Functies in wiskunde kunnen worden gezien als automaten. Als ze het geld in de vorm van input krijgen, geven ze er wat blikjes of koekjes voor terug. Op dezelfde manier nemen functies enkele invoergetallen en geven ze ons wat uitvoer. Je kunt zeggen dat in het echte leven alles kan worden geformuleerd en opgelost met behulp van functies. Van gebouwontwerp en architectuur tot megawolkenkrabbers, het wiskundige model van bijna alles in het echte leven vereist functies. Daarom kan niet worden vermeden dat functies een gigantische betekenis hebben in ons leven. Domein en bereik zijn één aspect waarmee een functie kan worden beschreven.
Bijvoorbeeld: Stel dat er bovenop de machine geschreven staat dat alleen bankbiljetten van Rs.20 en Rs.50 gebruikt kunnen worden om iets te kopen. Wat als iemand Rs.10-biljetten gebruikt? De machine geeft geen uitvoer. Het domein vertegenwoordigt dus wat voor soort invoer we in een functie kunnen hebben. In dit geval zijn de biljetten van Rs.20 en Rs.50 het domein van de automaat. Op dezelfde manier maakt het niet uit hoeveel geld iemand in de automaat stopt, hij/zij zal er nooit boterhammen uit krijgen. Het concept van het bereik speelt hier dus een rol, bereik is de mogelijke output die de machine kan geven.
Bereik en domein van een functie
Domein van een functie:
Een domein bestaat uit alle waarden die in een functie kunnen worden gebruikt waarvoor het een geldige uitvoer oplevert. Het is de verzameling van alle mogelijke ingangen voor een functie.
Bijvoorbeeld: In de onderstaande figuur is f(x) = x2. De verzameling van alle ingangen wordt Domein genoemd en de verzameling van alle uitgangen wordt beschouwd als het bereik.
Hoe vind je het domein van een functie?
Het domein van de functie moet alle reële getallen bevatten, behalve de punten waar de noemer nul wordt en termen onder vierkantswortels negatief worden. Om het domein te vinden, probeert u de punten of invoerwaarden te vinden waarover de functie niet is gedefinieerd.
Vraag 1: Zoek het domein van
Antwoord:
Deze functie kan ongedefinieerde uitvoer geven als x = 1. Dus dan is domein R – {1} .
Vraag 2: Zoek het domein van de volgende functie:
Antwoord :
Het is belangrijk om de functie niet Ongedefinieerd of Ongedefinieerd te maken. Daarom moeten we kijken welke domeinwaarden de Functie Ongedefinieerd of Ongedefinieerd kunnen maken.
Als we naar de noemer kijken, is het duidelijk dat de waarden 3 en 5 de noemer 0 maken, waardoor de functie Oneindig wordt, wat niet wenselijk is.
Daarom kunnen de waarden x=3 en x=5 hier niet worden geplaatst.
Het domein zal zijn R – {3,5}.
Vraag 3: Zoek de domeinwaarden waarvoor de functies Y = (2x 2 -1) en Z= (1-3x) zijn gelijk.
Antwoord :
De twee functies gelijkstellen:
2 x2– 1 = 1 – 3x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x+2) – 1 (x+2)= 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Daarom zijn de domeinwaarden {1/2, -2}.
Bereik van een functie
Het bereik van een functie is een verzameling van alle mogelijke uitgangen.
Voorbeeld: Laten we een functie ƒ bekijken: A⇢A, waarbij A = {1,2,3,4}.
De elementen van het ingestelde domein worden pre-images genoemd, en elementen van het set-co-domein die zijn toegewezen aan pre-images worden afbeeldingen genoemd. Het bereik van een functie is een verzameling van alle afbeeldingen van elementen in het domein. In dit voorbeeld is het bereik van de functie {2,3}.
Hoe vind je het bereik van een functie?
Het bereik is de spreiding van de waarden van de uitvoer van een functie. Als we de maximale en minimale waarden van de functie kunnen berekenen, kunnen we een idee krijgen van het bereik van de functie.
