,….?

Oplossing:

Gegeven reeks 4,8,16,32,64,128,…..

De gegeven reeks is geometrisch, want als we de voorgaande term vermenigvuldigen, krijgen we de opeenvolgende termen.

Om de recursieve formule voor de gegeven reeks te bepalen, moeten we deze in tabelvorm schrijven

Daarom wordt de recursieve formule in het functiebegrip gegeven door

f(1) = 4, f(n) . f(n-1)

In subscriptnotatie wordt de recursieve formule gegeven door

A₁= 4, een_N= 2. een_n-1