Vraag 1: Zoek het bereik. f(x) =
Antwoord:
Omdat de functie een vierkantswortel is, kan deze nooit negatieve waarden als uitvoer opleveren. De minimumwaarde kan dus alleen 0 zijn bij x = 1. De maximale waarde kan oplopen tot oneindig als we x blijven verhogen.
Het bereik van de functie is dus [0,∞).
Vraag 2: Het domein van de functie ƒ gedefinieerd door f(x) =
Antwoord:
binaire boom versus binaire zoekboom
Gegeven, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Bij het selecteren van de domeinset moet men voor twee dingen zorgen:
- De noemer gaat nooit naar nul.
- Term binnen de vierkantswortel wordt niet negatief.
Laten we uitbreiden wat er binnen de term binnen de vierkantswortel staat.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} In dit geval kunnen we geen van beide waarden, x ≥ 0 of x <0, plaatsen.
Daarom is f voor geen enkele x ∈ R gedefinieerd. Het domein is dus een lege verzameling.
Domein en bereik van kwadratische functies
Kwadratische functies zijn de functies van de vorm f(x) = ax2+ bx + c, waarbij a, b en c constanten zijn en a ≠ 0. De grafiek van een kwadratische functie heeft de vorm van een parabool. Het is eigenlijk een gebogen vorm die naar boven of naar beneden opengaat.
Laten we eens kijken hoe we kwadratische functies kunnen tekenen,
Dus in onze kwadratische functie
- als a> 0, opent de parabool naar boven.
- als a <0, opent de parabool naar beneden.
Nu is het hoekpunt het hoogste of laagste punt van onze curve, afhankelijk van de grafiek van de kwadratische functie. Het hoekpunt van de grafiek van een algemene kwadratische uitdrukking vinden.
In de standaard kwadratische vorm wordt het hoekpunt gegeven door
Opmerking: Elke curve is symmetrisch rond zijn verticale as.
Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden,
Vraag: Teken de grafiek van f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Antwoord:
Vergelijk deze vergelijking met de algemene kwadratische functievergelijking. a = 2, b = -4 en c = 2.
Vanaf a> 0 gaat deze parabool naar boven open.
- Hoekpunt x-waarde =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Hoekpunt y-waarde = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Het hoekpunt bevindt zich dus op (-1,0). Omdat de parabool naar boven opent, moet dit de minimumwaarde van de functie zijn.
Het punt waar de grafiek de y-as snijdt is (0,2).
Bereik en domein van kwadratische functies kunnen eenvoudig worden achterhaald door de grafiek uit te zetten. Het is niet altijd nodig om de volledige grafiek te plotten; voor het bereik moeten alleen de richting van de parabool (naar boven of naar beneden) en de waarde van de parabool bij het hoekpunt bekend zijn. De waarde bij het hoekpunt is altijd minimaal/maximaal, afhankelijk van de richting van de parabool. Het domein van dergelijke functies bestaat altijd uit hele reële getallen, omdat ze overal gedefinieerd zijn, d.w.z.; er is geen waarde van de invoer die ervoor zou kunnen zorgen dat ze ongedefinieerd als uitvoer geven.
Laten we eens naar een ander voorbeeld kijken met betrekking tot het domein en het bereik van de parabool.
Vraag: Teken de grafiek en vind het domein en het bereik van de gegeven functie, f(x) = -x 2 + 4.
Antwoord:
Aangezien a = -1. Parabool gaat naar beneden open, d.w.z.; er zal geen minimumwaarde zijn, deze zal zich uitstrekken tot in het oneindige. Maar er zal een maximale waarde zijn die zal optreden bij het hoekpunt.
Om de positie van het hoekpunt te vinden, kan de vorige formule worden gebruikt. Het hoekpunt bevindt zich op positie (0,4).
De waarde bij hoekpunt (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
De maximale waarde is dus 4 en de minimumwaarde is negatief van oneindig.
Bereik van de functie – (-∞, 4] en het domein is R .
